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高中数学 课时达标检测十二抛物线及其标准方程 新人教A版选修21

课时达标检测(十二) 抛物线及其标准方程

一、选择题

1.顶点在原点,且过点(-4,4)的抛物线的标准方程是( )

A.y2=-4x

B.x2=4y

C.y2=-4x 或 x2=4y

D.y2=4x 或 x2=-4y

解析:选 C 设抛物线方程为 y2=-2p1x 或 x2=2p2y,把(-4,4)代入得 16=8p1 或 16 =8p2,即 p1=2 或 p2=2.
故抛物线的标准方程为 y2=-4x 或 x2=4y. 2.已知点 P(8,a)在抛物线 y2=4px 上,且点 P 到焦点的距离为 10,则焦点到准线的

距离为( )

A.2

B.4

C.8

D.16

解析:选 B 准线方程为 x=-p,

∴8+p=10,p=2.

∴焦点到准线的距离为 2p=4.

3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆(x-3)2+y2=16 相切,则 p 的值为( )

A.12

B.1

C.2

D.4

解析:选 C ∵抛物线 y2=2px 的准线 x=-p2与圆(x-3)2+y2=16 相切,

p ∴-2=-1,即

p=2.

4.设圆 C 与圆 x2+(y-3)2=1 外切,与直线 y=0 相切,则 C 的圆心轨迹为( )

A.抛物线

B.双曲线

C.椭圆

D.圆

解析:选 A 由题意知,圆 C 的圆心到点(0,3)的距离比到直线 y=0 的距离大 1,即圆

C 的圆心到点(0,3)的距离与到直线 y=-1 的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹

是一条抛物线. 5.已知点 P 在抛物线 y2=4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与点 P 到抛物线焦点

距离之和取最小值时,点 P 的坐标为( )

A.???14,-1???

B.???14,1???

C.(1,2)

D.(1,-2)

解析:选 A 点 P 到抛物线焦点距离等于点 P 到抛物线准线距离,如图,|PF|+|PQ|=

|PS|+|PQ|,故最小值在 S,P,Q 三点共线时取得,此时 P,Q 的纵坐标都是-1,点 P 坐标

为???14,-1???.

二、填空题 6.抛物线 x=41my2 的焦点坐标是________. 解析:解析:方程改写成 y2=4mx,得 2p=4m,∴p=2m,即焦点(m,0). 答案:(m,0) 7.已知抛物线 y2=2px(p>0)上一点 M(1,m)到其焦点的距离为 5,双曲线 x2-ya2=1 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 垂直,则实数 a=________. 解析:根据抛物线的定义得 1+p2=5,p=8.不妨取 M(1,4),则 AM 的斜率为 2,由已知 得- a×2=-1,故 a=14. 答案:14 8.对标准形式的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1). 其中满足抛物线方程为 y2=10x 的是________.(要求填写适合条件的序号)
解析:抛物线 y2=10x 的焦点在 x 轴上,②满足,①不满足; 设 M(1,y0)是 y2=10x 上一点, 则|MF|=1+p2=1+52=72≠6,

所以③不满足;
由于抛物线 y2=10x 的焦点为???52,0???,过该焦点的直线方程为 y=k???x-52???,若由原点向 该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则 k=-2,此时存在,所以④满足.
答案:②④ 三、解答题 9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M(m,-3)到焦点的距离 为 5,求 m 的值、抛物线方程和准线方程. 解:法一:如图所示,

设抛物线的方程为 x2=-2py(p>0),

则焦点 F???0,-2p???,准线 l:y=p2. 作 MN⊥l,垂足为 N,

则|MN|=|MF|=5,

而|MN|=3+p2,3+p2=5,

即 p=4. 所以抛物线方程为 x2=-8y,

准线方程为 y=2. 由 m2=-8×(-3)=24,

得 m=±2 6. 法二:设所求抛物线方程为 x2=-2py(p>0),

则焦点为 F???0,-2p???.

??m2=6p,

∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,故? ??

m2+???-3+p2???2=5,

解得???pm= =4±,2 6.

∴抛物线方程为 x2=-8y,m=±2 6, 准线方程为 y=2.

10.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成, 为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 0.5 米.
(1)以抛物线的顶点为原点 O,其对称轴所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系(如图), 求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度 AB 为 7 米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到 0.1 米).
解:如图所示:
(1)依题意,设该抛物线的方程为 x2=-2py(p>0), 因为点 C(5,-5)在抛物线上, 所以该抛物线的方程为 x2=-5y. (2)设车辆高 h,则|DB|=h+0.5, 故 D(3.5,h-6.5), 代入方程 x2=-5y, 解得 h=4.05, 所以车辆通过隧道的限制高度为 4.0 米.