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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十二节变化率与导数的概念、导数的运算 理


第十二节

变化率与导数的概念、导数的运算

1.导数概念及其几何意义. (1)了解导数概念的实际背景; (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算. 1 (1)能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y=x3,y= ,y=

x

x ,y= x的导数;
(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函 数的导数; (3)能求简单的复合函数[仅限于形如 f(ax+b)]的导数.

1 2

知识梳理 一、导数的概念 1.平均变化率:已知函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x0 处有改变量 Δ x,那么 函数 y Δy 相应地有改变量 Δ y=____________,比值 就叫做函数 y=f(x)在 x0 到 x0 +Δ x 之间的 Δx 平均变化率. 2.函数在 x=x0 处导数的定义: 一般地,设函数 y=f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 在 x=x0 的附近改变量为 Δ x 时,函数值的改变量为_______,如果 Δ x 趋近于 0 时,平均 f(x0+Δ x)-f(x0) 变化率______趋近于____,即_______=liΔ m =m,这个常数 m 叫 x→0 Δx 做函数 f(x)在点 x0 处的_______. 函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率又称为函数 y=f(x)在 x =x0 处的导数,记作_______或________,即_______ _____.如果函数 y=f(x)在 x0 处有导 数(即导数存在),则说函数 f(x)在 x0 处可导.如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内每一点 x 都是可导的,则说函数 f(x)在区间(a,b)内可导. Δy 3.导函数的定义: 表示函数的平均改变量,它是 Δ x 的函数,而 f′(x0)表示一个 Δx Δy 确定的 数值,即 f′(x0) = li Δ x m . 当 x 在区间 (a , b) 内变化时, f′(x) 便是 x 的 →0 Δ x ___________,我们称它为__________(简称导数).y=f(x)导函数有时记作 y′,即 f′(x) f(x+Δ x)-f(x) =y′=Δ lim . x→0 Δx
1

二、导数的几何意义及物理意义 导数的几何意义:函数 f(x)在点 x0 处导数的几何意义就是__________________.相应 的切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). 导 数 的 物 理 意 义 : 位 移 函 数 s = s(t) 在 t0 处 的 导 数 s′(t0) 是 ________________________,即 v=s′(t0).速度函数 v=v(t)在 t0 处的导数 v′(t0)是 ______________________________,即 a=v′(t0). 三、导数的运算 m 1 . 几 种 常 见 函 数 ( 基 本 初 等 函 数 ) 的 导 数 : c′ = ______(c 为 常 数 ) ; (x )′ = ?1? ______(m∈Q 且 m≠0);? ?′= ______;( x)′=_____;(sin x)′=_____;(cos x)′

?x?

=________ ;(logax)′=______(a >0 且 a≠1 );(ln x)′=______(x>0);(a )′____(a x >0 且 a≠1);(e )′= ____ . 2.导数四则运算法则. (1)和、差的导数:[u(x)±v(x)]′=______________(口诀:和与差的导数等于导数的 和与差); (2)积的导数 :[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)(口诀:前导后不导,后导前 不导,中间是正号),若 c 为常数,则[cu(x)]′=cu′(x); (3)商的导数:? ?′=________(v≠0)(口诀:分母平方要记牢,上导下不导,下导上 v 不导,中间是负号). 3.复合函数及其求导. (1)复合函数的定义:对于两个函数 y=f(u)和 u=g(x),如果通过变量 u,y 可以表示 为 x 的函数,那么称这个函数为函数 y=f(u)和 u=g(x)的复合函数,记作 y=f(g(x)),其 中 y=f(u)叫做外层函 数,u =g(x)叫做内层函数. (2)理解复合函数的结构规律:判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向内分析, 最外层的函数结构是基本函数的形式, 各层的中间变量结构也都是基本函数关系, 这样一层 2 u 2 一层分析.例如,函数 y=esin x 是复合函数,它是由函数 y=e ,u=v ,v=sin x 复合而 成的. (3)复合函数的求导法则:复合函数 y=f(g(x))对自变量 x 的导数 y′x,等 于外函数 y =f(u)对中间变量 u 的导数 y′u 乘以中间变量 u 对自变量 x(即内函数)的导数 u′x,即 ____________. 复合函数求导步骤:分解—求导—回代. 法则的推广:若函数 y=f(u)在点 u 处可导,u=g(v)在点 v 处可导,v=h(x)在点 x 处 可导,则复合函数 y=f{g(h(x))}在点 x 处可导,并且____________.

x

?u? ? ?

2

基础自测 3 1.曲线 y=x +11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( A.-9 B.-3 C.9 D.15

)

解析:因为 y′=3x2,所以 k=y′|x=1=3,所以在点 P(1,12)的切线方程为 y-12=3(x -1),即 y=3x+9.所以与 y 轴交点的纵坐标为 9.故选 C. 答案:C 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为( A.xsin x B.-xsin x C.xcos x D.-xcos x )

解析:y′= x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 答案:B 3. 如图所示, 函数 f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 A, B, C 的坐标分别为(0,4), (2,0), f(1+Δ x)-f(1) (6,4),则 f(f(0))=__________,Δ lim =______(用数字作答). x→0 Δx

解析: f(0)=4,f(4)=2,由导数的几何意义知, f?1+Δx?-f?1? lim =-2. → Δx Δx 0 答案:2 -2 1 2 4.(2013·开封调研)若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 2 的取值范围是_______. 1 1 解析:∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f′(x)=x-a+ . 2 x 1 1 ∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点,x+ -a=0,∴a=x+ ≥2. x x 答案:[2,+∞)

3

1.在抛物线 y=x +ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1 =-4,x2=2 的两点,过这两点引一 2 2 条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x +5y =36 相切,则抛物线顶点 的坐标为( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6) 解析:令抛物线上横坐标为 x1=-4, x2=2 的点为 A(- 4,11-4a),B(2,2a- 1),则 kAB=a-2,y′=2x+a=a-2,所以 x=-1.故切点为(-1, -4-a),切线方程为(a-2)x 6 6 -y-6=0,该直线又和圆相切,则 d= = ,解得 a=4 或 a=0(舍去),则抛 2 5 ?a-2? +1 2 2 物线为 y=x +4x-5=(x+2) -9,顶点坐标为(-2,-9).故选 A. 答案:A 2.(2013·广东卷)若曲线 y=kx+ln x 在点(1,k)处的线平行于 x 轴,则 k= __________. 1 解析:求导得 y′=k+ ,依题意 k+1=0,所以 k=-1. x 答案:-1

2

1.设曲线 y=ax 在点(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a=(

2

)

A.1

1 B. 2

1 C.- 2

D.-1

解析:y′=2ax,依题意得 k=y′|x=1=2a=2,解得 a=1.故选 A. 答案:A 2.(2013·惠州一模)设 P 为曲线 C:y=x +2x+3 上 的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾 ? π? 斜角的取值范围是?0, ?,则点 P 横坐标的取值范围是( ) 4? ? 1? ? ?1 ? A.?-1,- ? B.[-1,0] C.[0,1] D.? ,1? 2? ? ?2 ? 解析:设 点 P 的横坐标为 x0, ∵y=x2+2x+3,∴y′|x=x0 =2x0+2, 利用导数的几何意义得 2x0+2=tan α(α 为点 P 处切线的倾斜角), π 1 0, ?,∴0≤2x0+2≤1,∴x0∈?-1,- ?,故选 A. 又∵α∈? 4 2? ? ? ? 答案:A
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