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江苏省教育学院附属高级中学2015届高三上学期期中考试数学试题Word版含答案


江苏教育学院附属高级中学 2014-2015 学年度 第一学期高三期中数学试题 (第Ⅰ卷)必做题 一、填空(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分)请把答案填写在答题卡 相应位置上.
1.命题“?x≠1,x2-x≠0”的否定是: 2.复数 .

3.已知角 ? 的终边过点 P(-12,5),则 tan ? ?

1? i 的虚部为 i

. . __.

→ → → 4.已知向量 AB =(-1,2) ,向量 AC =(3,-1) ,则向量 BC 的坐标为 __ 5.幂函数 y=f(x)的图象过点(2, 2) ,则 f (16) ? 6.函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 4 在 x=
2

.

处取得极小值.
a

n 1 7.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n =n +n,则数列 bn ? ? 2 2 的前 5 项的和为 an an?1

.

8.已知 sin(

?
2

??) ?

4 5? ?? ) ? , ? ? (0, ? ) ,则 cos( 5 6
4 2

. .

9.当 x ? (?2,?1) 时,不等式 x ? mx ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围是 10.已知△ABC 中, AB ? a , AC ? b , a ? b ? 0 , S ?ABC ?

15 , | a |? 3, | b |? 5 ,则 a 与b 4

夹角的余弦值为___. 2 11.定义在(-1,1)上的函数 f(x)=-3x+sinx,如果 f(1-a)+f(1-a )>0,则实数 a 的取值 范围为 .

12.给出以下四个命题: ①已知命题 p : ?x ? R, tan x ? 2 ;命题 q : ?x ?R ,x ?x ? 1? 0 .则命题 p 和 q 都是真命题;
2

②过点 (?1, 2) 且在 x 轴和 y 轴上的截距相等的直线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ; ③函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 1 在定义域内有且只有一个零点; ④先将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图像向右平移

? 个单位,再将新函数的周期扩大为原来的两 6

倍,则所得图像的函数解析式为 y ? sin x . 其中正确命题的序号为 13.函数 f ( x) 满足 ln x ? 最小值为 . . (把你认为正确的命题序号都填上)

1 ? f ( x) ,且 x1 , x2 均大于 e ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 , 则 f ( x1 x2 ) 的 1 ? f ( x)

14.设 a1 , a2 ,…, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此数 列删去某一项后,得到的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对 ? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合 d?

为____________.

二、解答题(本大题共 6 小题,共计 90 分)请在答题卡指定区域内作答,解答时应写
出必要的文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 tan A ? 2 2 . → → (Ⅰ)求 sin2A; (Ⅱ)若 AB · AC =4,且 b ? c ? 8 ,求 a .

16. (本题满分 14 分) 设函数 f(x)= lg(? x ? 5x ? 6) 的定义域为 A, 函数 g(x)=
2

5 , x ? (0, m) x?2

的值域为 B. (Ⅰ)当 m=2 时,求 A∩B; (Ⅱ)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.

17. (本题满分 14 分)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 . (Ⅰ)直线 l 过点 P ?1,2? ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |? 2 3 ,求直线 l 的方程; → → (Ⅱ)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量OQ=OM → + ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.

18. (本题满分 16 分)甲方是一农场,乙方是一工厂,由于乙方生产须占用甲方的资源,因 此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入.乙方在不赔付甲方的情况下,乙 方的年利润 x (元)与年产量 t (吨)满足函数关系 x ? 2000 t .若乙方每生产一吨产品必 须赔付甲方 s 元(以下称 s 为赔付价格) . (Ⅰ)将乙方的年利润 w (元)表示为年产量 t (吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年 产量; (Ⅱ)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y ? 0.002 ,在乙方按照获得最大利 t 2 (元) 润的产量进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 s 是 多少?

19. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 .
2

(Ⅰ)若 a ? 0, 不等式 f ( x) ? 0 的解集为 A , 1? A, 2 ? A ,求 a ? b 的取值范围; (Ⅱ)若 a 为整数, b ? a ? 2 ,且函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上恰有一个零点,求 a 的值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若函数 g ( x) ? ln x ? x ? 2 ? f ( x )对任意的 x∈ (1, ??) ,有
/

(x ? 1) g ( x) ? x 2 ? 2x ? k ? 0 恒成立,求实数 k 的最小值.

20. (本题满分 16 分)已知数列 ?a n ? 中 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? an2 ? bn ? c(n ? N ? ) . a, b, c 为 实常数. (Ⅰ)若 a ? b ? 0, c ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式; ( Ⅱ ) 若

a ? ?1, b ? 3, c ? 0

.①













?, ?, 使得数列 an ? ?n 2 ? ?n 是等比数列, 若存在,求出 ?、 ? 的值,若不存在,请说明理
由; ②设 bn ?

?

?

1 ,S a n ? n ? 2 n ?1

n

? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn .证明:n≥2 时, S n ?

5 . 3

第Ⅱ卷(附加题 共 40 分) 21.B. (本题满分 10 分)选修 4-2:矩阵与变换
?cos ? 若点 A(-2,2)在矩阵 M ? ? ? sin ? ? sin ? ? 对应变换的作用下得到的点为 B(2,2) ,求矩阵 cos ? ? ?

M.

C. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? sin ?
2 ? y ? cos ?

, ? ? [0, 2? ) ,曲线 D 的极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? ? 2 .
4

(1)将曲线 C 的参数方程化为普通方程; (2)曲线 C 与曲线 D 有无公共点?试说明理由.

22. (本题满分 10 分)在 1,2,---,7 这 7 个自然数中,任取 3 个不同的数. (1)求这 3 个数中至少有 1 个是偶数的概率; (2)设 ? 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1, 2,3 ,则有两组相邻的数 1, 2 和

2, 3 ,此时 ? 的值是 2 ) .求随机变量 ? 的分布列及其数学期望 E? .

23. (本题满分 10 分) 已知 ( x ?1)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a3 ( x ?1)3 ? (1)求 a0 及 S ? a ; ?i n
i ?1 n

? an ( x ?1)n , (其中 n ? N * )

(2) 试比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,并说明理由.
n 2

期中试卷参考答案 5 5 3-4 3 一、1、?x≠1,x2-x=0;2、-1;3、-12;4、 (4,-3) ;5、4;6、2;7、62 ;8、 ; 24 10 17 9、 (-∞,- ] 4 10、- 3 5 ;11、 (1, 2) ;12、①③;13、 ;14、{(4,,-4) , (4,1)} 2 7
2 2

二、 15. 解: (Ⅰ) 又 sin A ? cos A ? 1 , ∴ tan A ? 2 2 , sin A ? 2 2 cos A , 又 tan A ? 2 2 ? 0 ,∴
2

co2 sA?

1 , 9

A 为锐角,∴

1 cos A ? , ----3 分 3

从而 sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? ( ) ?
2

1 3

2 2 , 3

------5 分

? sin 2 A ? 2 sin A cos A ? 2 ?

2 2 1 4 2 ? ? 3 3 9

-----8 分

(Ⅱ) AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ? 4 ,即 bc cos A ? 4 , bc ? 12 ,

2 2 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bcco s A ?( b ? ) c ?2 b? c b? c 3∴ 2 a ? 4 2 ----6 分 3 5 5 ,5 ( ,) 16.解: (Ⅰ)A=(2,3)B= ,A∩B=(2,2) ------7 分 4 2 m ? 0, ? 5 ,5 1 ? ? ( ,) (Ⅱ)B= ,B ≠ A , ? 5 ----7 分 ?0?m? ?2 m?2 2 2 ? ?m ? 2


17.解: (Ⅰ)若 l ⊥x 轴,直线方程为 x=1,A(1,- 3),B(1, 3) , | AB |2 ?3 分 若 l 的斜率存在,设 l 的方程为 y=k(x-1)+2,圆心到直线的距离为 d= 3 2 故 ( 3) +d 2 ? 22 ,k=4,直线方程为 3x-4y+5=0, 综上所求直线 l 的方程为 x=1,3x-4y+5=0,;

,适合;----3

2-k 1? k 2

,圆半径为 2,

------7 分

-----8 分

(Ⅱ)设 M(x0,y0) (y0≠0).则 N(0,y0) ,Q(x,y) ,则 ?

? x ? x0 ----2 分 ? y ? 2 y0

2 2 又 x0 ? y0 ? 4 ,动点 Q 的轨迹方程为

x2 y2 ? ? 1 (y≠0) -----5 分 4 16

轨迹为长轴长为 8,短轴长为 4,焦距为 4 3且焦点在 y 轴上的椭圆且去掉椭圆短轴的两个端 点.----6 分 18:解 (Ⅰ)乙方的实际年利润为: w ? 2000 t ? st

t ? 0.

(5 分)

1000 2 10002 w ? 2000 t ? st ? ? s( t ? ) ? , s s

? 1000? 当 t ? ? s ? 时, w 取得最大值. ? ? ? 1000? 所以乙方取得最大年利润的年产量 t ? ? s ? (吨).…………………8 分 ? ?
(Ⅱ)设甲方净收入为 v 元,则 v ? st ? 0.002t 2 .
2

2

? 1000? 10002 2 ? 10003 ? 将 t ? ? s ? 代入上式,得: v ? . ? ? s s4

2

(5 分)

又 10002 8 ?10003 10002 (8000? s 3 ) ? v ? ? ? ? v ? ? 0 ,得 s ? 20 . 令 s2 s5 s5 当 s ? 20 时, v ? ? 0 ;当 s ? 20 时, v ? ? 0 ,所以 s ? 20 时, v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求赔付价格 s ? 20 (元/吨)时,获最大净收入. (8 分)

a ? 0, ? ? 19.解: (Ⅰ)由题知 ? a ? b ? 1 ? 0, ------2 分, a ? b ∈(2,+∞)----4 分 ?4a ? 2b ? 1 ? 0, ?
1 (Ⅱ) a ? 0 时,f(x)=-2x+1,零点为 ,不合,舍去;------1 分 2

a ? 0 时,∵ b ? a ? 2 ∴

2 ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 , f ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 1 ,? ?=(a ? 2)

∴函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1 必有两个零点,

? a ? 0, ? 又函数 f ( x ) 在 (?2, ?1) 上恰有一个零点,∴ ? f ( ?2) ? 0, ------4 分 ? f ( ?1) ? 0. ?
? 3 5 ? a ? ? ,又 a ? Z ,∴ a ? ?1 ----6 分 2 6 (Ⅲ) f ( x) ? ? x 2 ? x ? 1 , g ( x) ? ln x ? x ? 1,(x ? 1) g ( x) ? x 2 ? 2x ? k ? 0 整理得

( x ? 1) ln x ? 2 x ? k ? 1 ? 0 --------2 分
令 H(x)= ( x ? 1) ln x ? 2 x ? k ? 1 , H ( x) ? ln x ?
/

1 1 x ?1 ? 1 , (ln x ? ? 1) / ? 2 ? 0 x x x 1 1 H / ( x) ? ln x ? ? 1 在(1,+∞)上单调增,又 H / (1) ? 0 , H / ( x) ? ln x ? ? 1 >0, -----4 x x

分 ∴H(x) = ( x ? 1) ln x ? 2 x ? k ? 1 在(1,+∞)单调增, H (1) ? k ? 1 ? 0 ,k≥1,k 的最小值为 1.----6 分 20. 解: (Ⅰ) an?1 ? 2an ? 1, an?1 ? 1 ? ( ,又 a1 ? 1, a1 ? 1 ? 2 ? 0, 2 an ? 1 )

an?1 ? 1 ?2 an ? 1

an ? 1 ? 2 n , an ? 2n ? 1 ( n ? N * ) ------6 分
(Ⅱ)①设 an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n 可化为an?1 ? ? (n ? 1) 2 ? ? (n ? 1) ? 2(an ? ?n 2 ? ?n) 即 an?1 ? 2an ? ?n 2 ? (? ? 2? )n ? ? ? ?

?? ? ?1 ? 故 ?? ? 2? ? 3 ?? ? ? ? ? 0 ?

?? ? ?1 解得 ? ?? ? 1

…4 分

?an?1 ? 2an ? n 2 ? 3n可化为an?1 ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2(an ? n 2 ? n)
且 a1 ? 12 ? 1 ? 0 故存在 ? ? ?1, ? ? 1

使得数列 an ? ?n 2 ? ?n ?是等比数列 …………6 分
1 1 ? 2 n ?1 an ? n ? 2 n
-------1 分

?

② an ? 2 n?1 ? n 2 ? n bn ?

? bn ?

1 1 1 1 ? ? ? 2 1 1 1 n n2 ? n? n? 4 2 2

------2 分

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? n ? 2时, S n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? 1 ? ? ? ? ??? ? 1 1? ?3 5? ?5 7? ? n? ? ? ? ? ? ?n? 2 2? ?2 2? ?2 2? ? 2 1 5 (4 分) ?1? ? ? 1 3 3 n? 2
第二卷
?cos ? 21:B:解: ? ? sin ? ? sin ? ? ??2? ? 2? ? ? ? ? ? ----5 分 cos ? ? ? ? 2 ? ? 2?

?sin ? ? ?1 ? ? cos ? ? 0
------- 5 分

? 0 1? M ?? ? -----10 分 ? ?1 0?

解: (Ⅰ)C:y=1-x2,x∈[-1,1],D:x+y+2=0 (2)无公共点 -------5 分 C3 31 4 22.解: (Ⅰ)P=1- 3 =35 C7 (Ⅱ) ? 的取值为 0,1,2 P( ? =2)= 分布列为 5 1 = 3 7 C7 P( ? =1)= 20 4 = 3 7 C7

-----4 分

1 4 2 P( ? =0)=1-7-7=7

?
P( ?

0 2 7

1 4 7

2 1 7

-----4 分

E? =7

6

------2 分

23.解: (Ⅰ)令 x ? 1 ,则 a0 ? 2n ,令 x ? 2 , 则

?a
i ?0

n

i

? 3n ,∴ Sn ? 3n ? 2n ;
n 2

----------------------3 分

(Ⅱ)要比较 Sn 与 (n ? 2)2 ? 2n 的大小,即比较: 3 与 (n ? 1)2 ? 2n 的大小,---1 分
n

n

2

当 n ? 1 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;当 n ? 2,3 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n n 2 n n 2

当 n ? 4,5 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ;
n n 2 n n 2

----------------------------2 分

猜想:当 n ? 4 时, 3 ? (n ?1)2 ? 2n ,下面用数学归纳法证明:

由上述过程可知, n ? 4 时结论成立, 假设当 n ? k (k ? 4) 时结论成立,即 3k ? (k ?1)2k ? 2k 2 , 两边同乘以 3 得: 3k ?1 ? 3[(k ?1)2k ? 2k 2 ] ? k 2k ?1 ? 2(k ? 1)2 ? [(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2] 而

(k ? 3)2k ? 4k 2 ? 4k ? 2 ? (k ? 3)2k ? 4(k 2 ? k ? 2) ? 6 ? (k ? 2)2k ? 4(k ? 2)(k ? 1) ? 6 ? 0

∴ 3k ?1 ? [(k ? 1) ?1]2k ?1 ? 2(k ? 1)2 即 n ? k ? 1 时结论也成立, ∴当 n ? 4 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 成立. ------6 分 综上得,当 n ? 1 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ; 当 n ? 2,3 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ;当 n ? 4, n ? N ? 时, 3n ? (n ?1)2n ? 2n2 ---7 分


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