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高一数学必修一讲义之1.6函数的应用


1.6 函数的应用

一、一周知识概述 本周主要学习了基本函数的应用,主要分为四个方面,第一方面,通过结合二 次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与 方程根的联系.第二方面,根据具体函数的图象,借助计算器用二分法求相应方程 的近似解,这种方法是求方程近似解的常用方法,必须了解其基本步骤.第三方面, 利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异;结合实例体会 直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.第四方面,通过收集 一些社会生活中普遍使用的函数模型的实例,了解函数模型的广泛应用. 二、重难点知识归纳 1、函数的零点 ①函数零点的概念: 对于函数 的零点(zero point). ②函数零点的意义: 函数 的零点就是方程 实数根, 亦即函数 的图象与___ , 把使_______成立的实数 叫做函数

轴交点的横坐标. 即:方程 有零点. ③函数零点的求法: 求函数 的零点: 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数

(1)(代数法)求方程

的实数根;

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 系起来,并利用函数的性质找出零点. 2、二分法求方程近似解 ①二分法的概念:

的图象联

对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函 数 f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零 点近似值的方法叫做二分法(bisection). ②二分法求近似解的注意事项: (1)确定区间时,必须区间两端点函数值小于零; (2)要明确精确度 的范围,根据|a-b|< ,即可确定近似解为 a(或 b); (3)要很好的利用计算器或计算机来确定区间的范围. 3、函数的模型及其应用

(1)利用信息技术从图、表两方面对具体函数 差异进行比较,则可发现,函数 即总会存在一个 ,当 时,就有 增长速度最快,而 .

的增长 增长速度最慢,

(2)函数模型的应用实例主要包含三个方面: ①利用给定的函数模型解决实际问题; ②建立确定性函数模型解决问题; ③建立拟合函数模型解决实际问题.

三、典型例题剖析

例 1.设

是方程

的解,则

在下列哪个区间内( )

A.(3,4) C.(1,2) 例 2.求出方程

B.(2,3) D.(0,1) 在区间(2,3)内的近似解(精确到 0.1).

例 3.渔场中鱼群的最大养殖量为 m,为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量 x 小于 m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量 y 和实际养殖量与空闲率(空闲率 是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为 k(k>0). ①写出 y 关于 x 的函数关系式,并指出该函数的定义域; ②求鱼群年增长量的最大值; ③当鱼群年增长量达到最大值时,求 k 的取值范围.

例 4.有一片树林现有木材储蓄量为 7100 cm ,要力争使木材储蓄量 20 年后翻两番,
3

即达到 28400 cm .
3

(1)求平均每年木材储蓄量的增长率.

(2)如果平均每年增长率为 8%,几年可以翻两番?

例 5、某工厂有工人 214 名,现需要生产 1500 件产品,每件产品由 3 个 A 型零件和 1 个 B 型零件配套组成,每个工人加工 5 个 A 型零件与加工 3 个 B 型零件所需时间 相同.现将工人分成两组,分别加工 A、B 型零件,同时开始;设加工 A 型的工人有 x 人,且单位时间里每个工人加工 A 型零件 5k 件,若记加工完 A、B 型零件所需时 间分别为 g(x)、h(x). (1)试比较 g(x)与 h(x)的大小,并写出完成总任务的时间 f(x)的解析式; (2)应怎样分组,才能使任务完成得最快?


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