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1.2.1绝对值三角不等式 同步训练(人教A版选修4-5)


1.2.1 绝对值三角不等式 同步训练(人教 A 版选修 4-5) 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知实数 a,b 满足 ab<0,则下列不等式成立的是( (A)|a+b|>|a-b| (C)|a-b|<||a|-|b|| (B)|a+b|<|a-b| (D)|a-b|<|a|+|b| )

2.若不等式|x-4|+|x-3|>a 对一切实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) (B)(1,+∞) (D)[3,+∞) )

(A)(-∞,1) (C)(3,4)

3.设 a,b,c 是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是( (A)|a-b|≤|a-c|+|b-c|

1 1 ?a? 2 a a 1 ?2 (C) a ? b ? a?b
(B) a ?
2

(D) a ? 3 ? a ? 1 ? a ? 2 ? a 4.若|a-c|<b,则下列不等式不成立的是( (A)|a|<|b|+|c| (C)b>||c|-|a|| 5.已知|a|≠|b|, m ? (A)m>n (C)m=n )

(B)|c|<|a|+|b| (D)b<||a|-|c||

a?b a ?b

,n ?

a?b a?b

, 则 m,n 之间的关系是(

)

(B)m<n (D)m≤n )

6.( ·青岛高二检测)设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与 2 的大小关系是( (A)|a+b|+|a-b|>2 (C)|a+b|+|a-b|=2 (B)|a+b|+|a-b|<2 (D)不能比较大小

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

| px ? | 7.( · 大连高二检测)已知 p,q,x∈R, pq≥0,x≠0,则 ______ 2 pq (填不等关系符
号). 8.(2011·江西高考)对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为

q x

1

__________. 9.(易错题)“|x-a|<m 且|y-a|<m”是“|x-y|<2m”(x,y,m∈R)的 ____________________(填“充分不必要条件” “必要不充分条件” “充要条件”). 三、解答题(每小题 14 分,共 28 分) 10.已知函数 f(x)=|x-3|-2,g(x)=-|x+1|+4.若函数 f(x)-g(x)≥m+1 的解集为 R,求 m 的取 值范围. 11.( ·沈阳模拟)已知|x1-2|<1,|x2-2|<1. (1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2. (2)若 f(x)=x -x+1,x1≠x2,求证: |x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|. 【挑战能力】 (18 分)如果结论 “
2

a?b

1? a ? b ? a 1? a ?

?

a?b 1? a ? b b ? c

请问不等式 ” 成立,

a?b 1? a ? b

?

a 1? a

?

b 1? b

成立

吗?

a ?b?c 1? a ? b ? c

1? b

1? c

成立吗?说明理由.

答案解析 1.【解析】选 B.∵ab<0,∴|a-b|=|a|+|b|, 又|a+b|<|a|+|b|,∴|a+b|<|a|+|b|=|a-b|. 2.【解析】选 A.由|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1, 得不等式|x-4|+|x-3|的最小值是 1,当且仅当 3≤x≤4 时等号成立.故 a 的取值范围是 (-∞,1). 【变式训练】若不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? ,则 a 的取值范围为( (A)(2,+∞) (C)(-3,+∞) (B)(-∞,5] (D)(-∞,-3) )

【解析】选 B.因为|x-2|+|x+3|≥|-x+2+3+x|=5,当且仅当-3≤x≤2 时等号成立,故 |x-2|+|x+3|的最小值为 5,又不等式|x-2|+|x+3|<a 的解集为 ? ,所以 a≤5. 3.【解析】选 C.由于给出的是不完全题干,必须结合选项,才能得出正确的结论.运用排除
2

法,C 选项 a ? b ?

1 ? 2, 当 a-b<0 时不成立.故选 C. a?b

4.【解析】选 D.若|a-c|<b,令 a=1,c=2,b=3. 则||c|-|a||=||2|-|1||=1=||a|-|c||, ∴b>||c|-|a||成立,而 b<||a|-|c||不成立. 5.【解析】选 D.∵|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|, ∴m?

a?b a ?b ?

?

a ?b a ?b

? 1,

n?

a?b a?b

a?b a?b

? 1,

∴m≤1≤n,即 m≤n. 【方法技巧】绝对值不等式中的放缩法 绝对值不等式性质的重要作用在于放缩,放缩的思路主要有两种: (1)分子不变,分母变小,则分数值变大; (2)分子变大,分母不变,则分数值也变大.但要注意放缩后等号是否还能成立. 6.【解析】选 B.当(a+b)(a-b)≥0 时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)| =2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0 时, |a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.

|px ? | ? 2 pq, 7.【解析】当 p,q 至少有一个为 0 时,
当 pq>0 时,p,q 同号,则 px 与

q x

q 同号, x

q q x x q |px ? | ? 2 pq. 故 x
答案:≥

|px ? | ? |px||| ? ? 2 pq, ∴

8.【解题指南】根据|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|,结合|a+b|≤|a|+|b|易得. 【解析】根据条件有|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-2)-2|≤|x-1|+|2(y-2)|+2. ∵|x-1|≤1,|y-2|≤1, ∴|x-2y+1|≤1+2×1+2=5. 答案:5
3

9.【解析】∵|x-y|=|(x-a)-(y-a)|≤|x-a|+|y-a|<m+m=2m, ∴|x-a|<m 且|y-a|<m 是|x-y|<2m 的充分条件,取 x=3,y=1,a=-2,m=2.5,则有| x-y|=2<5=2m,但|x-a|=5,不满足|x-a|<m=2.5,故|x-a|<m 且|y-a|<m 不是| x-y|<2m 的必要条件. 答案:充分不必要条件 10.【解题指南】本题关键是转化题中的条件为求 f(x)-g(x)的最小值,求解时结合绝对值三 角不等式. 【解析】f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6, 因为 x∈R,由绝对值三角不等式得 f(x)-g(x)=|x-3|+|x+1|-6 =|3-x|+|x+1|-6≥|(3-x)+(x+1)|-6=4-6=-2, 于是有 m+1≤-2,得 m≤-3, 即 m 的取值范围是(-∞,-3]. 11.【证明】(1)∵|x1-2|<1,|x2-2|<1, ∴2-1<x1<2+1,2-1<x2<2+1, 即 1<x1<3,1<x2<3, ∴2<x1+x2<6, |x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)| ≤|x1-2|+|x2-2|<1+1=2, 即|x1-x2|<2. (2)∵f(x)=x -x+1, ∴|f(x1)-f(x2)|=|x1 -x1-x2 +x2| =|(x1-x2)(x1+x2-1)| =|x1-x2||x1+x2-1|. 由(1)知 2<x1+x2<6,|x1-x2|>0, ∴|x1-x2|<|x1-x2||x1+x2-1|<5|x1-x2|, 即|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|. 【方法技巧】含绝对值不等式的证明 证明含有绝对值的不等式,其思路主要有两条: (1)恰当地运用|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|进行放缩,并注意不等号的传递性及等号成立的 条件.
4
2 2 2

(2)把含绝对值的不等式等价转化为不含绝对值的不等式,再利用比较法、综合法及分析法 等进行证明,其中去掉绝对值符号的常用方法是平方法或分类讨论法. 【变式训练】已知 f ? x ? ? 1 ? x , a ≠b ,
2
2 2

求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.
2 【证明】 | 1 ? a 2 ? 1 ? b| ? 2 2 |a 2 ? b| |a 2 ? b| < ? ? |a ? b| . ? b| |a ? b| 1 ? a 2 ? 1 ? b2 |a||
2

2 |a 2 ? b|

∵ f ?a ? ? 1? a , f ?b? ? 1? b ,
2

∴|f(a)-f(b)|<|a-b|. 【挑战能力】 【解析】成立.因为左边= 1 ?

1 1 ? 1? 1? a ? b 1? a ? b

?

a?b 1? a ? b a 1? a ?

? b

a 1? a ? b

?

b 1? a ? b

?

1? b ? a 1? a ? b 1? b
成立.



a?b 1? a ? b

又因为

a ?b?c 1? a ? b ? c

? 1?

1 1? a ? b ? c

? 1?

a?b?c 1 ? 1? a ? b ? c 1? a ? b ? c a ? b 1? a ? b ? c c 1? c ? a 1? a ? b 1? b ? c 1? c
成立.

?

1? a ? b ? c a 1? a ? b 1? b

?

c 1? a ? b ? c

?

?

所以

a ?b?c 1? a ? b ? c

5


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