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新人教a版高中数学必修一3.2.2《函数模型的应用实例》课件003 最新_图文

3.2.2 【学习要求】 函数模型的应用实例 1.能根据数据的特点,建立函数模型解决实际问题; 2.通过函数知识的应用, 复习巩固已学过的基本初等函数的知识; 3.通过实例了解函数模型的广泛应用.进一步巩固函数的应用问 题,进一步熟悉用函数解题的步骤和方法. 【学法指导】 通过将实际问题转化为数学问题的过程,培养数学应用意识;通 过对开放性问题的讨论过程,培养创新精神. 1.几类函数模型 函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂函数型模型 函数解析式 f(x)= ax+b(a、b为常数,a≠0) k f(x)=x+b(k,b 为常数且 k≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) f(x)= bax+c(a,b,c为常数,b≠ 0, a>0且a≠1) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,b≠0,a> 0 且 a≠1) f(x)= axn+b(a,b为常数,a≠0) 2.面临实际问题,自己建立函数模型的步骤 (1)收集数据; (2)画散点图; (3)选择函数模型; (4)求函数模型; (5)检验; (6)用函数模型解释实际问题. 问题情境:我们已经学过一次函数、二次函数、幂函数、指数 函数、对数函数等等,它们在实际生活中有着广泛的应用.今 天我们尝试一下,怎样从实际问题入手,运用已学过的函数知 识来解决一个实际问题. 探究点一 例1 一次、二次函数模型的应用 某列火车从北京西站开往石家庄,全程 277 km.火车出 发 10 min 开出 13 km 后,以 120 km/h 的速度匀速行驶.试 写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系, 并求火车离开北京 2 h 内行驶的路程. 11 解 因为火车匀速运动的时间为(277-13)÷ 120 = 5 (h), 11 所以 0≤t≤ 5 . 因为火车匀速行驶时间 t h 所行驶路程为 120t, 所以,火车运行总路程 S 与匀速行驶时间 t 之间的关系是 11 S=13+120t(0≤t≤ 5 ). 11 2 h 内火车行驶的路程 S=13+120× 6 =233 (km). 小结 在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数模型,其增长特点是直线上升(自变量的系数大于 0)或直 线下降(自变量的系数小于 0),构建一次函数模型,利用一次 函数模型,利用一次函数的图象与单调性求解. 跟踪训练 1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产 品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式 x2 可以近似地表示为 y= -48x+8 000, 已知此生产线年产量最 5 大为 210 吨.若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产 量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 解 设可获得总利润为 R(x)万元, x2 则 R(x)=40x-y=40x- 5 +48x-8 000 x2 =- 5 +88x-8 000 1 =-5(x-220)2+1 680 (0≤x≤210). ∵R(x)在[0,210]上是增函数, 1 ∴x=210 时,R(x)有最大值为-5(210-220)2+1 680=1 660. ∴年产量为 210 吨时,可获得最大利润 1 660 万元. 探究点二 例 2 示. 分段函数模型的应用 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所 (1)求图中阴影部分的面积,并说明所求面积的实际含义; (2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为 2 004 km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数 s km 与时 间 t h 的函数解析式,并作出相应的图象. 解 (1)阴影部分的面积为 50×1+80×1+90×1+75×1 +65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这 5 小时内行驶的路程为 360 km. ? ?50t+2 004, ?80?t-1?+2 054, ? (2)根据图,有 s=?90?t-2?+2 134, ? ?75?t-3?+2 224, ? ?65?t-4?+2 299, 0≤t<1, 1≤t<2, 2≤t<3, 3≤t<4, 4≤t≤5. 这个函数的图象如图所示. 小结 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不 同, 可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来, 再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值; (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理不重 不漏. 跟踪训练 2 某游乐场每天的盈利额 y 元 与售出的门票数 x 张之间的关系如图所示, 试问盈利额为 750 元时,当天售出的门票 数为多少? 解 根据题意,每天的盈利额 y 元与售出的门 ? ?3.75x?0≤x≤400? 票数 x 张之间的函数关系是:y=? . ? ?1.25x+1 000?400<x≤600? ①当 0≤x≤400 时,由 3.75x=750,得 x=200. ②当 400<x≤600 时, 由 1.25x+1 000=750, 得 x=- 200(舍去). 综合①和②,盈利额为 750 元时,当天售出的门票数为 200 张. 答 当天售出的门票数为 200 张时盈利额为 750 元. 探究点三 指数型函数模型的应用 例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的 变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在 1798 年, 英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:y =y0ert,其中 t 表示经过的时间,y0 表示 t=0 时的人口数,r 表 示人口的年平均增长率. 下表是 1950~1959 年我国的人口数据 资料: 年份 人数/万人 1950 55 196 1951 56 300 1952 57 482 1953 58 796

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