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【全国百强校】广东省湛江第一中学等四校2016届高三上学期第一次联考数学(文)试题


“四校”2015—2016 学年度高三第一次联考试题

文科数学
本试卷共 4 页,24 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项: 1.答卷前,考生用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和学号填写在答题卷上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先填选做题题号,再作答.漏填的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡、答题卷的整洁.考试结束后,将试卷与答题卷一并交回. 参考公式:半径为 R 的球的表面积公式: S球 ? 4?R2 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
2 1、已知集合 A ? {0, b}, B ?{ x ? Z x ?3x ? 0}, 若 A ? B ? ?, 则 b 等于(



A.1

B.2

C. 3

D. 1 或 2 )

2、已知 i 为虚数单位,且 |1 ? ai |? 5 ,则实数 a 的值为( A.1 3、双曲线 B.2 C.1 或-1 D.2 或-2 )

y2 ? x 2 ? 1的渐近线方程为( 3
B.

A.

y ? ? 3x

y??

3 x 3

C.

y ? ?2 x


D.

y??

2 3 x 3

4、函数 f ( x ) ? sin( x ? A. x ?

?
4

) 的图像的一条对称轴方程是(

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2


?1, x ? 0 ?1, x为有理数 ? 5、设 f ( x ) ? ?0, x ? 0 , g ( x ) ? ? ,若 f ( g (a)) ? 0 ,则( ?0, x为无理数 ?? 1, x ? 0 ?
A. a 为无理数 B. a 为有理数 C. a ? 0

D. a ? 1

-1-

6、 设函数 f ( x ) ,g ( x) 的定义域都为 R, 且 f ( x ) 是奇函数,g ( x) 是偶函数, 则下列结论中正确的是( A. f ( x) g(x) 是偶函数 C. f (? x) 是奇函数 B. | f ( x) | g ( x) 是奇函数 D. | g ( x) | 是奇函数 开始 B. AC ? AC ?AB D. (CA ? CB)? (CA ? CB) ? 0

)

7、已知点 D 为等腰直角三角形 ABC 斜边 AB 的中点,则下列等 式中恒 成立的是( . )

??? ? ??? ? ??? ? CA CB ? ? ??? ? A. CD ? ??? | CA | | CB | ??? ? ??? ? ??? ? C. BC ? BC ?BA

??? ?

??? ? ??? ?

输入 a , b 是

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

a ? b? 否

8、我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开 仓收粮,有人送来米 1534 石,验得米内夹谷,抽样取米一 把,数得 254 粒内夹 谷 28 粒,则这批 米内夹谷约为( A、1365 石 C、169 石 B、338 石 D、134 石 )

a ?b ?

b ?1 a
输出 a ? b 结束

a ?b ?

a ?1 b

第9题

9 、对任意非零实数 a , b ,定义 a ? b 的算法原理如程序框图所示。设 a 为函数 y ? x2 ? 2x ? 3

( x ? R) 的最小值, b 为抛物线 y 2 ? 8x 的焦点到准 线的距离,则计算机执行该运算后输出结果是
( )

2 A、 3

3 B、 2

7 C、 2
) C.

1 D、 2

10、已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为 2 的正 三角形,俯视图是直径为 2 的圆,则此几何体的 外接球的表面积为( A.

16 ? 3

B.

4 ? 3

16 ? 9

D.

4 ? 9


?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2 2 11、已知满足 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 的 ( x, y ) 使 x ? ( y ?1) ? m 恒成立,则 m 的取值范围是( ? x? y?2?0 ?
A. m ? 1 B. m ? 2
3 2

C. m ? 2

D. m ? 5 )

12、若函数 f ( x) ? x ? bx ?

1 有且仅有两个不同零点, 则 b 的值为( 2
3

A. 2

B.

3 2

C.

2 2

D.不确定

-2-

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽 米. 第 13 题

14、已知等比数列{ an }为递增数列.若 a1 >0,且 2(a4 ? a6 ) ? 5a5 ,则数列{ an }的公比 q =_____. 15、 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 a = 2, cos C = 16、若正数 x,y 满足 3x ? y ? 5 xy ,则 4 x ? 3 y 的最小值是

1 , 3sin A = 2sin B ,则 c =____. 4



三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 1 7、(本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 4 , a4 ? a7 ? 15 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? b10 的值. an an ?1

-3-

18、 (本题满分 12 分)

[ 来源:Zxxk.Com]

空气污染,又称为大气污染,是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中,呈现出足够的 浓度,达到足够的时间,并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象.全世界也越来越关注 环境保护问题.当空气污染指数(单位: ?g / m3 )为 0 ~ 50 时,空气质量级别为一级,空气质量状况 属于优;当空气污染指数为 50 ~ 100 时,空气质量级别为二级,空气质量状况属于良;当空气污染 指数为 100 ~ 150 时,空气质量级别为三级,空气质量状况属于轻度污染;当空气污染指数为

150 ~ 200 时, 空气质量级别为四级, 空气质量状况属于中度污染; 当空气污染指数为 200 ~ 300 时,
空气质量级别为五级,空气质量状况属于重度污染;当空气污染指数为 300 以上时,空气质量级别为 六级,空气质量状况属于严重污染.2015 年 8 月某日某省 x 个监测点数据统计如下: 空气污染指数(单位: ?g / m3 ) 监测点个数

?0,50?
15

?50,100?
40

?100,150?
y

[

?150, 200?
10

(Ⅰ)根据所给统计表和频率分布直方图 中的信息求出 x , y 的值,并完成频率分布直方图; (Ⅱ)在空气污染指数分别为 50 ~ 100 和 150 ~ 200 的监测点中,用分层抽样的方法抽取 5 个监 测点,从中任意选取 2 个监测点,事件 A“两个都为良”发生的概率是多少?
频率 组距

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

空气污染指数 ( ?g / m3 )

-4-

19、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 E ? ABCD 中, AE ? DE , CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE , CD ? DA ? 6 ,
DE ? 3 .

(Ⅰ)求 证 : AB ∥平面 CDE ; (Ⅱ)求 证 : 平面 ACE ? 平面 CDE ; (Ⅲ)求 三棱锥 E ? ACD 的 体 积 ;

19 题

20、 (本小题满分 12 分)

y 2 x2 2 2 设椭圆 M : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率与双曲线 x ? y ? 1的离心率互 为倒数,且内切于圆 a b

x2 ? y2 ? 4 。
(1)求椭圆 M 的方程; (2)已知 A(?2, 2) , F 是椭圆 M 的下焦点,在椭圆 M 上是否存在点 P,使 ? AFP 的周长最大? 若存在,请求出 ? AFP 周长的最大值,并求此时 ? AFP 的面积;若不存在,请说明理由。

-5-

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? ax ? 3(a ? 0) (1)求函数 f ( x ) 的极值; (2)若对于任意的 a ? [1, 2] ,若函数 g ( x ) ? x ?
3

x2 [m ? 2 f ?( x )] 在区间 ?a,3? 上有最值,求实数 m 2

的取值范围.
[来源:Z§xx§k.Com]

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,解答时请写清题号. 22、选修 4-1:几何证明选讲(本题满分 10 分) 如图, AB 是圆 O 的直径, AC 是弦, ?BAC 的平分线 AD 交圆 O 于 点 D , DE ? AC ,交 AC 的延长线于点 E , OE 交 AD 于点 F . (1)求证: DE 是圆 O 的切线;
0 (2)若 ?CAB ? 60 , ? O 的半径为 2, EC ? 1 ,求 DE 的值.

23、选修 4—4:坐标系与参数方程(本题满分 10 分 ) 在平面直角坐标系中,直线 l 过点 P(2, 3) 且倾斜 角为 ? ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极 轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 cos(? ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 | AB |? 13 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值。

?
3

) ,直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点;

24、选修 4 - 5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 7 | ?1。 (1)求不等式 f ( x) ? x 的解集; (2)若存在 x 使不等式 f ( x) ? 2 | x ? 1|? a 成立,求实数 a 的取值范围。

-6-

“四校”2015—2016 学年度高三第一次联考

文科数学参考答案与评分标准

说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种解法供参考,如果 考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分 数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正确解答应得 分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案 1 D 2 D 3 A 4 C 5 A 6 C 7 D 8 C 9 B 10 A 11 C 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13、 2 6 14、2 15、4 16、5

三、解答题:本大题共 8 小题,满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17、解: (I)设等差数列 ?an ? 的公差为 d 。 由已知得 ?

? ?a1 ? d ? 4 ? ?? a1 ? 3d ? ? ? a1 ? 6d ? ? 15

解得 ?

?a1 ? 3 ????????4 分 d ? 1 ?
????????6 分

所以 an ? a1 ? ? n ?1? d ? n ? 2 (Ⅱ)∵ an ? n ? 2 ,∴ bn ? ∴

1 1 1 1 ?????9 分 ? ? ? an an?1 (n ? 2)(n ? 3) n ? 2 n ? 3

1 1 1 1 1 1 1 1 10 b1 ? b2 ? ? ? b10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 4 4 5 12 13 3 13 39
???????12 分 18、解: (Ⅰ)? 0.003 ? 50 ?

频率 组距

15 ? x ? 100 , x
??2 分

0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003 0.002 0.001 0 50 100 150 200

?15 ? 40 ? y ? 10 ? 100? y ? 35

40 35 10 ? 0.008 , ? 0.007 , ? 0.002 100 ? 50 100 ? 50 100 ? 50
频率分 布直方图如图所示?5 分

空气污染指数 ( ?g / m3 )

-7-

(Ⅱ)在空气污染指数为 50 ~ 100 和 150 ~ 200 的监测点中分别抽取 4 个和 1 个监测点。设空气污染 指数为 50 ~ 100 的 4 个监测点分别记为 a,b,c,d;空气污染指数为 150 ~ 200 的 1 个监测点记为 E。 从中任取 2 个的基本事件分别为(a,b),(a,c),(a,d),(a,E),(b,c),(b,d), (b,E),(c ,d),(c,E),(d,E)共 10 种,?8 分 其中事件 A“两个都为良”包含的 基本事件为(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)共 6 种,?10 分 所以事件 A“两个都为良”发生的概率是 P ( A) ? 19、 (Ⅰ)证明:∵ CD ? 平面 ADE , AB ? 平面 ADE

6 3 ? . 10 5
∴ AB / / CD

??12 分 ????2 分

∵ AB ? 平面 CDE ,CD ? 平面 CDE ,∴ AB ∥平面 CDE

????4 分

(Ⅱ)证明:因为 CD ? 平 面 A D E , AE ? 平 面 A D E , 所以 CD ? AE . 又因为 AE ? DE ,

CD ? DE ? D , CD, DE ? 平面CDE ,
所 以 AE ? 平 面 C D E. ????? ????7 分 又因为 AE ? 平面 ACE , 所 以平面 ACE ? 平面 CDE . ??????8 分

(Ⅲ)解 : ∵ CD ? 平 面 ADE, ∴ CD 是三棱锥 C ? AED 的高; ????9 分 在 Rt ?AED 中, AE= AD2 ? ED2 ? 62 ? 32 ? 3 3 ,∴ S?AED ? ∴四棱锥 E ? ACD 的 体 积

1 9 3 ? 3? 3 3 ? 2 2

VE ? ACD ? VC ? AED ?

1 1 9 3 S?AED ? CD ? ? ?6 ? 9 3 3 3 2

??12 分

2 2 20、解: (1)∵双曲线 x ? y ? 1的离心率为 2 ,∴椭圆 M 的离心率为 e ?

c 2 ???2 分 ? a 2

∵椭圆 M 内切于圆 x ? y ? 4
2 2

圆x 2 ? y 2 ? 4的直径为 4,则2a ? 4,
?2 a ? 4 ?a ? 2 ? ? 2 ?c 得: ? ? ? ?c ? 2 2 ?a ? 2 ?b ? 2 ?b ? a 2 ? c 2 ?
所求椭圆 M 的方程为

??????????4 分

y 2 x2 ? ? 1 .????????5 分 4 2

(2)椭圆 M 的上焦点为 F | PF |? 4? | PF1 | 1 | ? | PF |? 4,? 1 (0, 2) ,由椭圆的定义得: | PF

? AFP 的周长为

| PA | ? | PF | ? | AF|?| PA | ? | PF1 | ?4 ? 2 3 ?| AF1 | ?4 ? 2 3 ? 6 ? 2 3
当且仅当点 P 在线段 AF1 的延长线上时取等号。 ∴在椭圆 M 上存在点 P,使 ? AFP 的周长取得最大值 6 ? 2 3 , ?????9 分

-8-

? y? 2 ? ? ? ? x ?1 ? x ? ?1 解得 : ? 或? 直线 AF1 的方程为 y ? 2 ,由 ? y 2 x 2 ? ?1 ?y ? 2 ? ?y ? 2 ? ? ?4 2
∵点 P 在线段 AF1 的延长线上,∴点 P 的坐标为 P(1, 2) ,???????11 分

? AFP 的面积 S? AFP ?

1 1 | AP || FF1 |? ? 3 ? 2 2 ? 3 2 ???????12 分 2 2
1 ? a ,????2 分 x

21、解: (1)由已知得 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,且 f ?( x ) ? 当 a ? 0 时, f '( x) ?

1 ? a ? 0 ,∴ f ( x ) 在 (0, ??) 单调增, f ( x ) 无极值;????3 分 x 1 1 1 1 ? a ? 0得:0<x< , 由 f '( x) ? ? a ? 0得:x> , x a x a 1 , ??)上单调递减.????4 分 a

当 a ? 0 时,由 f '( x) ?

∴ f ( x)在(0, )上单调递增,在(

1 a

∴ f ( x)的极大值f( ) ? ?(ln a ? 4) ,无极小值。 ???????5 分 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 无极值; 当 a ? 0 时, f ( x)有极大值f( ) ? ?(ln a ? 4) ,无极小值。 ????6 分 (2) g ( x ) ? x ?
3

1 a

1 a

x2 m [m ? 2 f ?( x )] ? x 3 ? ( ? a ) x 2 ? x, ? g?( x) ? 3x 2 ? (m ? 2a) x ? 1, 2 2

? g ( x ) 在区间 ( a , 3) 上有最值, ? g ( x ) 在区间 ( a , 3) 上有极值,即方程 g '( x) ? 0 在 ( a,3) 上有一个或两个不等实根,
又 g ?(0) ? ?1? ?

? g ?(a ) ? 0 ? g ?(3) ? 0
2

??????????9 分
2

由题意知:对任意 a ?[1,2], g?(a) ? 3a ? (m ? 2a) ? a ? 1 ? 5a ? ma ? 1 ? 0 恒成立,

?m ?

1 ? 5a 2 1 ? ? 5a, 因为 a ? [1, 2] a a
/

?m ? ?

19 2

对任意 a ? ?1,2? , g ?3? ? 26 ? 3m ? 6a ? 0 恒成立 ∴m ?

? 6a ? 26 26 ?? ? 2a 3 3

∵ a ? ?1,2?

∴m ? ?

32 3

??

32 19 ?m?? 3 2

????????????12 分

22、 (1)连接 OD ,可得 ?ODA ? ?OAD ? ?DAC ,∴ OD // AE ,????3 分 又 AE ? DE ,∴ DE ? OD ,又 OD 为半径, ∴ DE 是圆 O 的切线 ????????????5 分
-9[来源:Z+xx+k.Com]

(2)连结 BC,在 Rt ?ABC 中, ?CAB ? 600 , AB ? 4,? AC ? AB cos 600 ? 2 ?7 分 又∵ EC ? 1,? AE ? EC ? CA ? 3 由圆的切 割线定理得: DE 2 ? CE? EA ? 3,? DE ? 3 23、解: (1) ∵ ? ? 4 cos(? ? ???????10 分

[来源:学科网 ZXXK]

?
3

),? ? ? 4(cos ? cos

?

? sin ? sin ) ? 2(cos ? ? 3 sin ? ) ?3 分 3 3

?

∴ ? 2 ? 2(? cos? ? 3? sin ? ),? x2 ? y2 ? 2x ? 2 3 y , ∴曲线 C 的直角坐标方程为 ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 4 。?????????5 分 (2)当 ? ? 90 时, l : x ? 2 ,∴ | AB |? 2 3 ? 13 ,∴ ? ? 90 舍 ????6 分
0 0 0 当 ? ? 90 时,设 tan ? ? k ,则 l : y ? 3 ? k ( x ? 2),即kx? y? 2k? 3 ? 0 ,

∴圆心 C (1, 3) 到直线 kx ? y? 2k ? 3 ? 0 的距离 d ?

| k ? 3 ? 2k ? 3 | k ?1
2

?

|k| k 2 ?1

k 13 ? | AB | ? 由d ?? ? ? 4, 解得:k= ? 3 ? ? 4得: 2 k ?1 4 ? 2 ?
2

2

2

? tan? = ? 3,?? ? (0, ? ),?? ?

?
3



2? 3

???????????10 分

24、解:(Ⅰ)由 f ( x) ? x 得 | 2 x ? 7 | ?1 ? x , ∴?

? 2x ? 7 ? 0 ? 2x ? 7 ? 0 7 8 7 或? 解得 : ? x ? 6或 ? x ? 2 3 2 ?2 x ? 7 ? 1 ? x ??2 x ? 7 ? 1 ? x
8 ? x ? 6} 3
????????????4 分

∴不等式 f ( x) ? x 的解集为 {x |

(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? 2 | x ? 1|?| 2 x ? 7 | ?2 | x ?1| ?1

? ? 6, x ? 1 ? 7 ? 则 g ( x) ? ??4 x ? 10,1 ? x ? ,∴ g ( x)min ? ?4 ??????????8 分 2 ? 7 ? ?4, x ? ? ? 2

[来源:Zxxk.Com]

∵存在 x 使不等式 f ( x) ? 2 | x ? 1|? a 成立,∴ g ( x)min ? a,? a ? ?4 ????10 分

- 10 -


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