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高一盐城市阜宁县东沟中学2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题

2012-2013 学年江苏省盐城市阜宁县东 沟中学高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题 1. 分)已知△ ABC 的三边分别是 a、b、c,且面积 (3 ,则角 C= 45° .

考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先利用余弦定理,将面积化简,再利用三角形的面积公式,可得 cosC=sinC,根据 C 是△ ABC 的内角,可求得 C 的值. 解答: 解:由题意, ∵ ∴cosC=sinC ∵C 是△ ABC 的内角 ∴C=45° 故答案为:45° 点评: 本题重点考查余弦定理的运用,考查三角形的面积公式,属于基础题. 2. 分)2 ﹣1 除以 9 以后的余数为 7 . (3 考 二项式定理的应用. 点: 专 计算题. 题: 分 把所给的式子化为(9﹣1)11﹣1,按照二项式定理展开,可得它除以 9 的余数. 析: 解 解:由于 233﹣1=811﹣1=(9﹣1)11﹣1 答: = + + +…+ + ﹣1, ﹣1=
33

由于前 11 项都有因数 9,故所给的式子故除以 9 的余数即为 ﹣2 除以 9 的余数, 故所给的式子除以 9 的余数为 7,
1

故答案为 7. 点 本题主要考查二项式定理的应用,把所给的式子化为(9﹣1) ﹣1,是解题的关键,体 评: 现了转化的数学而思想, 属于中档题. 3. 分)下面有四个命题: (3 (1)函数
2 11

是偶函数;

(2)函数 f(x)=|2cos x﹣1|的最小正周期是 π; (3)函数 上是增函数; .

(4)函数 f(x)=asinx﹣bcosx 的图象的一条对称轴为直线 其中正确命题的序号是 (1) (4) .

考点: 正弦函数的对称性. 专题: 转化思想. 分析: (1) :因为 ,并且函数的定义域为 R,所以函数是偶函数. :因为 f(x) (2) =|cos2x|,所以函数的最小正周期为 调增区间为[2kπ﹣ ,2kπ+ . :因为函数 (3) +x)=f( 的单 ﹣x) ,根据两角和

]. (4)因为 f(

与差的正弦余弦公式可得(a+b)sinx=0,所以 a+b=0. 解答: 解: :由题意可得: (1) ,又因为函数的定义域为 R,所 以函数是偶函数.所以(1)正确. (2) :因为 f(x)=|2cos x﹣1|=|cos2x|,所以函数的最小正周期为 误. (3) :因为函数 (3)错误. (4) 由题意可得: ( f ﹣2bsin +x) ( =f ﹣x) 对任意 x∈R 恒成立, 即可得 2acos sinx= 的单调增区间为[2kπ﹣ ,2kπ+ ],所以
2

.所以(2)错

sinx 对任意 x∈R 恒成立,(a+b) 即 sinx=0 对任意 x∈R 恒成立, 所以 a+b=0,

所以(4)正确. 故答案为(1) . (4) 点评: 本题主要考查三角函数的性质,如单调性,周期性,奇偶性以及对称性,此题属于中 档题型,考查计算能力,转化思想的应用.

4. 分)若函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,且 (3

,则 f(2012)的值为 ﹣1 .

2

考点: 对数的运算性质;函数的值. 专题: 计算题;整体思想. 分析: 利用对数的运算性质,可得 解答: 解:由函数 f(x)=alog2x+blog3x+2,

,由此,即可求解 f(2012)的值.

得 f( )=alog2 +blog3 +2=﹣alog2x﹣blog3x+2=4﹣(alog2x+blog3x+2) , 因此 f(x)+f( )=4 再令 x=2012 得 f(2012)+f( 所以 f(2012)=4﹣ )=4 =﹣1,

故答案为:﹣1. 点评: 本题考查了对数的运算性质,函数的简单性质,利用互为倒数的两个自变量的函数值 之间的关系,是解决本题的关键. 5. 分) (3 (2008?山东)执行下边的程序框图,若 p=0.8,则输出的 n= 4 .

考点: 程序框图. 分析: 根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知:该程序的作用 是判断 S= >0.8 时,n+1 的值.

解答: 解:根据流程图所示的顺序, 该程序的作用是判断 S= 当 n=2 时, >0.8 时,n+1 的值.

3

当 n=3 时,



此时 n+1=4. 故答案为 4 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处理 方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中既要分析出计算的类 型,又要分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据 进行分析管理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模.

6. 分) (3 (2011?杭州一模)设 n 为正整数, f(4)>2, (n∈N ) . 考点: 归纳推理. 专题: 探究型. 分析: 根据已知中的等式:
*

,计算得 f(2 )≥
n



,f(16)>3,观察上述结果,可推测一般的结论为

,f(4)>2,

,f(16)>3,…,我们分

析等式左边数的变化规律及等式两边数的关系,归纳推断后,即可得到答案. 解答: 解:观察已知中等式: 得 f(4)>2, , f(16)>3, …, 则 f(2 )≥
n



(n∈N )
n

*

故答案为:f(2 )≥

(n∈N ) .

*

点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2)从已知的相 同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) 7. 分)一个正三棱柱的三视图,则这个棱柱的体积为 48 (3 .

4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高,进而求出底面面 积,代入棱柱体积公式,即可得到答案. 解答: 解:由已知中三视图,可得这个正三棱柱的高为 4,底面上的高为 6.底面边长 = =4 ,

则底面面积 S= 则正三棱柱的体积 V=Sh=12 故答案为:48 .

=12 ×4=48

, .

点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图判断出几何的形状, 并分析出棱长,高等关键几何量是解答本题的关键.

8. 分)函数 f(x)= (3 ①f(x)在(﹣∞,π)内连续,则 a= 0 ②若①成立,则集合{x|f(f(x) )=0}元素的个数有 5 . 考点: 函数的连续性. 专题: 计算题. 分析: ①根据 f(x)在(﹣∞,π)内连续建立等式关系,解之即可求出 a; ②根据分段函数 f(x)解析式,我们结合集合元素要满足的性质 f(f (x) )=0,易 通过分类讨论求了所有满足条件的 x 的值,进而确定集合中元素的个数. 解答: 解:①∵f(x)在(﹣∞,π)内连续, ∴f(0)=a=4sin0 即 a=0 故答案为:0 ② 当 x≤0 时,f(x)=0 可得 x=0 当 0<x≤π 时,若 f(x)=4sinx=0,则 sinx=0,则 x=π 2 当 x≤0 时,若 f(x)=x =π,则 x=﹣ ,

5

当 0<x≤π 时,若 f(x)=4sinx=π,则 sinx= ,则 x= ,

又∵f[f (x)]=0 ∴f (x)=0,或 f (x)=π ∴x=﹣ ,或 x=0,或 x= ,或 ,或 x=π

故答案为:5 点评: 本题主要考查了函数的连续性,以及集合中元素的个数及分段函数的函数值,其中根 据分段函数的解析式,利用分类讨论的思想构造关于 x 的方程是解答本题的关键,属 于中档题. 9. 分)当一个非空数集 F 满足条件“如果 a,b∈F,则 a+b,a﹣b,a?b∈F,并且当 b≠0 时, (3 ∈F”时,我们就称 F 为一个数域.以下四个关于数域命题: ①0 是任何数域的元素; ②若数域 F 中有非零元素,则 2011∈F; ③集合 p={x|x=3k,k∈Z}是一个数域; ④有理数是一个数域. 其中正确命题的序号为 ①②④ . 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: 根据新定义:“如果 a,b∈F,则 a+b,a﹣b,a?b∈F,并且当 b≠0 时, ∈F”时,我们 就称 F 为一个数域,对①②③④进行一一验证,可以利用特殊值法进行判断; 解答: 解:①根据新定义 a,b∈F, ∈F,对于 a=0,可得 0∈F,故①正确; ②若数域 F 中有非零元素, 可以取实数域, F 可取 a=2010, b=1, 可得 2010+1=2011∈F, 故②正确; ③集合 p={x|x=3k, k∈Z}, 中都是 3 的倍数, k=1, p 取 k=2, 可得 a=3, b=6, 可得 故③错误; ④有理数是一个数域为 F, 对已任意 a, b∈F, a+b, a﹣b, a?b∈F, 并且当 b≠0 时, ∈F”, 故④正确; 故答案为:①②④; 点评: 此题是一道新定义,关键是读懂题意,此题是一道基础题; 10. 分)已知函数 f(x)= (3 ﹣1=0 . ,则函数 f(x)在点(0,f(0) )处切线方程为 x+y ?p,

6

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 先求函数的导函数 f′(x) ,再求所求切线的斜率即 f′(0) ,由于切点为(0,1) , 故由点斜式即可得所求切线的方程. 解答: 解:∵f(x)= ,

∴f′(x)=

=

∴f′(0)=﹣1,f(0)=1 即函数 f(x)图象在点(0,1)处的切线斜率为﹣1 ∴图象在点(0,f(0) )处的切线方程为 x+y﹣1=0 故答案为:x+y﹣1=0 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及基本函数导数公式,导数的 四则运算,属于基础题.

11. 分)执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为 (3



考点: 程序框图. 专题: 阅读型;图表型. 分析: 框图首先给变量 S,p,i 赋值,然后判断判断框中的条件是否满足,满足条件,执行 ,i=i+1,p=p?i,再判断,在执行,当不满足条件时跳出循环,算法结束,输 出 S 的值. 解答: 解:首先给变量 S,p,i 赋值 0,1,1. 判断 1≤100 满足,执行 ,i=1+1=2,p=1×2=2;

7

判断 2≤100 满足,执行 判断 6≤100 满足,执行 判断 24≤100 满足,执行

,i=2+1=3,p=2×3=6; ,i=3+1=4,p=6×4=24; ,i=4+1=5,p=24×5=120; .

判断 120≤100 不满足,算法结束,跳出循环,输出 S 的值为 故答案为 .

点评: 本题考查了程序框图,考查了当型结构,当型结构是先判断后执行,满足条件执行循 环,不满足条件,算法结束,是基础题.

12. 分)已知向量 =(2,﹣1) =(x,﹣2) =(3,y) (3 , , ,若 ∥ , + )⊥( ﹣ ( ) ,则 x+y 的值为 5 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量的平行和垂直的充要条件分别可得想,y 的值,相加即可得答案. 解答: 解:∵ ,∴2×(﹣2)﹣(﹣1)x=0,解得 x=4 故 =(4,﹣2) , 由 =(6,﹣3) , 可得 =(﹣1,﹣1﹣y) =0,即﹣6+3+3y=0,

解得 y=1,故 x+y=5 故答案为:5 点评: 本题考查向量的基本运算,涉及向量的平行和垂直的充要条件及数量积的运算,属中 档题. 13. 分) (3 (2012?湖北模拟)设 为空间的三个向量,如果 线性无关,

成立的充要条件为 λ1=λ2=λ3=0,则称 否则称它们线性相关.今已知

线性相关,那么实数 m 等于 0 . 考点: 充要条件;空间向量运算的坐标表示. 专题: 计算题;新定义. 分析: 根据题意,分析可得,若三个向量线性相关,则存在不全为 0 的实数 x、y、z,使得
8

x +y +z = 成立, 由向量的坐标运算可得

, 分析可得 x=﹣ z, z, y=

进而有 mz=0,又由 x、y、z 不全为 0,分析可得 z≠0,即可得答案. 解答: 解:根据题意,若 线性相关, 则存在不全为 0 的实数 x、y、z,使得 x +y +z = 成立,







,可得 x=﹣ z,y= z,

将其代入 3x+y+mz=0 中,有 mz=0, 又由 x、y、z 不全为 0,且 x=﹣ z,y= z, 则 z≠0, 故有 m=0, 故答案为 0. 点评: 本题考查空间向量的线性相关的判断,关键是正确理解空间向量的线性相关定义.

14. 分)已知 0<x<1,则 (3

的最大值是



考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵0<x<1,∴ 故 故答案为 . 点评: 熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键. 的最大值是 .

= .当且仅当

时取等号.

二、解答题 2 15. (2010?宁德模拟)已知过点 A(﹣4,0)的动直线 l 与抛物线 C:x =2py(p>0)相交 于 B、C 两点.当 l 的斜率是 (1)求抛物线 C 的方程;
9



(2)设 BC 的中垂线在 y 轴上的截距为 b,求 b 的取值范围. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)设出 B,C 的坐标,利用点斜式求得直线 l 的方程,与抛物线方程联立消去 x, 利用韦达定理表示出 x1+x2 和 x1x2, 根据 求得 y2=4y1, 最后联立方程求得 y1,

y2 和 p,则抛物线的方程可得. (2)设直线 l 的方程,AB 中点坐标,把直线与抛物线方程联立,利用判别式求得 k 的范围,利用韦达定理表示出 x1+x2,进而求得 x0,利用直线方程求得 y0,进而可表 示出 AB 的中垂线的方程,求得其在 y 轴上的截距,根据 k 的范围确定 b 的范围. 解答: 解: (1)设 B(x1,y1) ,C(x2,y2) ,由已知 k1= 时,l 方程为 y= (x+4)即 x=2y ﹣4. 由 得 2y ﹣(8+p)y+8=0
2

①②∴

又∵

,∴y2=4y1③
2

由①②③及 p>0 得: 1=1, 2=4, y y p=2, 即抛物线方程为: =4y. 设 l: (x+4) x (2) y=k , BC 中点坐标为(x0,y0) 由 得:x ﹣4kx﹣16k=0④
2

∴ ∴BC 的中垂线方程为



∴BC 的中垂线在 y 轴上的截距为:b=2k +4k+2=2(k+1) 2 对于方程④由△ =16k +64k>0 得:k>0 或 k<﹣4. ∴b∈(2,+∞) 点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题. 解决此类问题要充分发挥判别式和韦达 定理在解题中的作用.
2

2

2

16.已知 f′(x)是函数 f(x)= x +

(n∈N )的导函数,数列{an}满足 a1=1,an+1=f′

*

(an) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=(2n﹣1) (2﹣an) n 为数列{bn}前 n 项和,求 Sn. ,S

10

考点: 导数的运算;数列与函数的综合. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: (1)由条件求出 f′(x)=x+ ,于是 a 1﹣ ,可得 an.

n+1=f′(an)=an+

,计算 an﹣a1 的值为

(2)由于 bn=(2n﹣1) (2﹣an)=(2n﹣1)? 用错位相减法求得 (1﹣ )Sn 的值, 即可求得 Sn 的值. 解答: (1)∵函数 f(x)= x2+ 解 ∴f′(x)=x+

,求出前 n 项和 Sn 的解析式,

,n∈N , ,从而 an+1﹣an= ,n∈N , 分) (3
*

*

,于是 an+1=f′(an)=an+

∴an﹣a1=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a3﹣a2)+(a2﹣a1) = + +…+ + =1﹣ ,即 an=2﹣ , =1× +3× +5× +…+(2n﹣1) ,n∈N . (6 分)
*

(2)∵bn=(2n﹣1) (2﹣an)=(2n﹣1)? ∴Sn=1×1+3× +5× , 用错位相减法求得 (1﹣ )Sn=1+2[ + +…+ +…+(2n﹣1) ,故

]﹣(2n﹣1)

=3﹣



=3﹣

,…(9 分)

故 Sn=6﹣

. (12 分)

点评: 本题主要考查导数的运算,数列与函数的综合应用,用错位相减法进行数列求和,属 于中档题. 17.集合 A={x|log2(x﹣3)>1},B={x|2
x﹣a

>2},A?B,求 a 的取值范围.

考点: 其他不等式的解法;集合的包含关系判断及应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 解对数不等式求得 A,解指数不等式求得 B,再由 A?B 可得 a 的范围. 解答: 解:由于集合 A={x|log2(x﹣3)>1}={x|x﹣3>2}={x}x>5}, B={x|2 >2}={x|x﹣a>1}={x|x>a+1}, 因为 A?B, 故有 a+1≤5,解得 a≤4,即 a 的范围是(﹣∞,4]. 点评: 本题主要考查对数不等式、指数不等式的解法,集合间的包含关系,属于中档题.
11
x﹣a

18. (2008?重庆)设函数 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1(a<0) .若曲线 y=f(x)的斜率最小的切 线与直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值; (Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 考点: 导数的运算;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出导函数的最小值,最小值与直线 12x+y=6 的斜率相等建立等式关系,求 出 a 的值即可; (2)先求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0, 解得的区间就是所求. 2 2 解答: (Ⅰ)因 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1 解: 所以 f'(x)=3x +2ax﹣9= 即当 x= 时,f'(x)取得最小值 .
2

3

2

因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为﹣12, 所以 解得 a=±3,由题设 a<0,所以 a=﹣3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=﹣3,因此 f(x)=x ﹣3x ﹣9x﹣1,f'(x)=3x ﹣6x﹣9=3(x ﹣3(x+1) 令 f'(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故 f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数; 当 x∈(﹣1,3)时,f'(x)<0,故 f(x)在(﹣1,3)上为减函数; 当 x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ; 单调递减区间为(﹣1,3) . 点评: 本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的 解法等基础知识,属于基础题. 19.已知⊙O1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ.点 A 的极坐标是(2,π) . (Ⅰ)把⊙O1 的极坐标方程化为直角坐标参数方程,把点 A 的极坐标化为直角坐标. (Ⅱ)点 M(x0,y0)在⊙O1 上运动,点 P(x,y)是线段 AM 的中点,求点 P 运动轨迹 的直角坐标方程. 考点: 点的极坐标和直角坐标的互化;轨迹方程. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: (I)将⊙O1 的极坐标方程两边者乘以 ρ,得 ρ =4ρcosθ,再根据公式 ρcosθ=x 和 2 2 2 ρ =x +y ,代入化简即可得到⊙O1 的直角坐标方程,进而得到⊙O1 的参数方程.最 后由极坐标化直角坐标的公式,不难得到点 A(2,π)的直角坐标.
3 2 2

12

(II)根据中点坐标公式和 A、M 的坐标,算出
2

,再根据点 M(x0,y0)
2

是⊙O1 上的点,代入得到关于 x、y 二次方程,化简得 x +y =1 即为点 P 运动轨迹的 直角坐标方程. 解答: (I)∴⊙O1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,∴两边者乘以 ρ,得 ρ2=4ρcosθ 解: 2 2 2 ∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y , 2 2 2 2 ∴⊙O1 的直角坐标方程为 x +y =4x,化成标准方程得(x﹣2) +y =4 令 x=2+2cosα,y=2sinα,得⊙O1 的参数方程为 设点 A 的直角坐标为(m,n) ∵点 A 的极坐标是(2,π) ,∴m=2cosπ=﹣2,n=2sinπ=0 由此可得点 A 的直角坐标为(﹣2,0) . (II)∵A(﹣2,0) ,M(x0,y0) , (α 为参数)

∴线段 AM 的中点 P(x,y)满足

,可得

∵点 M(x0,y0)在⊙O1 上运动, 2 2 2 2 2 2 ∴(x0﹣2) +y0 =4,可得[(2+2x)﹣2] +(2y) =4,化简得 x +y =1 2 2 由此可得:点 P 运动轨迹的直角坐标方程为 x +y =1. 点评: 本题给出⊙O1 的极坐标方程,求它的直角坐标方程与参数方程,并依此求动点 P 的 轨迹.着重考查了极坐标方程与直角坐标方程、参数方程的互化和轨迹方程求法的一 般步骤等知识,属于中档题. 20.已知抛物线 C:y =2px,点 P(﹣1,0)是其准线与 x 轴的焦点,过 P 的直线 l 与抛物 线 C 交于 A、B 两点. (1)当线段 AB 的中点在直线 x=7 上时,求直线 l 的方程; (2)设 F 为抛物线 C 的焦点,当 A 为线段 PB 中点时,求△ FAB 的面积. 考点: 抛物线的应用;直线的点斜式方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题. 分析: (1)先求出抛物线的方程,再将其与直线方程联立,利用线段 AB 的中点在直线 x=7 上,从而求出直线 l 的方程; (2)利用点 B 在抛物线上及 A 为线段 PB 中点,求出点 B 的坐标,进而求出△ FAB 的面积. 解答: (1)因为抛物线的准线为 x=﹣1,所以 p=2,抛物线方程为 y2=4x(2 分) 解: 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 l 的方程为 y=k(x+1)(依题意 k 存在,且 k≠0) , 与抛物线方程联立,消去 y 得 k x +(2k ﹣4)x+k =0…(*) (14 分)
2 2 2 2 2

,x1x2=

13

所以 AB 中点的横坐标为 (此时(*)式判别式大于零) 所以直线 l 的方程为

,即

所以

(6 分)

(7 分)

(2)因为 A 为线段 PB 中点,所以

(8 分)

由 A、B 为抛物线上点,得 解得 x2=2, 当 时, (11 分) ;当 时,

,y2 =4x2(10 分)

2

(12 分) (14 分)

所以△ FAB 的面积

点评: 直线与圆锥曲线相交问题,既可从数的角度,也可从形的角度加以探究,应注意分类 讨论和数形结合的思想方法的运用.

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