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2013届高三数学一轮复习同步(36)空间几何体的结构特征及三视图和直观图理新人教B版

课时作业(三十六) [第 36 讲 空间几何体的结构特征及三视图 和直观图]
[时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.有一个几何体的三视图如图 K36-1 所示,这个几何体应是一个 ( )
图 K36-1 A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对 2.如图 K36-2 所示几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )
图 K36-2 A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 3.如图 K36-3,直观图所表示的平面图形是( )
图 K36-3 A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 4.已知三棱锥的俯视图与左视图如图 K36-4,俯视图是边长为 2 的正三角形,左视 图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图可能为( )
能力提升 5.将正三棱柱截去三个角(如图 K36-6①所示 A、B、C 分别是△GHI 三边的中点)得 到的几何体如图 K36-6②,则该几何体按图②所示方向的左视图为( )

6.[2011·浙江卷] 若某几何体的三视图如图 K36-8 所示,则这个几何体的直观图 可以是( )

图 K36-8
图 K36-9 7.[2011·江西卷] 将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图 K36-10 所示, 则该几何体的侧视图为( )
图 K36-10
图 K36-11 8.某几何体的三视图如图 K36-12 所示,那么这个几何体是( )

A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台

图 K36-12

9.某几何体的一条棱长为 m,在该几何体的主视图中,这条棱的投影是长为 7的线 段,在该几何体的左视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为 6和 5的线段,则 m 的 值为( )
A.3 B.2 3 C.4 D.2 5 10.如果一个几何体的三视图如图 K36-13 所示,其中主视图中△ABC 是边长为 2 的 正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的左视图的面积为________.
图 K36-13 11.[2011·潍坊二模] 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的 正方形,则原平面四边形的面积等于________. 12.[2011·惠州模拟] 已知一几何体的三视图如图 K36-14,主视图和左视图都是 矩形,俯视图为正方形,在该几何体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几何形 体的 4 个顶点,这些几何形体是(写出所有正确结论的序号)________. ①矩形; ②不是矩形的平行四边形; ③有三个面为直角三角形,有一个面为等腰三角形的四面体; ④每个面都是直角三角形的四面体.
图 K36-14 13.一个几何体的主视图和左视图如图 K36-15 所示,其中主视图的底边长为 1,左 视图的底边长为 3、高为 2,则这个空间几何体俯视图的面积是________.
图 K36-15 14.(10 分)已知,如图 K36-16 是一个空间几何体的三视图. (1)该空间几何体是如何构成的? (2)画出该几何体的直观图; (3)求该几何体的表面积和体积.

图 K36-16 15.(13 分)有一块多边形菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯 形(如图 K36-17 所示),∠A′B′C′=45°,D′C′⊥A′D′,A′B′=A′D′=1 m, 若平均每 1 m2 菜地所产生的经济效益是 300 元,则这块菜地所产生的总经济效益是多少 元?(精确到 1 元)
图 K36-17 难点突破 16.(12 分)一个几何体的三视图如图 K36-18 所示,其中主视图和左视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形. (1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD-A1B1C1D1? 如何组 拼?试证明你的结论; (3)在(2)的情形下,设正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值.
图 K36-18

课时作业 (三十六) 【基础热身】 1.A [解析] 根据三视图,这个空间几何体是棱台. 2.D [解析] 正方体的三个视图都相同,而三棱台的三个视图各不相同,正确答 案为 D. 3.D [解析] A′C′,B′C′在直观图中分别与 y′轴,x′轴平行,则在原图中 AC,BC 分别与 y 轴,x 轴平行,所以 AC 与 BC 垂直. 4.C [解析] 空间几何体的主视图和左视图的“高平齐”,故主视图的高一定是 2,主视图和俯视图“长对正”,故主视图的底面边长为 2,根据左视图中的直角说明这 个空间几何体最前面的面垂直于底面,这个面遮住了后面的一个侧棱,综合这些可知, 这个空间几何体的主视图可能是 C. 【能力提升】 5.A [解析] 截前的左视图是一个矩形,截后改变的只是 B,C,F 方向上的. 6.B [解析] 由主视图可排除 A,C;由左视图可判断该几何体的直观图是 B. 7.D [解析] 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为正方体的面对角线,它们 在右侧面上的投影与右侧面(正方形)的两条边重合,另一条为正方体的体对角线,它在 右侧面上的投影与右侧面的对角线重合,对照各图及对角线方向,只有选项 D 符合. 8.B [解析] 由所给三视图与直观图的关系,可以判定对应的几何体为如图所示的 四棱锥,且 PA⊥面 ABCD,AB⊥BC,BC∥AD.

9.A [解析] 结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算.

如图,设长方体的长,宽,高分别为 a,b,c,由题意得

a2+c2= 7, b2+c2= 6, a2+b2= 5

? a2+b2+c2=9,所以对角线的长为 a2+b2+c2=3. ∴选 A.
3 10.2 [解析] 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥,结合

数据可知其底面正六边形的边长为 1,棱锥的高为 h= 3.由于三视图中“宽相等”,那

么左视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等,可得其长度为 3,则该 几何体的左视图的面积为 S=12× 3× 3=32.

11.2 2a2 [解析] 一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S′之间的关系是

S′=

42S,而直观图面积

S′=a2.所以原平面四边形的面积为

a2 =2 2

2a2.

4

12.①③④ [解析] 如图所示长方体为几何体的直观图.

当选择的四个点为 A、B、C、D 时,可知①正确; 当选择 B、A、B1、C 时,可知③正确; 当选择 A、B、D、D1 时,可知④正确.
13.3 [解析] 这是一个将一个侧面水平放置的三棱柱,其俯视图如图.俯视图是 一个边长分别为 1,3 的矩形,故其面积为 3.
14.[解答] (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的长方 体,上半部分是一个底面各边长为 2,高为 1 的正四棱锥.
(2)按照斜二测画法可以得到其直观图,如图.

(3)由题意可知,该几何体是由长方体 ABCD-A′B′C′D′与正四棱锥 P- A′B′C′D′构成的简单几何体.
由图易得:AB=AD=2,AA′=1,PO′=1,取 A′B′中点 Q,连接 PQ,从而 PQ=

PO′2+O′Q2= 12+12= 2,所以该几何体表面积 S=12(A′B′+B′C′+C′D′+D′A′)PQ+(A′B′+B′C′+C′D′+

D′A′)AA′+AB·AD=4 2+12. 体积 V=2×2×1+13×2×2×1=136. 15.[解答] 在直观图中,过 A′点作 A′E⊥B′C′,垂足为 E,则在 Rt△A′B′E

中,A′B′=1

m,∠A′B′E=45°,∴B′E=

2 2

m.

而四边形 A′EC′D′为矩形,A′D′=1 m,

∴B′C′=B′E+EC′=?? ?

22+1???m.

由此可还原图形,如图所示,在原图形中,AD=1

m,AB=2

m,BC=?? ?

22+1???m,且

AD∥BC,AB⊥BC,

∴这块菜地的面积为

S=12(AD+BC)·AB=12×1+1+ 22×2=???2+ 22???(m2), 所以这块菜地所产生的总的经济效益是 300S≈300(2+0.707)=812.1≈812(元).

【难点突破】

16.[解答] (1)该几何体的直观图如图(1)所示,它是有一条侧棱垂直于底面的四棱

锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形,高为 CC1=6,故所求体积是 V=13×62×6=72.

(2)依题意,正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍,故用 3 个这样的四棱锥可以拼成

一个棱长为 6 的正方体,

其拼法如图(2)所示.

证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的正方形,于是 VC1-ABCD=VC1-ABB1A1=VC1-AA1D1D,故所拼图形成立. (3)设 B1E,BC 的延长线交于点 G,连接 GA,在底面 ABC 内作 BH⊥AG,垂足为 H,连 接 HB1,如图(2),则 B1H⊥AG,故∠B1HB 为平面 AB1E 与平面 ABC 所成锐二面角或其补角的 平面角.

在 Rt△ABG 中,AG=

180,则

BH=6×12= 180

125,B1H



BH2 + BB21

18 =,
5

cos∠B1HB=HHBB1=23.

故平面 AB1E 与平面 ABC 所成锐二面角的余弦值为23.