江西省 2015 年高考数学二轮复习 小题精做系列专题 11
一、选择题 1. 【2014 届青岛市高三 4 月统一质量检测数学(理) 】已知 为虚数单位,则 a ? b ? ( ) A. ?4 B. 4 【答案】A 【解析】
1 ? bi ? a ? i ( a, b ? R ) ,其中 i 1 ? 2i
D. 10
C. ?10
2. 【2014 届湖北省天门市高三 4 月调研考试数学 (理) 】 设 p : f ( x) ? x ? 2x ? mx ? 1 在 (? ? ? ? ,
3 2
)
上单调递增; q : m ≥ 4 ,则 p 是 q 的( 3 A.充要条件 都不对 【答案】A 【解析】
) C.必要不充分条件 D.以上
B.充分不必要条件
3 .【 2014 届 山 东 省 济 南 市 高 三 3 月 模 拟 考 试 数 学 ( 理 )】 已 知
? x2 ? 1 , ? 0x ? 2 ,对 ?x1 ?[?2, 2], ?x2 ?[?2, 2] ,使 g ( x1 ) ? f ( x2 ) 成 g(x ) ? ax ? a f, x ( ? ?) 2 ?x? 0 ?? x , ? 2
立,则 a 的取值范围是( (A)[-1,+ ? ) 【答案】B 【解析】 ) (B) [ ?
4 ,1] 3
(C)(0,1]
(D)(- ? ,l]
-1-
4. 【 2014 届四川省成都七中高三 4 月适应性训练( 1 )数学(理) 】设 a ? 0 且 a ? 1 . 若
? loga x ? sin 2 x 对 x ? (0, ) 恒成立,则 a 的取值范围是( 4
A. (0,
)
?
4
)
B. (0,
?
4
]
C. (
?
,1) ? (1, ) 4 2
?
D. [
?
4
,1)
5. 【 2014 届 上 海 市 闵 行 区 高 三 下 学 期 教 育 质 量 调 研 数 学 ( 理 )】 已 知 集 合
? x?a ? ? 0, a ? 0? ,若“ x ? A ”是“ x ? B ”的充分非必要 A ? {x x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? ? x ? x?2 ?
条件,则 a 的取值范围是( (A) 0 ? a ? 1 ) . (C) 1 ? a ? 2 (D) a ? 1 (B) a ? 2
6. 【2014 届四川省树德中学高三 3 月阶段性考试数学(理) 】设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项 和,若
a6 9 S ? ,则 11 ? ( a5 11 S9
)
-2-
A. 1 【答案】A 【解析】
B. -1
C. 2
1 D. 2
7. 【 2014 届 湖 北 省 黄 冈 市 重 点 中 学 高 三 第 二 学 期 3 月 月 考 数 学 ( 理 ) 】函数 为奇函数,该函数的部分图像如图所示, A 、 B 分别为最 y ? c o s ( x ?? ) (0 , 0 ? ? ) 高点与最低点,并且 | AB |? 2 2 ,则该函数图象的一条对称轴为( )
? ? ?? ?
A. x ?
2 ?
B. x ?
? 2
C. x ? 2
D. x ? 1 【答案】D 【解析】
8. 【2014 届河北省衡水中学高三下二调考试数学(理) 】设锐角 ?ABC 的三内角 A 、B 、C 所 对边的边长分别为 a 、 b 、 c ,且 a ? 1 , B ? 2 A , 则 b 的取值范围为( ) A.
?
2 ,
3
?
B. 1 ,
?
3
?
C.
?
2, 2
?
D. ?0 , 2 ? 【答案】A 【解析】
-3-
试 题 分 析 : ∵ B ? 2 A , ∴ sin B ? sin 2 A , ∴ sin B ? 2sin A cos A , ∴ 由 正 弦 定 理 :
b ? 2a cos A , 又∵ a ? 1 , ∴ b ? 2 cos A , ∵ ?ABC 为锐角三角形, ∴0 ? A ?
?
2
0?B? ,
?
2
,
0?C ?
∴
?
2
,即 0 ? A ?
?
2
, 0 ? 2A ?
?
2
, 0 ? ? ? A ? 2A ?
?
2
,
?
6
? A?
?
4
,∴
3 2 ,∴ 3 ? 2cos A ? 2 ,∴ b ? ( 3, 2) . ? cos A ? 2 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两 a 2 b2
【考点定位】1.正弦定理;2.三角函数最值. 9. 【2014 届湖北省七市高三联合考试数学(理) 】已知双曲线 个焦点为 F 1 、 F2 ,其中一条渐近线方程为 y ?
b x (b ? N *) , P 为双曲线上一点,且满足 2
,若 PF1 、 F1 F2 、 PF2 成等比数列,则双曲线 C 的方程为 OP ? 5 (其中 O 为坐标原点) ( ) B. x ? y ? 1
2 2
x2 ? y2 ? 1 A. 4
【答案】A 【解析】
x2 y 2 ? ?1 C. 4 9
x2 y 2 ? ?1 D. 4 16
-4-
【考点定位】1、余弦定理;2、双曲线的定义和标准方程;3、等比中项. 10. 【2014 届四川省资阳市高三 4 月模拟考试数学(理) 】已知实数 x ? [1, 10] ,执行右图所示 的程序框图,则输出 x 的值不小于 55 的概率为( (A) )
1 9
(B)
2 9
(C)
4 9
(D)
5 9
【答案】C 【解析】
11. 【2014 届上海交大附中高三总复习数学(理) 】某个几何体的三视图如图(其中正视图中的 圆弧是半圆)所示,则该几何体的表面积为( )
A.92+14π 24π 【答案】A
B.82+14π
C.92+24π
D.82+
【解析】观察三视图可知,该几何体是长方体与一个半圆柱的组合体,根据所标注的尺寸可 以计算出表面积为(4×5+4×5+4×4)×2-4×5+π ·2 +π ·2·5=92+14π .
2
-5-
【考点定位】1、三视图;2、几何体的表面积. 12. 【2014 届福建省福州一中高三上期期末考试数学 (理) 】 已知集合 A、B、C, 且 A ={直线},
B
①?
={ 平 面 } ,
C ? A ? B , 若 a ? A, b ? B, c ? C
, 有 四 个 命 题
?a / / b ?a ? b ?a / / b ?a ? b ? a / / c; ② ? ? a / / c; ③ ? ? a ? c; ④ ? ? a ? c; 其中所有正确 ?c / /b ?c ? b ?c ? b ?c / / b
B.②③④ C.②④ D.④
命题的序号是() A.①②③ 【答案】D 【解析】
13 . 【 2014 届 陕 西 省 西 北 工 大 附 中 高 三 第 六 次 模 拟 考 试 数 学 ( 理 ) 】已知椭圆
C:
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两点,连接 AF , BF , a 2 b2
4 ,则椭圆 C 的离心率 e= 5
C.
若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ? A.
5 7
B.
4 5
4 7
D.
5 6
14. 【2014 届湖北省八市高三下学期 3 月联考数学(理) 】我国第一艘航母“辽宁舰”在某次 舰载机起降飞行训练中,有 5 架舰载机准备着舰.如果甲乙 2 机必须相邻着舰,而丙丁不能 相邻着舰,那么不同的着舰方法有( A.12 B.18 )种 C.24 D.48
-6-
15. 【2014 届湖北黄冈市重点中学高三 3 月月考数学(理) 】在△ABC 中,( AB ? 3AC ) ? CB , 则角 A 的最大值为( ) B.
??? ?
??? ?
??? ?
? A. 6
? 4
C.
? 3
D.
? 2
二、填空题 16 . 【 2014 届四川省成都树德中学高三 3 月阶段性考试数学(理) 】已知实数 x, y 满足
?(2 ? 3 )x ? y ? 6? 2 3? 0 ? xy ,则 的取值范围是______. ? 2x ? y ? 2 ? 0 ( x ? y )( x ? y ) ? ? y? 3?0
【答案】 ? 【解析】
? 3 ? ,?? ? ? ? 2 ?
-7-
17. 【2014 届河北省唐山一中高三下学期调研考试数学(理) 】如右图,在直角梯形 ABCD 中, AB//DC,AD⊥AB,AD=DC=2,AB=3,点 M 是梯形 ABCD 内或边界上的一个动点, 点 N 是 DC 边的中 点,则 AM ? AN 的最大值是________ .
???? ? ????
【答案】6 【解析】
18. 【2014 届哈师大东北师大辽宁实验中学高三第一次联合模拟考试数学(理) 】已知函数
f ( x) ?| cos x | ? sin x ,给出下列五个说法:
① f(
2014? 3 ; ② 若 | f ( x1 ) |?| f ( x2 ) | , 则 x1 ? x2 ? k? (k ? Z ) ; ③ f ( x ) 在 区 间 )?? 3 4
[?
? ?
, ] 上单调递增;④函数 f ( x) 的周期为 ? .⑤ f ( x) 的图象关于点 (? , 0) 成中心对称. 4 4 2
.
?
其中正确说法的序号是 【答案】①③ 【解析】
-8-
【考点定位】三角函数及其性质. 三、解答题 19. 【2014 届浙江省高三高考模拟冲刺 (提优卷) (二) 数学 (理) 】 设 △ABC 的三内角 A ,B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a ? 3 ,A= 60? , b ? c ? 3 2 . (1)求三角形 ABC 的面积; (2)求 sin B ? sin C 的值及 △ABC 中内角 B,C 的大小. 【答案】 (1) 【解析】
3 3 6 ; (2) sin B ? sin C ? ; 4 2
【考点定位】1 余弦定理;2 三角形面积;3 正弦定理;4 两角和差公式。 20 .【 2014 届 安 徽 省 “ 皖 西 七 校 ” 高 三 联 合 考 试 数 学 ( 理 )】 已 知 函 数
-9-
1 3 f ( x) ? ? sin ? x ? ? cos ? x(? ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,其中点 A 为最高点,点 B,C 2 2
为 图 象 与 轴 的 交 点 , 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 对 边 为 a, b, c , b ? c ? 3 , 且 满 足
(2 c?
3 a ) c oB s?
b3 c o A ? s.
0
(1)求 ?ABC 的面积; (2)求函数 f ( x) 的单调递增区间. 【答案】 (1) 【解析】 试 题 分 析 : ( 1 ) 先 由 正 弦 定 理 将 (2c ? 3a)cos B ? 3b cos A ? 0 化 为
3 3 5 1 ;(2) [6k ? ,6k ? ](k ? Z ) 4 2 2
( 2 s Ci? n
2 C B
A 3 s i B n ?
= s
) c oB s
? A3 s i n
, c o s
0
利 用
即
3(sin A cos Bi? cos Asin B)
n ,
c 两
o
【考点定位】1.正余弦定理;2.两角和与差的正余弦公式;3. y ? A sin(? x ? ?) 的图像与性 质. 21. 【2014 届上海市六校高三下学期第二次联考数学(理) 】在△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所 对的边长分别为 a 、 b 、 c ,
- 10 -
且 cos
A?C 1 ? . 2 2
(1)若 a ? 3 , b ? (2)若 f ? A ? ? sin A
7 ,求 c 的值;
?
3 cos A ? sin A ,求 f ? A? 的取值范围.
?
【答案】(1) c ? 1 或 c ? 2 ; (2) ? ? 【解析】
? 3 1? , . ? 2 2? ?
? 1 ? f ( A) ? sin(2 A ? ) ? ,接下来我们只要把 2 A ? 作为一个整体,求出它的范围,就可借 6 2 6
助于正弦函数求出 f ( A) 的取值范围了.
- 11 -
∴ f ? A? 的取值范围是 ? ?
? 3 1? , . ? 2 2? ?
12 分
【考点定位】 (1)余弦定理; (2)二倍角公式与降幂公式,三角函数的取值范围 22. 【2014 届山东省济南市高三 3 月模拟考试数学(理) 】一个袋中装有形状大小完全相同的 球 9 个,其中红球 3 个,白球 6 个,每次随机取 1 个,直到取出 次红球即停止. ....3 . ....... (1)从袋中不放回地取球,求恰好取 4 次停止的概率 P1; (2)从袋中有放回地取球. ①求恰好取 5 次停止的概率 P2; ②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列及数学期望. 【答案】(1) 【解析】
1 8 131 (2) ① ② 28 81 81
(2) 从袋中有放回地取球,每次取到红球的概率 P ? A ? ? 连续有放回地取 n 次,相当于 n 次独立重复试验;
1 2 ,取到白球的概率是 P A ? 3 3
? ?
① 求 恰 好 取 5 次 停 止 的 概 率 P2 ; 说 明 前 四 次 有 两 次 发 生 , 第 五 次 一 定 发 生 ;
?1? ? 2? 1 P2 ? C ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? 3
2 4
2
2
②记 5 次之内(含 5 次)取到红球的个数为 ? ,随机变量 ? 的所以可能取值集合是 ?0,1,2,3?
k k 由 n 次独立重复试验概率公式 Pn ? k ? ? Cn p ?1 ? p ? n?k
即可求出随机变量 ? 分布列, 并由数学 公 式 计
期
望
的
- 12 -
随机变量 ? 的分布列是
?
P ?? ?
0
1
2
3
32 243
80 243
80 243
17 81
? 的数学期望是
E? ? 32 80 80 17 131 ?0? ?1 ? ?2 ? ?3 ? 243 243 243 81 81
12 分
【考点定位】1、古典概型;2、独立重复试验;3、离散型随机变量的分布列与数学期望. 23. 【2014 届陕西省西北工大附中高三上期第四次适应性考试数学(理) 】某工厂在试验阶段 大量生产一种零件,这种零件有 A 、 B 两项技术指标需要检测,设各项技术指标达标与否互 不影响.若有且仅有一项技术指标达标的概率为
5 11 ,至少一项技术指标达标的概率为 .按 12 12
质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. (1)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (2) 任意依次抽取该种零件 4 个, 设 ? 表示其中合格品的个数, 求 ? 的分布列及数学期望 E? . 【 答 案 】( 1 ) 一 个 零 件 经 过 检 测 为 合 格 品 的 概 率 是
1 ;( 2 ) 分 布 列 为 2
- 13 -
1 1 k 1 P (? ? k ) ? C 4 ( ) 4? k ( ) k ,其中 k ? 0,1,2,3,4 ,数学期望 E? ? 4 ? ? 2 . 2 2 2
【解析】
1 k 1 4?k 1 k 分布列为 P (? ? k ) ? C 4 ( ) ( ) ,其中 k ? 0,1,2,3,4 , E? ? 4 ? ? 2 . 2 2 2
【考点定位】概率分布、数学期望与方差. 24. 【2014 届山东省日照市高三 3 月第一次模拟考试数学 (理) 】 已知数列 ?an ? 是首项为 a1 ? 公比 q ?
1 , 4
1 * 的等比数列,设 bn ? 2 ? 3log 1 an n ? N , . 4 4
?
?
数列?cn ? 满足cn ? an ? bn
(1)求证数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (2)若 cn ?
1 2 m ? m ? 1 对一切正整数 n 恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2 3n ? 2 1 n ? ? ( ) (2) m ? 1 或 m ? ?5 . 3 3 4
【答案】(1) S n ? 【解析】 试题分析:
- 14 -
试题解析:
n (1)由题意知, an ? ( ) ( n ? N*) ,
1 4
所以 bn ? 3log 1 an ? 2, bn ? 3log 1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 ,
4 4
n 故 an ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N*) ,
1 4
1 4
n ?1 n n ?1 (2)因为 cn ?1 ? cn ? (3n ? 1) ? ( ) ? (3n ? 2) ? ( ) ? 9(1 ? n) ? ( ) , ( n ? N *)
1 4
1 4
1 4
所以当 n ? 1 时, c 2 ? c1 ?
1 , 4
当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn , 所以当 n ? 1 时, cn 取最大值是
1 , 4
- 15 -
又 cn ? 所以
1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 , 4
1 2 1 m ? m ?1 ? 4 4
2
即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5
12 分
【考点定位】等差数列与等比数列错位相减法恒成立最值 25 . 【 2014 届 福 建 省 福 州 市 高 三 上 学 期 期 末 质 量 检 测 数 学 ( 理 ) 】在数列 中,
(1)证明 (2)求
是等比数列,并求 的前 n 项和 Sn
的通项公式;
【答案】(1) an ? 【解析】
n 3n ?1 ? 3 ? 2n ? S ? ; (2) n 3n 4 ? 3n
①-② 得:
2 1 1 1 1 n Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 3 3 3 3 3 3
1? 1? ?1 ? n ? n 3 3 ? ? ? ? n?1 1 3 1? 3
3? 1? n 3n ?1 ? 3 ? 2n ? Sn ? ?1 ? n ? ? ? Sn ? 4 ? 3 ? 2 ? 3n 4 ? 3n
- 16 -
【考点定位】1.构造的思想求数列通项.2.错位相减法的应用.3.归纳推理的数学思想. 26. 【2014 届北京市朝阳区高三第一次综合练习数学(理) 】如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 为正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD .△PAD 为等腰直角三角形,且 PA ? AD . E ,F 分 别为底边 AB 和侧棱 PC 的中点.
(1)求证: EF ∥平面 PAD ; (2)求证: EF ? 平面 PCD ; (3)求二面角 E ? PD ? C 的余弦值. 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析; (3)所以二面角 E ? PD ? C 的余弦值为 【解析】
3 . 3
因为 F , G 分别是 PC , PD 的中点, 所以 FG 是△ PCD 的中位线. 所以 FG ∥ CD ,且 FG ? 又因为 E 是 AB 的中点,且底面 ABCD 为正方形,
1 CD . 2
- 17 -
所以 AE ?
1 1 AB ? CD ,且 AE ∥ CD .所以 AE ∥ FG ,且 AE ? FG . 2 2
所以四边形 AEFG 是平行四边形.所以 EF ∥ AG . 又 EF ? 平面 PAD , AG ? 平面 PAD ,所以 EF ? 平面 PAD . 4分
(2)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD ,
PA ? AD ,且平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,
所以 PA ? 平面 ABCD . 所以 PA ? AB , PA ? AD .
- 18 -
(3)易得 EP ? (?1 , 0, 2) , PD ? (0, 2,? 2) . 设平面 EPD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则
??? ?
??? ?
【考点定位】线面平行的判定,线面垂直的判定,二面角的求法. 27. 【2014 届湖北省八市高三下学期 3 月联考数学(理) 】如图甲,△ABC 是边长为 6 的等边 三角形,E,D 分别为 AB、AC 靠近 B、C 的三等分点,点 G 为 BC 边的中点.线段 AG 交线段 ED 于 F 点,将△AED 沿 ED 翻折,使平面 AED⊥平面 BCDE,连接 AB、AC、AG 形成如图乙所示的几 何体。
(1)求证 BC⊥平面 AFG;
- 19 -
(2)求二面角 B-AE-D 的余弦值. 【答案】(1)详见解析, (2) ? 【解析】
5 5
则 A(0,0, 2 3) , B( 3, ?3,0) , E (0, ?2, 0) , 所 以 AB ? (
??? ?
3 ?,? 3 ,
, 2
3 )
??? ? BE ? (? 3,1, 0).
6分
- 20 -
【考点定位】线面垂直判定,空间向量求二面角
28. 【2014 届河北省石家庄市高中毕业班第一次模拟考试数学(理) 】椭圆 c:
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2
(a>b>0)的离心率为
3 ,过其右焦点 F 与长轴垂直的弦长为 1, 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左右顶点分别为 A,B,点 P 是直线 x=1 上的动点,直线 PA 与椭圆的另一个 交点为 M,直线 PB 与椭圆的另一个交点为 N,求证:直线 MN 经过一定点. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)由已知可得 e ?
x2 ? y2 ? 1; (2)证明详见解析 4
c 3 2b 2 , =1,解出 a,b 即可. ? a a 2
? 18 ? 8t 2 x ? , ? t ? M 4t 2 ? 9 (2) 设 P(1,t),则直线 l PA : y ? ( x ? 2) , 联立直线 PA 方程和椭圆方程可得 ? , 3 ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ?
同 理 得 到
- 21 -
[
t ? y ? ( x ? 2), ? ? 3 ? 2 ? x ? y 2 ? 1. ? ?4
即
?4t
2
? 9 x 2 ? 16t 2 x ? 16t 2 ? 36 ? 0 ,
,
?
16t 2 ? 36 18 ? 8t 2 , x ? 可知 ?2 xM ? 所以 M 4t 2 ? 9 4t 2 ? 9
? 18 ? 8t 2 x ? , ? ? M 4t 2 ? 9 则? ? y ? 12t . M ? 4t 2 ? 9 ?
6分
? 8t 2 ? 2 x ? , ? ? N 4t 2 ? 1 同理得到 ? ? y ? 4t . N ? 4t 2 ? 1 ?
8分
- 22 -
29. 【2014 届上海崇明县高三第一学期期末考试数学(理) 】已知圆 C1 的圆心在坐标原点 O, 且恰好与直线 l1 : x ? y ? 2 2 ? 0 相切. (1)求圆的标准方程; (2)设点 A 为圆上一动点,AN ? x 轴于 N,若动点 Q 满足 OQ ? mOA ? (1 ? m)ON, (其中 m 为 非零常数) ,试求动点 Q 的轨迹方程 C2 . (3)在(2)的结论下,当 m ?
3 时,得到动点 Q 的轨迹曲线 C,与 l1 垂直的直线 l 与曲线 C 2
x2 y2 ? ? 1; (3) 3 . 4 4m 2
交于 B、D 两点,求 ?OBD 面积的最大值. 【答案】 (1) x2 ? y 2 ? 4 ; (2) 【解析】
试题解析:(1)设圆的半径为 ,圆心到直线 距离为 所以,圆 的方程为
,则
- 23 -
联立方程
得
因为
,解得
,且
又因为点
到直线 的距离
.(当且仅当
即
时取到最大值)
面积的最大值为
.
【考点定位】 (1)圆的方程; (2)动点转移法求轨迹方程; (3)直线与椭圆相交,面积的最 值问题. 30. 【2014 届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理) 】已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 和 F2 ,且| F1 F2 |=2, 点(1,
3 )在该椭圆上. 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ? A F2 B 的面积为 且与直线 l 相切圆的方程. 【答案】 (1) 【解析】
- 24 -
12 2 ,求以 F2 为圆心 7
x2 y 2 ? ? 1; (2) ( x ?1)2 ? y 2 ? 2 . 4 3
又圆 F2 的半径 r ? 得:
2|k | 1? k 2
,∴ ?AF2 B 的面积 ?
2 1 | AB | r ? 12 | k | k ? 1 = 12 2 ,化简 2 7 3 ? 4k 2
得 k=±1, ∴r = 2 , 圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 17k 4 ? k 2 ? 18 ? 0 , (12 分) 【考点定位】1.椭圆的定义和方程;2.圆的方程;3.点到直线的距离公式.
???????.
- 25 -