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2013高考数学(理)一轮复习课件:11-2


第2讲 排列与组合

【2013 年高考会这样考】 1.考查排列组合的概念及其公式的推导. 2.考查排列组合的应用. 【复习指导】 复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想,掌握一些 排列组合的基本模式题的解决方法,如指标分配问题、均匀分 组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等.

基础梳理 1.排列 (1)排列的概念:从n个 不同 元素中,任取m(m≤n)个元素(这里 的被取元素各不相同)按照一定的 顺序 排成一列,叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列数的定义:从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素的 所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列 数,用符号Am表示. n

(3)排列数公式 Am= n(n-1)(n-2)…(n-m+1) . n (4)全排列数公式
n An=n(n-1)(n-2)?2· 1=n!(叫做n的阶乘).

2.组合 (1)组合的定义:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (2)组合数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所 有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合 数.用符号Cm表示. n

(3)组合数公式 n! Am n?n-1??n-2???n-m+1? n m Cn =Am= = m! m!?n-m?! m
0 (n,m∈N*,且m≤n).特别地Cn=1.

(4)组合数的性质:①Cm=Cn-m;②Cm+1=Cm+Cm-1. n n n n n

一个区别 排列与组合,排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”.取出元素后交换顺序,如果与顺序有关是排列,如果与 顺序无关即是组合. 两个公式 (1)排列数公式Am= n n! ?n-m?! n! 利用这两个公式可计算排列问 m!?n-m?!

(2)组合数公式C m = n

题中的排列数和组合问题中的组合数.

①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则,区分排 列组合问题主要是判断“有序”和“无序”,更重要的是弄清 怎样的算法有序,怎样的算法无序,关键是在计算中体现“有 序”和“无序”. ②要能够写出所有符合条件的排列或组合,尽可能使写出的排 列或组合与计算的排列数相符,使复杂问题简单化,这样既可 以加深对问题的理解,检验算法的正确与否,又可以对排列数 或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果. 四字口诀 求解排列组合问题的思路:“排组分清,加乘明确;有序排 列,无序组合;分类相加,分步相乘.”

双基自测 1.8名运动员参加男子100米的决赛.已知运动场有从内到外 编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所 在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加比赛的 这8名运动员安排跑道的方式共有( A.360种 C.720种 B.4 320种 D.2 160种 ).

解析

本题考查排列组合知识,可分步完成,先从8个数字中

取出3个连续的三个数字共有6种可能,将指定的3名运动员安 排在这三个编号的跑道上,最后剩下的5个排在其他的编号的5
3 个跑道上,故共有6A3A5=4 320种方式. 5

答案

B

2.以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有( A.200个 解析 B.190个 C.185个 D.180个

).

正五棱柱共有10个顶点,若每四个顶点构成一个四面

体,共可构成C 4 =210个四面体.其中四点在同一平面内的有 10 三类:
4 (1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2C5个. 2 (2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有C5个.

(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行 (例如AB∥E1C1),这样共面的四点共有2C1个. 5 所以C4 -2C4-C2-2C1=180(个),选D. 10 5 5 5 答案 D

3.(2010· 山东)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下 要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目 丙必须排在最后一位.该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 ( A.36种 B.42种 C.48种 D.54种 解析 因为丙必须排在最后一位,因此只需考虑其余五人在前
4 五位上的排法.当甲排在第一位时,有A4=24种排法,当甲排

).

在第二位时,有A 42(种),故选B. 答案 B

1 3

· A

3 3

=18种排法,所以共有方案24+18=

4.如图,将1,2,3填入3×3的方格中, 要求每行、每列都没有重复数字,右 面是一种填法,则不同的填写方法共有( A.6种 C.24种 解析 B.12种 D.48种

1 3 ). 2

2 1 3

3 2 1

3 只需要填写第一行第一列,其余即确定了.因此共有A3

2 A2=12(种).

答案

B

5.某工程队有6项工程需要先后单独完成,其中工程乙必须在 工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进 行,又工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项 工程的不同排法种数是________(用数字作答). 解析 可将6项工程分别用甲、乙、丙、丁、a、b表示,要求 是甲在乙前,乙在丙前,并且丙丁相邻丙在丁前,可看作甲、 乙、丙丁、a、b五个元素的排列,可先排a、b,再排甲、乙、
2 丙丁共A5C3=20种排法,也可先排甲、乙、丙丁,再排a、b, 3

共C3A2=20种排法. 5 2 答案 20

考向一

排列问题

【例1】?六个人按下列要求站成一排,分别有多少种不同的站 法? (1)甲不站在两端;(2)甲、乙必须相邻;(3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间恰有两人;(5)甲不站在左端,乙不站在右端; (6)甲、乙、丙三人顺序已定. [审题视点] 法、插空法等. 根据题目具体要求,选择恰当的方法,如捆绑

4 解 (1)A2A4=480; 5 5 (2)A2A5=240; 2 2 (3)A4A5=480; 4 2 (4)A2A4A3=144; 2 3 5 (5)A6-2A5+A4=504; 6 4

(6)A3=120. 6

有条件的排列问题大致分四种类型. (1)某元素不在某个位臵上问题,①可从位臵考虑用其它元素 占上该位臵,②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问 题);③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个 数. (2)某些元素相邻,可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法) 然后与其它元素排列. (3)某些元素互不相邻,可将其它剩余元素排列,然后用这些 元素进行插空(即插空法). (4)某些元素顺序一定,可在所有排列位臵中取若干个位臵, 先排上剩余的其它元素,这个元素也就一种排法.

【训练1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数, 分别有多少个?(1)0不在个位;(2)1与2相邻;(3)1与2不相邻; (4)0与1之间恰有两个数;(5)1不在个位;(6)偶数数字从左向右 从小到大排列.
4 解 (1)A2A4=480; 5 1 (2)A2A4A4=192; 2 4 5 1 (3)A1A5-A2A4A4=408, 5 2 4 1 2 (4)A2A2A2+A4A3=120; 4 2 3 5 (5)A6-2A5+A4=504; 6 4 3 (6)A3-A5=60. 6

考向二 组合问题 【例2】?某医院有内科医生12名,外科医生8名,现选派5名参 加赈灾医疗队,其中 (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加,共有多少种不同 选法? (2)甲、乙均不能参加,有多少种选法? (3)甲、乙两人至少有一人参加,有多少种选法? (4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生,有几种选法? [审题视点] “无序问题”用组合,注意分类处理.

3 解 (1)只需从其他18人中选3人即可,共有C18=816(种); 5 (2)只需从其他18人中选5人即可,共有C18=8 568(种); 1 4 (3)分两类:甲、乙中有一人参加,甲、乙都参加,共有C 2 C 18

+C3 =6 936(种); 18 (4)法一(直接法):至少有一名内科医生和一名外科医生的选法 可分四类:一内四外;二内三外;三内二外;四内一外,所以
3 3 共有C1 C4+C2 C8+C12C2+C4 C1=14 656(种). 12 8 12 8 12 8

法二 (间接法):由总数中减去五名都是内科医生和五名都是
5 外科医生的选法种数,得C5 -(C12+C5)=14 656(种). 20 8

对于有条件的组合问题,可能遇到含某个(些)元素与不含某 个(些)元素问题;也可能遇到“至多”或“至少”等组合问题 的计算,此类问题要注意分类处理或间接计算,切记不要因为 “先取再后取”产生顺序造成计算错误.

【训练2】 甲、乙两人从4门课程中各选修2门,(1)甲、乙所 选的课程中恰有1门相同的选法有多少种?(2)甲、乙所选的课 程中至少有一门不相同的选法有多少种? 解 (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,且甲、乙所选课 程中恰有1门相同的选法种数共有C2C1C1=24(种). 4 2 2
2 2 (2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C 4 C 4 ,

又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C 2 种,因此满 4 足条件的不同选法种数为C2C2-C2=30(种). 4 4 4

考向三

排列、组合的综合应用

【例3】?(1)7个相同的小球,任意放入4个不同的盒子中,试 问:每个盒子都不空的放法共有多少种? (2)计算x+y+z=6的正整数解有多少组; (3)计算x+y+z=6的非负整数解有多少组. [审题视点] 根据题目要求分类求解,做到不重不漏.



(1)法一

先将其中4个相同的小球放入4个盒子中,有1种

放法;再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中,有以下 3种情况: ①某一个盒子放3个小球,就可从这4个不同的盒子中任选一个 放入这3个小球,有C1种不同的放法; 4 ②这3个小球分别放入其中的3个盒子中,就相当于从4个不同 的盒子中任选3个盒子,分别放入这3个相同的小球,有C 3 种不 4 同放法; ③这3个小球中有两个小球放在1个盒子中,另1个小球放在另 一个盒子中,从这4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列,
2 有A4种不同的方法.

综上可知,满足题设条件的放法为C1+C3+A2=20(种). 4 4 4

法二 “每个盒子都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个 小球”,若用“挡板法”,可易得C3=20. 6 (2)可看做将6个相同小球放入三个不同盒子中,每盒非空有多 少种放法.转化为6个0,2个1的排列,要求1不排在两端且不相 邻,共有C 2 =10种排法,因此方程x+y+z=6有10组不同的正 5 整数解; (3)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中,转化为6个 0,2个1的排列,共有C 2 =28种排法,因此方程x+y+z=6有28 8 组不同的非负整数解.

排列与组合的根本区别在于是“有序”还是“无序”, 对于将 若干个相同小球放入几个不同的盒子中,此类问题可利用“挡 板法”求解,实质上是最终转化为组合问题.

【训练3】 有6本不同的书按下列分配方式分配,问共有多少 种不同的分配方式? (1)分成1本、2本、3本三组; (2)分给甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本; (3)分成每组都是2本的三组; (4)分给甲、乙、丙三人,每人2本.



(1)分三步:先选一本有C

1 6

种选法;再从余下的5本中选2

本有C2种选法;对于余下的三本全选有C3种选法,由分步乘法 5 3 计数原理知有C1C2C3=60种选法. 6 5 3 (2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑 再分配的问题,因此共有C1C2C3A3=360种选法. 6 5 3 3

2 2 2 (3)先分三步,则应是C 6 C 4 C 2 种选法,但是这里面出现了重

复,不妨记6本书为分别A、B、C、D、E、F,若第一步取了 (AB,CD,EF),则C
2 6

C

2 4

C

2 2

种分法中还有(AB、EF、CD),

(CD、AB、EF)、(CD、EF、AB)、(EF、CD、AB)、(EF、 AB、CD)共有A 3 种情况,而且这A 3 种情况仅是AB、CD、EF的 3 3 C2C2C2 6 4 2 顺序不同,因此,只算作一种情况,故分配方式有 = 3 A3 15(种). C2C2C2 3 6 4 2 2 2 (4)在问题(3)的基础上再分配,故分配方式有 A3 · 3 =C 6 C 4 A 3 C2=90(种). 2

阅卷报告 16——实际问题意义不清,计算重复、遗漏致误 【问题诊断】 排列组合问题由于其思想方法独特计算量庞大, 对结果的检验困难,所以在解决这类问题时就要遵循一定的解 题原则,如特殊元素、位臵优先原则、先取后排原则、先分组 后分配原则、正难则反原则等,只有这样我们才能有明确的解 题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻,考虑周全,这样才 能做到不重不漏,正确解题. 【防范措施】 “至少、 至多型”问题不能利用分步计数原理求 解,多采用分类求解或转化为它的对立事件求解.

【示例】? 有 20 个零件,其中 16 个一等品,4 个二等品,若 从 20 个零件中任意取 3 个, 那么至少有 1 个一等品的不同取法 有多少种? 错因 第二步若取出一等品则与第一步取出的一等品有了先后

顺序,从而使取法重复. 实录 按分步原理,第一步确保 1 个一等品,有 C1 种取法;第 16

二步从余下的 19 个零件中任意取 2 个,有 C2 种不同的取法, 19 故共有 C1 C2 =2 736 种取法. 16 19

正解

法一

将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类:

“恰有1个一等品”,“恰有2个一等品”,“恰有3个一等
1 3 品”,由分类计数原理有:C1 C2+C2 C4+C16=1 136(种). 16 4 16

法二

考虑其对立事件“3个都是二等品”,用间接法:C 3 - 20

C3=1 136(种). 4

【试一试】 在10名演员中,5人能歌,8人善舞,从中选出5 人,使这5人能演出一个由1人独唱4人伴舞的节目,共有几种 选法? [尝试解答] 本题中的“双面手”有3个,仅能歌的2人,仅善 舞的5人.把问题分为:(1)独唱演员从双面手中选,剩下的2 个双面手和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的选拔;(2) 独唱演员不从双面手中选拔,即从只能唱歌的2人中选拔,这 样3个双面手就可以和只能善舞的5个演员一起参加伴舞人员的 选拔.故选法种数是C1C4+C1C4=245. 3 7 2 8

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