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2017年高考全国优质理数试题汇编专题14+选讲部分(解析版)


2017 年高考全国优质理数试题汇编专题 14+选讲部分(解析版) 专题十四 选讲部分 ? 3 x ? 5? t ? ? 2 9.已知直线 l : ? ( t 为参数) .以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2 坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) , 直线 l 与曲线 C 的交点为 A 、B , 求 | MA | ? | MB | 的 值. 【解析】 (1)∵ ? ? 2 cos ? ,∴ ? ? 2 ? cos ? ,∴ x ? y ? 2 x ,即 x ? y ? 2 x ? 0 为 2 2 2 2 2 曲线 C 的直角 坐标方程. (5 分) 10.在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,以相同的长度单位建立极坐 标 系 . 已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 , 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? sin 2 ? ? 2 p cos ? ( p ? 0) . (1)设 t 为参数,若 x ? ?2 ? 2 t ,求直线 l 的参数方程; 2 2 (2)已知直线 l 与曲线 C 交于 P, Q ,设 M (?2, ?4) ,且 | PQ | ?| MP | ? | MQ | ,求实 数 p 的值. 【解析】 ( 1 ) 将 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? , 代 入 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 得 直 角 坐 标 方 程 x ? y ? 2 ? 0 .…1 分 再将 x ? ?2 ? 2 2 t ,代入直线 l 的直角坐标方程,得 y ? ?4 ? t, 2 2 ? ? x ? ?2 ? ? 所以直线 l 的参数方程为 ? ? y ? ?4 ? ? ? 2 2 t 2 ( t 为参数) .……………………………4 分 2 t 2 2 (2)由 ? sin ? ? 2 p cos ? ( p ? 0) ,得 ( ? sin ? ) ? 2 p ? cos ? ( p ? 0) , 由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 代入,得 y ? 2 px( p ? 0) .……………………………6 分 2 将直线 l 的参数方程与 C 的直角坐标方程联立,得 t 2 ? 2 2(4 ? p )t ? 8(4 ? p) ? 0 , (*) ? ? 8 p(4 ? p) ? 0 .……………………………6 分 设 点 P, Q 分 别 对 应 参 数 t1 , t2 恰 为 上 述 方 程 的 根 , 则 | MP |? t1 ,| MQ |? t2 ,| PQ |?| t1 ? t2 | .……8 分 由题设得 (t1 ? t2 ) ? t1t2 ,即 (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ? t1t2 . 2 2 由(*)得 t1 ? t2 ? 2 2(4 ? p ) , | t1t2 |? 8(4 ? p ) ? 0 , 则有 (4 ? p ) ? 5(4 ? p ) ? 0 ,得 p ? 1 或 p ? ?4 . 2 因为 p ? 0 ,所以 p ? 1 .……………………………10 分 ? ? x ? 2 ? t cos ? 11. 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 设 倾 斜 角 为 ? 的 直 线 : ?

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