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北京市通州区2012年中考一模数学试题及答案(word版)

通州区初三年级第一次模拟考试 通州区初三年级第一次模拟考试 第一次
数学试卷
2012.5 考 生 须 知 1.本试卷共 6 页,五道大题,25 个小题,满分 120 分.考试时间为 120 分钟. 2.请在试卷和答题纸上认真填写学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律用黑色钢笔、碳素笔按要求填涂或书写在答题纸划定的区域内, ............ 在试卷上作答无效;作图题可以使用黑色铅笔作答. ........ 4.考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交回.

一、选择题(每题只有一个正确答案,共 8 个小题,每小题 4 分,共 32 分) 1. ?2 的绝对值是( A. ±2 ) B.2 C.

1 2

D. ?

1 2

2.北京交通一卡通已经覆盖了全市的地面公交、轨道交通和部分出租车及停车场.据北京市交通委透 露,北京市政交通一卡通卡发卡量目前已经超过 280 000 000 张,用科学记数法表示 280 000 000 正 确是( A.2.8×107 ) B.2.8×108 C.2.8×109 D.0.28×1010

3.一名射击运动员在某次训练中连续打靶 8 次,命中的环数分别是 7,8,9,9,10,10,8,8,这组 数据的众数与中位数分别为( A.9 与 8 B.8 与 9 ) C.8 与 8.5 D.8.5 与 9

4.某地区准备修建一座高 AB=6m 的过街天桥,已知天桥的坡面 AC 与地 面 BC 的夹角∠ACB 的余弦值为 A.8 B.9

4 5

,则坡面 AC 的长度为( C.10 D.12



5.甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛,两队在比赛时的路程 s(米)与时间 t(分钟)之间的函 数关系图象如图所示,请你根据图象判断,下列说法正确的是( A.甲队率先到达终点 B.甲队比乙队多走了 200 米路程 C.乙队比甲队少用 0.2 分钟 D.比赛中两队从出发到 2.2 秒时间段, 乙队的速度比甲队的速度快 )

201205 通州一模 第 1 页 共 18 页

6.一只蚂蚁要在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个 岔路口都会随机地选择一条路径,则它获得食物的概率是( A. C. )

1 2 1 4

B. D.

1 3 1 6

7.如图,BD 是⊙O 的弦,点 C 在 BD 上,以 BC 为边作 等边三角形△ABC,点 A 在圆内,且 AC 恰好经过点 O,

D O C B

其中 BC=12,OA=8,则 BD 的长为( A.20 C.18 B.19 D.16



A

8.如图,在平行四边形 ABCD 中,AC = 4,BD = 6,P 是 BD 上的任一点,过 P 作 EF∥AC,与平行四边形的两 条边分别交于点 E,F.设 BP=x,EF=y,则能大致反 映 y 与 x 之间关系的图象为( )

A

B

C

D

二、填空题(共 4 道小题,每题 4 分,共 16 分) 9.分解因式: 4ax ? a =
2

. . . .

10.若分式

x?2 x2 + 4

的值为 0,则 x 的值为

11.已知一圆锥的底面半径是 1,母线长是 4,则圆锥侧面展开图的面积是

12. 已知如图, △ABC 和△DCE 都是等边三角形, 若△ABC 的边长为 1, 则△BAE 的面积是

四边形 ABCD 和四边形 BEFG 都是正方形,若正方形 ABCD 的边长为 4,则△FAC 的面积 是 …… 如果两个正多边形 ABCDE…和 BPKGY…是正 n(n≥3)边形,正多边形 ABCDE …的边长是 2a,则 △KCA 的面积是 .(结果用含有 a、n 的代数式表示) .

201205 通州一模 第 2 页 共 18 页

D A B C

E D

G C

F E A

P D C

H

G B F

A

B

E

三、解答题: (13 题-16 题每题 5 分,共 20 分)
0 1 ? 1? 13.计算: ? ? ? ? 2 sin 45° + (π ? 3.14 ) + 8. 2 ? 3? ?2

14.解不等式组 ?

?2 x + 5 > 1 ?3 x ? 4 ≤ 5

,并写出它的整数解.

15.如图,在△ABC 和△ADE 中,AB=AC,AD=AE, ∠BAC = ∠DAE ,求证:△ABD≌△ACE.
E

A

D

B

C

16.已知 a2 + 3a + 1 = 0 ,求 (2a + 1) 2 ? 2(a 2 ? a ) + 4 的值.

201205 通州一模 第 3 页 共 18 页

四、解答题: (共 6 道小题,每题 5 分,共 30 分) 17.2012 年 3 月 30 日,对于北京球迷来说是一个美妙的夜晚:在篮球比赛中,北京篮球队战胜了广东篮 球队,最终夺得了男篮总冠军;在足球比赛中,北京国安队战胜了天津泰达队.据统计两场比赛大约 共有 60000 人到达现场观看比赛, 其中观看足球比赛的人数比观看篮球比赛的人数的 2 倍还多 6000 人,求观看篮球和足球比赛的观众大约各有多少人?

18.已知如图,在△ABC 中,AB=AC,∠ABC=α,将△ABC 以点 B 为中心,沿逆时针方向旋转 α 度(0° <α<90° ,得到△BDE,点 B、A、E 恰好在同一条直线上,连结 CE. ) (1)则四边形 DBCE 是_______形(填写:平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形) (2)若 AB=AC=1,BC= 3 ,请你求出四边形 DBCE 的面积.
E A

D

B

C

19.如图,一次函数 y = k1 x + b 的图象与反比例函数 y = (1)求 k1、k2 的值; (2)求△ABO 的面积.

k2 ( x > 0) 的图象交于 A (1, 3) , B(3, a ) 两点. x

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20.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 边的中点 O 为圆心,线段 OA 的长为半径作圆,分别交 BC、 AC 边于点 D、E,DF⊥AC 于点 F,延长 FD 交 AB 延长线于点 G . (1)求证:FD 是⊙O 的切线. (2)若 BC=AD=4,求 tan ∠GDB 的值.
G D C F E

B

O

A

21.为了使初三学生在中考中取得好成绩,我区组织了初三中考复习电视讲座,并且就初三学生对中考复 习电视讲座了解程度随机抽取了部分学生进行问卷调查,并根据收集的信息进行了统计,绘制了下面 .... 尚不完整的统计图.根据统计图中所提供的信息解答下列问题: (1)我区参加随机抽取问卷调查的学生有________名; .... (2)补全条形统计图; (3)我区今年初三有近 5000 名初三学生,请你根据调查的数据计算一下,我区大约有多少名初三学 生对中考电视讲座达到基本了解以上(含基本了解)程度? (4)为了让更多的学生更好的了解该讲座,使中考复习电视讲座发挥其应有的作用,我区举办了两 期专栏宣传之后又进行了一次调查,结果发现每期专栏宣传使学生达到基本了解程度以上(含 基本了解)的平均增长率是 50%,请你求出两期专栏宣传之后学生对此电视讲座达到基本了解 以上程度(含基本了解)的人数.
我区初三学生对中考电视讲座随机抽样 调查统计表
我区初三学生对中考电视讲座了解情况 随机抽样调查统计

学生人数 300 250 200 150 100 50 0 不了解

基本了解 30%

了解很少 50%

了解很少

基本了解

了解

了解情况

201205 通州一模 第 5 页 共 18 页

22.小明在学习轴对称的时候,老师留了这样一道思考题:如图,已知在直 线 l 的同侧有 A、B 两点,请你在直线 l 上确定一点 P,使得 PA+PB 的值 最小.小明通过独立思考,很快得出了解决这个问题的正确方法,他的作 法是这样的: ①作点 A 关于直线 l 的对称点 A′. ②连结 A′B,交直线 l 于点 P. 则点 P 为所求.

B A l

B A P A' l

请你参考小明的作法解决下列问题: (1)如图 1,在△ABC 中,点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点,BC=6,BC 边上的高为 4,请你在 BC 边上确定一点 P,使得△PDE 的周长最小. ①在图 1 中作出点 P.(三角板、刻度尺作图,保留作图 痕迹,不写作法) ②请直接写出△PDE 周长的最小值 . D C 图1

A D B E C

(2)如图 2 在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=6,G 为边 AD 的中点,若 E、F 为边 AB 上的两个动点,点 E 在点 F 左侧,且 EF=1,当四边形 CGEF 的周长最 小时,请你在图 2 中确定点 E、F 的位置.(三角板、刻度尺作图,保留作图 痕迹,不写作法) ,并直接写出四边形 CGEF 周长的最小值 五、解答题(共 3 道小题,23、24 题每题 7 分,25 题 8 分,共 22 分) 23.已知二次函数 y = ? x + 2ax ? 4a + 8
2

G

. A 图2 B

(1)求证:无论 a 为任何实数,二次函数的图象与 x 轴 总有两个交点. (2)当 x≥2 时,函数值 y 随 x 的增大而减小,求 a 的取 值范围. (3)以二次函数 y = ? x 2 + 2ax ? 4a + 8 图象的顶点 A 为一 个顶点作该二次函数图象的内接正三角形 AMN (M,N 两点在二次函数的图象上) ,请问: △ AMN 的面积是与 a 无关的定值吗?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

201205 通州一模 第 6 页 共 18 页

24.已知:如图,二次函数 y=a(x+1)2-4 的图象与 x 轴分别 交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 D,点 C 是二次函数 y=a(x+1)2-4 的图象的顶点,CD= 2 . (1)求 a 的值. (2)点 M 在二次函数 y=a(x+1)2-4 图象的对称轴上, 且∠AMC=∠BDO,求点 M 的坐标. (3)将二次函数 y=a(x+1)2-4 的图象向下平移 k(k>0)个单位,平移后的图象与直线 CD 分别交于 E、F 两点(点 F 在点 E 左侧) ,设平移后的二次函数的图象的顶点为 C1,与 y 轴的交点为 D1, 是否存在实数 k,使得 CF⊥FC1,若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

201205 通州一模 第 7 页 共 18 页

25.已知四边形 ABCD,点 E 是射线 BC 上的一个动点(点 E 不与 B、C 两点重合) ,线段 BE 的垂直平分线交射线 AC 于点 P,联结 DP,PE. (1)若四边形 ABCD 是正方形,猜想 PD 与 PE 的关系, 并证明你的结论. (2)若四边形 ABCD 是矩形, (1)中的 PD 与 PE 的关系还成立吗? A (填:成立或不成立). (3)若四边形 ABCD 是矩形,AB=6,cos∠ACD= 设 AP=x,△PCE 的面积为 y,当 AP>

A

D

B

C

D

3 5

, B C

1 2

AC 时,求 y 与 x 之间的函数关系式.

201205 通州一模 第 8 页 共 18 页

2012 年初三数学中考模拟试卷答案 2012.5 一、选择题: (每题 4 分,共 32 分) 1. B 2. B 3. C 4. C. 5. C 6. B. 7. A. 8. A

二、填空题: (每题 4 分,共 16 分) 9. a (2 x ? 1)(2 x + 1) ; 10. ( 4a 2 ? sin 2. ; 11. 4π ; 12.
3 4

, 8 , 2a 2 sin

360° 或 n

90°(n ? 2) 90°(n ? 2) × cos ) n n

三、解答题: (每题 5 分,4 道小题,共 20 分) 13.解:
1 ? 1? 0 8 ? ? ? ? 2 sin 45° + (π ? 3.14 ) + 2 ? 3?
?2

原式= 9 ? 2 + 1 + 2 = 10

..... ............................................................(4 分) .................................................................(5 分)

14. 解:解不等式 2 x + 5 > 1 得: x > ?2 ;…………………………………………………..(2 分) 解不等式 3 x ? 4 ≤ 5 得: x ≤ 3 ……………………………………………………….(4 分) ∴ ? 2 < x ≤ 3, ∴满足不等式组的整数解为 ? 1 , 0 , 1 , 2 , 3 .................................................................(5 分)

15. 解:
Q ∠BAC = ∠DAE ..........................................................................(3 分)

∴ ∠EAC = ∠DAB
在 ?AEC 和 ?ADB 中

.....................................................................(4 分)
E

? AD = AE ? ?∠DAB = ∠EAC ? AB = AC ?

A

D

B

C

201205 通州一模 第 9 页 共 18 页

∴ ?AEC ≌ ?ADB ( SAS )
16.解: (2a + 1) 2 ? 2(a 2 ? a ) + 4

.............................................................(5 分)

= 4a 2 + 4a + 1 ? 2a 2 + 2a + 4 = 2a 2 + 6a + 5 = 2 a 2 + 3a + 5
Q a 2 + 3a + 1 = 0

................................................(1 分) .....................................................(2 分) .....................................................(3 分)

(

)

∴a

2

+ 3a = ?1

.....................................................(4 分) .....................................................(5 分)

∴ 原式=3

四、解答题: (每题 5 分,5 道小题,共 25 分) 17.解:设现场观看篮球比赛的观众大约有 x 人,现场观看足球比赛的观众大约有 y 人, ........... (1 分)

根据题意得: ? x + y = 60000 ? ? y ? 2 x = 6000 ? x = 18000 解得: ? ? y = 42000 ....................................................(3 分)

..........................................(4 分)

答:现场观看篮球比赛的观众大约有 18000 人, 现场观看足球比赛的观众大约有 42000 人......................(5 分)

18. (1)是



形..............................................(1 分)

(2)过点 A 做 AF ⊥ BC 于点 F,过点 D 做
DH ⊥ BC 于点 H..............................................(2 分)
Q AB = AC =1
D A E

3 ∴ BF = FC = 2
∴ cos α =

B

H

F

C

3 2
201205 通州一模 第 10 页 共 18 页

∠ABC = 30° , ∴ ∠DBC = 60°

..............................................(3 分)

Q 将 ?ABC 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 α 度角( 0° < α < 90° ) ,得到 ?BDE

∴ ?ABC ≌ ?DBE ∴ BD = DE = 1

∴ DH = sin ∠DBH ? BD =

3 2

..............................................(4 分)

∴ S 梯形DBCE =

1 3 3+ 3 (1 + 3 ) = ..............................................(5 分) 2 2 4

19.

解: (1)Q 反比例函数 y =

k2 ( x > 0) 的图象过 A(1,3) B (3, a ) 两点. x

∴ k 2 = 1× 3 = 3 , a =
∴ B (3,1)

3 = 1 ..............................................(1 分) 3

......................... ..................(2 分)

C

Q 一次函数 y = k1 x + b 的图象过 A(1,3) , B (3,1) 两点

?k1 + b = 3 ∴? ?3k1 + b = 1
解得: k1 = ?1, b = 4 ..............................................(3 分)

(2)设一次函数 y = ? x + 4 与 y 轴交于 C 点 则 C 点坐标为 (0,4)
∴ S ?BOC = ∴ S ?AOC

..............................................(4 分)

1 ×4×3 = 6, 2 1 = × 4 ×1 = 2 2

∴ S ?ABO = S ?BOC ? S ?AOC = 6 ? 2 = 4 ..............................................(5 分) 20.证明: .证明: (1)连接 OD 连接 ..............................................(1 分)

Q AB = AC

∴ ∠C = ∠ABC
Q OB = OD

∴ ∠ODB = ∠ABC
201205 通州一模 第 11 页 共 18 页

∴ ∠C = ∠ODB ∴ OD // AC Q DF ⊥ AC ∴ DF ⊥ OD 于点 D

..............................................(2 分)

∴ FD 是 ⊙O 的切线.

..............................................(3 分)
C F D G E

(2)Q AB 为⊙O 的直径

∴ AD ⊥ BC Q AB = AC , BC = AD = 4 ∴ CD = BD = 2
B O A

∴ tan ∠CAD =

1 2

..............................................(4 分)

Q DF ⊥ OD , AD ⊥ BC

∴ ∠CAD + ∠C = ∠CDF + ∠C = 90° ∴ ∠CDF = ∠CAD
Q ∠GDB = ∠CDF = ∠CAD

∴ tan ∠GDB =

1 2

..............................................(5 分)

21.解: (1)全区参加随机抽取问卷调查的学生有_500__名;.........(1 分)

(2)补全条形统计图;
学生人数

300 250 200 150 100 50 0 不了解

我区初三学生对中考电视讲座随机抽样 调查统计表

..
了解很少 基本了解 了解 了解情况

.........................................(3 分)

(3)我区有近 5000 名初三学生, 那么有 2000 名学生对中考复习电视讲座达到基本了解以上 (含 基本了解)程度.

..................................(4 分)

(4)通过两期专栏宣传后, 全区初三学生对中考复习电视讲座达到基本了解以上 (含基本了解) 程度有: 2000(1 + 50%) 2 = 4500 人

...........................(5 分)

201205 通州一模 第 12 页 共 18 页

22. 解:(1) C?PDE = 8
A D E

.............................................(1 分)

B D'

P

C

.............................................(2 分)

(2)如图,作 G 关于 AB 的对称点 M, 在 CD 上截取 CH=1,然后连接 HM 交 AB 于 E, 接着在 EB 上截取 EF=1, 那么 E、F 两点即可满足使四边形 CGEF 的周长最小. ∴ C四边形GEFC =GE+EF+FC+CG=6+3 10 .............................................(3 分)
D H C

G

A M

EF

B

.............................................(5 分)

图2

23. 解: (1)Q ? = 4a 2 ? 16a + 32 = 4(a ? 2) 2 + 16 无论 a 为何实数 ? = 4(a ? 2) 2 + 16 > 0 …………………………(1 分) ∴抛物线与 x 轴总有两个交点……………………………………(2 分) (2) y = ? x 2 + 2ax ? 4a + 8 y = ?( x ? a ) 2 + a 2 ? 4 a + 8 ……………………………………(3 分) ……………(4 分)
y A

∴由题意得, a ≤ 2 (只写<或=其一,不给分) )

(3)解法一:以二次函数 y = ? x 2 + 2ax ? 4a + 8 图象的顶点 A 为一个顶点作
O x

, 该二次函数图象的内接正三角形 AMN ( M , N 两点在二次函数的图象上) 这个正三角形的面积只与二次函数图形的开口大小有关。

M

B

N

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二次函数 y = ? x + 2ax ? 4a + 8 的图象可以看做是
2

二次函数 y = ? x 的图象通过平移得到的。
2

如图,正三角形 AMN 的面积等于 正三角形 ?A' M ' N ' 的面积.因此,与 a 的取值无关

Q 点 A' , M , ' N ' 在二次函数 y = ? x 2 的图象上 ∴ A' (0,0) , M ' (? m,? m 2 ) , N ' (m,? m 2 ) , B ' (0,? m 2 )

B ' N ' = m , A' B ' = 3m
Q 点 N ' 在 y = ? x 2 的图象上,

∴ A' B ' = m 2 ∴ m 2 = 3m ∴ m = 0, 或m = 3

m = 0 舍去 ∴m= 3 ∴ M ' N ' = 2 3 , A' B ' = 3 ∴ ?A' M ' N ' =

.............................................(5 分)

1 1 M ' N '× A' B ' = 2 3 × 3 = 3 3 . 2 2

.......................(6 分)

∴ 正三角形 AMN 的面积是与 a 无关的定值,定值为 3 3 .………..(7 分)

解法二:根据抛物线和正三角形的对称性,可知 MN ⊥ y 轴, 设抛物线的对称轴与 MN 交于点 B ,则 AB = 3BM 设 M ( m, n ) ∴ BM = a ? m(m < a ) 又 AB = y A ? yB = a 2 ? 4a + 8 ? n
= (a 2 ? 4a + 8) ? (? m 2 + 2am ? 4a + 8)
M y A

O

x

B

N

= a 2 ? 2ma + m 2 = ( a ? m) 2

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∴ (a ? m) 2 = 3(a ? m) ∴ BM = 3
AB = 3

∴a?m = 3 …………………………………..(5 分)

∴ S ?AMN =

1 1 AB × 2 BM = × 3 × 2 × 3 = 3 3 2 2

……………………..(6 分)

∴正三角形 AMN 的面积是与 a 无关的定值…………………………..(7 分) 24. 解: (1)∵C(-1,-4) ,CD= 2 , ∴D(0,-3) ∴a=1 ∴ y = ( x + 1) 2 ? 4 即 y = x2+2x - 3 ……………………………….(2 分) ……………………………………….(1 分)

(2)M(-1,6)或(-1,-6)………………………………………….(4 分) (3)存在 由 CC1=DD1=k,CC1∥DD1, ∴四边形 CC1D1D 为平行四边形, ∴C1D1∥CD, ∴∠D1 C1C=∠DCN=45°, ∵CF⊥FC1,∴∠CC1F=45° 即△CFC1 为等腰直角三角形,且 CC1=k, ∴F(1 1 k-1,- k-4) , 2 2

……………………………….(5 分)

由点 F 在新抛物线 y=x2+2x-3- k 上, ∴ (1 1 1 k-1)2+2(- k-1)-3-k =- k-4, 2 2 2

……………………….(6 分)

解得 k=2 或 k=0(舍) , ∴k =2. 当 k =2 时, CF ⊥ FC1 ………………………………………….(7 分)

A
25 (1)PE=PD,……………………………..(1 分)

D P

B
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E C

PE⊥PD

……………………………..(2 分)

①当点 E 在射线 BC 边上,且交点 P 在对角线 AC 上时,连结 PB ∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AB=AD,∠BAP=∠DAP。 又∵AP=AP,∴△BAP≌△DAP(SAS) 。 ∴PB=PD ∵点 P 在 BE 的垂直平分线上 ∴PB=PE ∴PE=PD ∵△BAP≌△DAP,∴∠DPA=∠APB. 又∵∠APB=180°-45°-∠ABP=135°-∠ABP, ∴∠DPA=135°-∠ABP。 又∵PE=PB,∴∠BPE=180°-2∠PBE ∴∠DPE=360°-∠DPA-∠APB—∠BPE=360°-2(135°-∠ABP) -180°+2∠PBE ∴PE⊥PD ② P、C 两点重合
A D

=360°-270°+2∠ABP-180°+2∠PBE=90° ………………………..(3 分)

B

C (P)

E

PE = PD, PE ⊥ PD.

………………………..(4 分)

③ 当点 E 在 BC 边的延长线上且点 P 在对角 线 AC 的延长线上时,连结 PB 同理可证∴△BAP≌△DAP(SAS) 。 ∴ PB=PD ∴∠PBA=∠PDA ∴∠PBE=∠PDC ∵点 P 在 BE 的垂直平分线上 ∴PB=PE ∴∠PBE=∠PEB
F
B C P E A D

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∴∠PDC=∠PEB ∴∠DFC=∠EFP ∴∠EPF =∠DCF=90° ∴PE⊥PD 结论成立 (3) (1)中的猜想不成立. (4) ①当点 P 在线段 AC 上时 ∵四边形 ABCD 是矩形,AB=6 ∴DC=AB=6 ∴∠ABC=∠ADC=90° 3 ∵cos∠ACD= 5 ∴AD=8,AC=10 作 PQ⊥BC 于点 Q ∴PQ∥AB ∴
PC CQ = PA BQ 10 ? x 8 ? BQ = x BQ

…………………………………………..(5 分)

…………………………..(6 分)

A P B Q C

D E



∴BQ=

4 8 8 x, ∴BE= x, ∴CE= x-8 5 5 5

∴△CPQ∽△CAB PQ CP PQ 10 ? x = ∴ = AB CA 6 10 3 ∴PQ=6- x 5 1 ∴y= EC×PQ 2 8 3 =( x-8)( 6- x) 5 5 12 36 =- x2+ x-24(5<x<10) 25 5 ∴ ②当点 P 在线段 AC 的延长线上时 ∵PQ∥AB ∴△CPQ∽△CAB
A B D Q C P
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……………………………..(7 分)

E

PQ PC = AB AC PQ x ? 10 = ∴ 6 10 3 ∴PQ= x-6 5 PC CQ ∴ = AC BC x ? 10 CQ = ∴ 10 8 4 ∴CQ= x-8 5 4 ∴BQ= x 5 8 ∴BE= x 5 8 ∴EC= x-8 5 1 ∴y = EC×PQ 2 1 8 3 = ( x-8) ( x-6) 2 5 5 12 2 36 = x - x+24(x>10) 25 5



………………………………………..(8 分)

[注]学生正确答案与本答案不同,请老师们酌情给分。

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