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2015高中数学 1.7.1函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质课件 (北师大版必修4)_图文

函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)

1.参数A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)的图像 问题 引航 有何影响? 2.如何进行函数y=sin x与y=Asin(ωx+φ)图像 间的变换?

A,ω,φ 对函数y=Asin(ωx+φ)图像的影响
(1)φ对y=sin(x+φ),x∈R的图像的影响
左 右

(2)ω(ω>0)对y=sin(ωx+φ)的图像的影响
缩短 伸长

(3)A(A>0)对y=Asin(ωx+φ)的图像的影响
伸长

缩短

1.判一判 (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)由函数y=sin(x+ ? )的图像得到y=sin x的图像,必须向左
3

平移.(

)

(2)把函数y=sin x的图像上点的横坐标伸长到原来的3倍就得 到函数y=sin 3x的图像.( )

(3)在进行函数y=Asin(ωx+φ)图像间变换的时候必须先左右

平移,再进行伸缩变换.(

)

2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)要得到函数y=sin(x-
? )的图像,可以将函数y=sin x的 4

图像向右最小平移______个单位. (2)将函数y=sin 4x图像上点的横坐标______到原来的______ 倍可得到函数y=sin x的图像. (3)将函数y=2sin x图像上点的纵坐标______到原来的______ 倍可得到函数y=3sin x的图像.

【解析】1.(1)错误,向左、右平移均可得到y=sin x的图像. (2)错误,应是缩短到原来的 倍.
1 3

(3)错误,进行图像变换既可以先左右平移,也可以先伸缩变换.
答案:(1)× (2)× (3)×

2.(1)要得到函数y=sin(x- ? )的图像,可以将函数y=sin x 的图像向右最小平移 ? 个单位. 答案:
? 4 4 4

(2)将函数y=sin 4x图像上点的横坐标伸长到原来的4倍可得 到函数y=sin x的图像. 答案:伸长 4
2

(3)将函数y=2sin x图像上点的纵坐标伸长到原来的 3 倍可 得到函数y=3sin x的图像. 答案:伸长
3 2

【要点探究】 知识点 参数对函数y=Asin(ωx+φ)的图像的影响及图像间的 变换 1.明确参数A,ω,φ的物理意义 A:振幅,表示振动时物体离开平衡位置的最大距离,决定函 数的最大值、最小值.

ω:T= 2 ? 称为周期,它表示振动一次所需的时间,即函数y的
最小正周期. f= 1 ? ? 称为振动的频率,它表示单位时间内
T 2? ?

往复振动的次数.
φ:ωx+φ叫做相位,当t=0时的相位,即φ,称为初相.

2.函数y=Asin(ωx+φ)图像变换的关注点

(1)左右平移方向的确定:图像的左右平移由x的加减决定,规
律是“加左减右”,当x加一个正角时应向左平移,减一个正

角时应向右平移,如由y=sin(x- ? )到y=sin x的平移变换,
x的运算应是x+ ? - ? =x,故应向左平移.
3 3 3

(2)平移与伸缩变换的顺序对左右平移单位的影响: 在由y=sin x到y=sin(ωx+φ)的变换过程中,若按照y=sin x →y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+φ)的顺序变换,则平移单位是φ; 若按照y=sin x→y=sin ωx→y=sin(ωx+φ)的顺序变换,则 平移单位是 |
? | . ?

(3)左右伸缩变换中的注意点:
1 ,如将函数y=sin x图像上点的横坐标伸长 ? 到原来的3倍,则图像的解析式为y=sin 1 x; 3 二是伸缩变换针对的是x的变化,如将函数y=sin(x+ ? )图像上 3 1 点的横坐标缩短到原来的 倍,则图像的解析式为 y ? sin(2x ? ? ). 2 3

一是伸缩倍数是

(4)上下伸缩变换的特点:上下伸缩变换针对的是函数值y,伸缩 的倍数为A.

【微思考】 (1)左右伸缩变换与左右平移变换有何共同点? 提示:两种变换实质上都是相位的变化,针对的都是自变量 x 的变化,伸缩变换是对x系数的变化,左右平移变换是对 x的加 减变化. (2)频率f与周期T的联系与区别是什么? 提示:f=
1 ,前者指的是次数,后者指的是时间. T

【即时练】 试用三种不同的方法由函数y=sin x的图像得到y=2sin (2x ? ? )
4

的图像.
【解析】方法一:将函数y=sin x的图像上所有的点向左平移
? 个单位得函数y=sin(x+ ? )的图像,再将每个点的横坐标变 4 4 1 ? 为原来的 得函数y=sin(2x+ )的图像,最后将每个点的纵 2 4 坐标伸长到原来的2倍得函数y=2sin(2x+ ? )的图像. 4

方法二:将函数y=sin x的图像上所有的点的横坐标变为原来
的 1 得函数y=sin 2x,再将所有的点向左平移
2 4 ? 个单位得函数 8

y=sin(2x+ ? )的图像,最后将每个点的纵坐标伸长到原来的2 倍得函数y=2sin(2x+ )的图像. 方法三:将每个点的纵坐标伸长到原来的2倍得函数y=2sin x 的图像,再同方法一或二的左右平移、伸缩变换得到y= 2sin(2x+ ? )的图像.
4 ? 4

【题型示范】 类型一 “五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图像

【典例1】 (1)如图,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图像 只可能是( )
? 2

(2)(2014·北京高一检测)已知函数f(x)=sin(2x-

? ).请用 3

“五点法”画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【解题探究】1.题(1)中图像与y轴交点在y轴什么位置? 2.题(2)中五点指的是哪五点? 【探究提示】1.由已知x=0时y=Asin φ>0,交点在y轴正半轴上. 2.函数的三个零点,两个最值点.

【自主解答】(1)选B.当x=0时,y=Asin φ>0,排除C,D;

另外,由-

? ? 2? ),结合图像,排除A. 2? (2)令X=2x- ? ,则 x ? 1 (X ? ? ). 3 2 3

? ? ? ? 2? , <ωx+φ< 得到其中一个单调增区间为 (? 2? 2 2

填表: x
? 6 5? 12 ? 2 2? 3 11? 12 3? 2 7? 6

X
f(x)

0
0

π
0


0

1

-1

描点,用光滑的曲线连接即得函数的图像,如图所示:

【延伸探究】题(2)中若将函数变为f(x)=cos(2x- ? ),x∈R,
3

试作出其在区间[0,π]上的图像. 【解析】完成表格:
2x ? ? 3 ? ? 3

0
? 6

? 2 5 ? 12

π
2 ? 3

3 ? 2 11 ? 12

5 ? 3

x
f(x)

0
1 2

π
1 2

1

0

-1

0

图像如图:

【方法技巧】
1.五点法作图的技巧

(1)五个关键点间的关系:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的
图像在一个周期内的“五个关键点”横向间距必相等,为 T ,
4

于是五点横坐标依次为x1=- ? ,x2=x1+ T ,x3=x2+ T ,?,x5=
? 4 4 4

x4+ T ,这样,不仅可以快速求出五点坐标,也可在求得x1的

位置后,用圆规截取其他四点,从而快速作出图像.

(2)整体思想的应用:求解五个关键点时,应运用整体思想,
? 3? 即分别令ωx+φ=0, ,π, ,2π,求出相应x的值,进 2 2

而求出对应函数值.

2.给定区间内函数y=Asin(ωx+φ)的图像的作法

作给定区间上[α,β](一个周期)上函数图像的关键是列表,
①求出x=α,x=β即端点处的相位ωα+φ,ωβ+φ;②确定

区间[ωα+φ,ωβ+φ]之间的“五点”,即函数的最值点、
与x轴的交点相位;③求出上述“五点”对应的x,y值,最后

描点连线得函数图像.

【变式训练】(2014·三亚高一检测)画出函数y=3sin ( 1 x ? ? )
2 12

在长度为一个周期的闭区间上的图像.

【解析】
1 ? x? 2 12

0
? - 6

x

? 2 5? 6

π
11? 6

3? 2 17? 6


23? 6

y

0

3

0

-3

0

描点,连线可得

函数y=3sin ( 1 x ? ? ) 在长度为一个周期的闭区间上的图像如
2 12

图所示.

【补偿训练】画出函数y=sin (2x ? 3? ) 在区间[0,π]上的图像.
4

【解析】(1)列表如表: x y
?

0
2 2

? 8

3? 8

5? 8

7? 8

π
? 2 2

-1

0

1

0

(2)描点、连线如图.

类型二

函数y=Asin(ωx+φ)图像的变换

【典例2】 (1)(2014·成都高一检测)函数y=cos x的图像向左平移
? 个单 3

1 位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的3倍,所得 2

的函数图像解析式为(
1 ? A.y ? 3cos( x ? ) 2 3 2? C.y ? 3cos(2x ? ) 3

)

? B.y ? 3cos(2x ? ) 3 1 1 ? D.y ? cos( x ? ) 3 2 6 (2)将函数y=2sin ( 1 x ? ? ) -1的图像作怎样的变换可得到 2 3

y=sin x的图像?

【解题探究】1.题(1)中横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大 到原来的3倍,则对自变量,函数值乘的倍数分别是什么? 2.由y=Asin(ωx+φ)+b一般按什么样的顺序变换得到y=sin x 的图像? 【探究提示】1.横坐标缩小到原来的 1 ,则x应变为2x,纵坐
2

1 2

标扩大到原来的3倍,则y变为3y. 2.可先上下平移,再左右伸缩,最后上下伸缩.

【自主解答】(1)选B.函数y=cos x的图像向左平移 ? 个单位, 得到函数y=cos(x+ ? );横坐标缩小到原来的 1 ,得到函数
3 3 2

y=cos(2x+ ? );纵坐标扩大到原来的3倍,得到函数y=
3cos(2x+ ? ).
1 1 ? (2)y=2sin ( x ? ) -1的图像横坐标缩短到原来的 ,纵坐标 2 2 3 缩短到原来的 1 ,然后图像向右平移 ? 个单位,向上平移 1 2 2 3 3 3

个单位得到y=sin x的图像.

【方法技巧】利用图像变换作图的技巧 (1)已知变换前后的解析式求变换方式时,较简洁的作法是: 若ω=1,则可以先进行左右平移变换,再进行其他的变换;

若ω≠1,则先进行左右伸缩变换,再进行其他的变换.
(2)对于函数y=Acos(ωx+φ)的图像平移规律与函数

y=Asin(ωx+φ)的图像平移规律相同.

【变式训练】(2014·辽宁高考)将函数y=3sin (2x ? ? ) 的图 像向右平移 A.在区间 B.在区间 C.在区间
? 个单位长度,所得图像对应的函数( 2 ? 7? [ , ]上单调递减 12 12 ? 7? [ , ] 上单调递增 12 12 ? ? [? , ] 上单调递减 6 3 ? ? 上单调递增 [? , ] 6 3 3

)

D.在区间

【解题指南】结合图像平移的原则得到新函数的解析式,利用

正弦函数的单调区间求解新函数的单调区间.

? ? 【解析】选B.函数y=3sin (2x ? ) 的图像向右平移 个单位 2 3

长度,所得图像对应的函数为
? ? 2? y ? 3sin[2(x ? ) ? ] ? y ? 3sin(2x ? ). 2 3 3 ? 7? 由 2k? ? ? ? 2x ? 2? ? 2k? ? ? (k ? Z), 得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z), 12 12 2 3 2 即y=3sin (2x ? 2? ) 的增区间为 [k? ? ? , k? ? 7? ](k ? Z). 12 12 3 ? 7? ? 7? 当k=0时, k? ? ? x ? k? ? (k ? Z)为 ? x ? , 12 12 12 12

可见y=3sin (2x ? 2? ) 在区间 [ ? , 7 ? ] 上单调递增;

12 12 3 7? 13? ? 2? 3? 由 2k? ? ? 2x ? ? 2k? ? (k ? Z) 得 k? ? ? x ? k? ? (k ? Z), 12 12 2 3 2 而不论k取何整数值,得到的减区间都不包含区间 [ ? ? , ? ], 6 3

故只有选项B正确.

【补偿训练】为得到函数y=sin(2x+ ? )的图像,可以将函数 y=sin(2x+ ? )的图像(
3 6

)

A.向左平移 ? 个单位长度

12 B.向右平移 ? 个单位长度 12 C.向左平移 ? 个单位长度 6 D.向右平移 ? 个单位长度 6

【解析】选B. y ? sin(2x ? ? ) ? sin2(x ? ? ),
? ? y ? sin(2x ? ) ? sin 2(x ? ), 6 12 ? 故 x- ? ? ? ? x ? ? ,应向右平移 个单位长度. 12 12 6 12 3 6

类型三

已知函数y=Asin(ωx+φ)的图像求解析式

【典例3】

(1)(2014·聊城高一检测) 如图所示是
y=Asin(ωx+φ)的图像(其中A>0,ω>0,
? )的一部分,则其解析式为( 2 ? A.y=3cos(2x+ ) 3 B.y=3cos(3x- ? ) 3 C.y=3sin(2x+ ? ) 3 D.y=3sin(3x- ? ) 3

|φ|≤

)

(2)(2013·大纲版全国卷)若函数y=
sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图像如图,

则ω=(
A.5

)
B.4 C.3 D.2

【解题探究】1.题(1)中要得到y=Asin(ωx+φ)的解析式,需
要确定哪些参数的值?

2.题(2)中x0到x0+ ? 的图像占整个周期的几分之几?
4

【探究提示】1.需要确定参数A,ω,φ. 2.观察图像可知,x0到x0+ ? 的图像为整个周期的二分之一.
4

【自主解答】(1)选C.由图像可知A=3,T= 2( ? ? ? ) =π,故
3 6

ω=2, 则函数的解析式为y=3sin(2x+φ), 又图像过点 (- ,0), 则 sin(- ? ? ?) ? 0,
? ? +φ=kπ,k∈Z,φ= +kπ,k∈Z, 3 3 ? ? 又φ≤ ,故φ= ,经检验符合题意, 2 3 故函数的解析式为y=3sin(2x+ ? ). 3 3 ? 6

故-

T ? ? ? x ? - x ? , (2)选B.由图像可知, 0 0 2 4 4 ? 2? 即T= ? ,故ω=4. 2 ?

【方法技巧】已知函数y=Asin(ωx+φ)的部分图像求解析式
(1)A:由最大值或最小值确定A.

(2)ω:由图中已知相位的差确定周期,从而求ω.
(3)φ:一般情况下,求出A,ω后,利用曲线上一点求φ,

如已知曲线与x轴的交点x0,则令ωx0+φ=kπ,k∈Z,得φ=
-ωx0+kπ,k∈Z,再利用φ的范围求φ的值.

【变式训练】(2013·四川高考)函数

f(x)=2sin(ωx+φ),(ω>0,- <φ
<
? )的部分图像如图所示,则ω,φ的 2

? 2

值分别是(
A.2,- ?
3 C.4,- ? 6

)
B.2,- ? D.4, ?
3 6

【解题指南】本题考查的是ω,φ对函数f(x)=2sin(ωx+φ)图 像的影响,需要重点关注的是周期与最大值点. 【解析】选A.根据图像可知 3 T ? 5? ? (? ? ) ? 9? ? 3? , 所以函数
4 12 3 12 4 的周期为π,可得ω=2,根据图像过 ( 5? , 2) ,代入解析式,结 12 ? ? ? 合- <φ< ,可得φ=- ,故选A. 2 3 2

【补偿训练】(2014·西安高一检测) 函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ <2π)的图像如图,则A=________, ω=________,φ=________.

【解析】由图像可知,A=2,
? 5? T ? 4 ? (? ? ) ? 2?, 3 6 故ω= 2 ? =1, T

故y=2sin(x+φ), 又函数过点 (? ? , 2), 故 ? ? ? ? ? ? +2kπ,k∈Z,
3 2 5? φ= +2kπ,k∈Z, 6 3

因为0<φ<2π,故φ= 答案:2 1
5? 6

5? . 6

【易错误区】图像变换过程忽视函数名称致误 【典例】要得到函数y=sin ( x ? ? ) 的图像,只需将y=cos x 的
2 4 2

图像(

)
? 个单位 2 ? D.向右平移 个单位 4

A.向左平移 ? 个单位
2 C.向左平移 ? 个单位 4

B.向右平移

【解析】选B.方法一:y ? cos x ? sin( x ? ? ) ? sin 1 (x ? ?),
x ? 1 ? y ? sin( ? ) ? sin (x ? ), 2 4 2 2 故应将y=cos x 的图像向右平移 ? 个单位. 2 2 方法二:y ? sin( x ? ? ) ? cos( ? - x ) 2 4 4 2 x ? 1 ? ? cos( - ) ? cos (x- ), 2 4 2 2 故应向右平移 ? 个单位,故选B. 2 2 2 2 2

【常见误区】 错解 A 错因剖析 误将两个函数视为同名函数,确定平移方式错误
1 没有注意到x的系数 对左右平移的影响而致误 2

D

【防范措施】

1.不同名函数的图像平移问题
当函数的名称不相同时,要根据诱导公式变为同名函数后

再根据平移规律确定平移方式,其中常用的诱导公式有
sin ( ? ? ? ) =cos α,
2 cos ( ? -?) =sin α,如本题既可以把正弦变余弦,也可以 2

把余弦变正弦,统一函数名称后确定平移方式.

2.同名函数的图像平移问题 y=sin(ωx+φ)图像的左右平移,当ω≠1时一定要将ωx+φ 化成ω(x+ ? ),然后确定平移方向和单位,如本例中
x ? 1 ? ? ? (x ? ). 2 4 2 2 ?

【类题试解】为得到函数y=cos(2x+ 2 ? )的图像,只需将
3

函数y=sin 2x的图像(
A.向左平移

)

B.向右平移
C.向左平移

D.向右平移

7? 个单位长度 12 7 ? 个单位长度 12 7? 个单位长度 6 7? 个单位长度 6

【解析】选A.y=sin 2x= cos( ? -2x) ? cos(2x- ? ) ? cos 2(x- ? ),
2? ? ) ? cos 2(x ? ), 3 3 则 x ? ? ? x ? 7? - ? , 3 12 4 y ? cos(2x ? 2 2 4

则需要将函数y=sin 2x的图像向左平移

7? 个单位长度. 12