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2015高中数学 2.1合情推理与演绎推理预习 新人教A版选修2-2


合情推理与演绎推理预习

【学习目标】 1. 结合已学过的数学实例,了解归纳推理的含义; 2. 能利用归纳进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发现中的作用. 【自主学习】(阅读教材 P70—P72,独立完成下列问题) 问题 1: 哥德巴赫猜想:观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 想: 20=13+7, ??, . . ,推出该类事物的 的推理.简言之,归纳推理是由 50=13+37, ??, 100=3+97 , 猜

问题 2:由铜、铁、铝、金等金属能导电,归纳出 新知:归纳推理就是由某些事物的 的推理,或者由 的推理.

【合作探究】 例 1 观察下列等式:1+3=4= 2 , 1+3+5=9= 3 , 1+3+5+7=16= 4 , 1+3+5+7+9=25= 5 , ?? 你能猜想到一个怎样的结论?
2
2 2

2

例2

已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 1 ,且有 an?1 ?

an , an ? 1

(1)试归纳出这个数列的通项公式。 (2)记 S n ?

1 1 1 1 ? 3 ? 3 ? ? ? ? ? 3 , 化简 S n . 3 a1 a2 a3 an
1

【目标检测】 1. 观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于 A.f(x ) 2. 已知 f ( x ? 1) ? A. f ( x) ? B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) ( ). ( )
2 4 3

2 f ( x) , f (1) ? 1 ( x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2

4 2 ?2
x

B. f ( x) ?

2 x ?1

C. f ( x) ?

1 x ?1

D. f ( x) ?

2 2x ? 1

1 1 )(n ? 2) 3.在数列{ a n }中, a1 ? 1 , an ? (an ?1 ? ,试猜想这个数列的通项公式. 2 an ?1

4.

3 2 2 观察:①sin 10°+cos 40°+sin 10°cos 40°= ; 4

3 2 2 ②sin 6°+cos 36°+sin 6°cos 36°= . 4 由上面两题的结构规律,你能否提出一个猜想 ?并证明你的猜想.

【作业布置】 任课教师自定

学习反思:本节课我学到了什么?本节课我的学习效率如何?本节课还有哪些我没学懂?

2

【学习目标】 1. 结合已学过的数学实例,了解类比推理的含义; 2. 能 利用类比进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用. 【自主学习】(阅读教材 P73—P77,独立完成下列问题) 鲁班由带齿的草发明锯;人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇;地球上有生命,火 星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节变更, 温度也适合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维,即类比推理. 新知 1:类比推理就是由两类对象具有 类对象也具有这些特征的推理. 到 的推理. 思考:已知 ai ? 0 (i ? 1, 2,?, n) ,考察下列式子:
(i ) a1 ? 1 ?1; a1 1 1 ? )? 4; a1 a2

和其中

,推出另一 简言之,类比推理是由

(ii ) (a1 ? a2 )(

(iii ) (a1 ? a2 ? a3 )(

1 1 1 ? ? ) ? 9. a1 a2 a3

我 们 可 以 归 纳 出 , 对 a1 , a2 ,?, an 也 成 立 的 类 似 不 等 式 为 . 新知 2: 再进行 和 , 然后提出 都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想, 的推理, 我们把它们统称为合情推理.一般说合情推

理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠. 【合作探究】 例 1 类比实数的加法 和乘法,列出它们相似的运算性质. 类比 角度 运算结果 运算律 逆运算 单位元 实数的加法 实数的乘法

3

例 2 类比平面内直角三角形的勾股定理,试给出空间中四面体性质的猜想.

【目标检测】 1. 找出圆与球的相似之处,并用圆的性质类比球的有关性质. 圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂 直于弦 与圆心距离相等的弦长相等,与圆 心距离不等的两弦不等,距圆心较近的 弦较长 以点 ( x0 , y0 ) 为圆心,r 为半径的圆 的方程为 ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2 ? r 2 球的类似概念和性质

2. 如图,若射 线 OM , ON 上分别存在点 M1 , M 2 与点 N1 , N2 ,则三角形面积之 比
S?OM1N1 S?OM 2 N2 ? OM1 ON1 ? .若不在同一平面内的射线 OP,OQ 上分别存在点 P 1, P 2 ,点 Q1 , Q2 和点 OM 2 ON 2

R1 , R2 ,则类似的结论是什么?

4

3. 设 f 0 ( x) ? sin x, f1 ( x) ? f 0 ( x) , f 2 ( x) ? f1' ( x),?, fn?1 ( x) ? fn' ( x) , n∈N,则

'

f2007 ( x) ? (
A. sin x

). B.- sin x C. cos x D.- cos x

【作业布置】 任课教师自定

学习反思:本节课我学到了什么?本节课我的学习效率如何?本节课还有哪些我没学懂?

5

【学习目标】 1. 2. 结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的重要性; 掌握演绎推理的基本方法,并能运用它们进行一些简单的推理.

【自主学习】(阅读教材 P76—P81,独立完成下列问题) 1. 复习: 归纳推理是由 类比推理是由 2. 新知:演绎推理是从 简言之,演绎推理是由 到 到 到 的推理. 的推理. 出发,推出 的推理. 情况下的结论的推理.

3.新知:“三段论”是演绎推理的一般模式: 大前提—— 小前提—— 结 论—— ; ; .

试试:请把教材 78 页的演绎推理(2)至(5)写成“三段论”的形式.

【合作探究】 例 1 在锐角三角形 ABC 中, AD ? BC , BE ? AC ,D,E 是垂足. 求证:AB 的中点 M 到

D,E 的距离相等.

新知:用集合知识说明“三段论” : 大前提: 小前提: 结 论:

6

例 2 证明函数 f ( x) ? ? x2 ? 2 x 在 ? ??, ?1? 上是增函数.

小结:应用“三段论”解决问题时,首先应该明确什么是大前提和小前提,但为了叙述 简洁,如果大前提是显然的,则可以省略.

【目标检测】

1 1 1. 因为指数函数 y ? a x 是增函数, y ? ( ) x 是指数函数,则 y ? ( ) x 是增函数.这个结 2 2
论 ( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 是 错 误 的 , 这 是 因 为

2. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真 分数”结论显然是错误的,是因为 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 ( )

D.非以上错误

3. 用三段论证明:通项 公式为 an ? cqn (cq ? 0) 的数列 {an } 是等比数列 .

4. 在 ?ABC 中, AC ? BC ,CD 是 AB 边上的高,求证 ?ACD ? ?BCD . 证明:在 ?ABC 中, CD ? AB, AC ? BC ,所以 AD ? BD , 于是 ?ACD ? ?BCD . 指出上面证明过程中的错误. 【作业布置】任课教师自定 学习反思:本节课我学到了什么?本节课我的学习效率如何?本节课还有哪些我没学懂?

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