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高中数学高二圆锥曲线试题


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高二数学同步测试—圆锥曲线综合
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) x2 y2 x2 y2 1.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ( ) 2 a b a b 5 2 A. B. 5 C. D. 5 4 3 2 4 2.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ( ) B. x 2 ? ?8 y C. x 2 ? 16y D. x 2 ? ?16 y 1 3. 圆的方程是(x-cos?)2+(y-sin?)2= ,当?从 0 变化到 2?时, 动圆所扫过的面积是 ( 2
2 2 ) ? 2 2 4. 若过原点的直线与圆 x + y 2 + 4 x +3=0 相切, 若切点在第三象限, 则该直线的方程是 (

A. x 2 ? 8 y



A. 2 2?

B.?

C. (1 ? 2 )?

D. (1 ?



A. y ? 3 x 5.椭圆

B. y ? ? 3x

C. y ?

3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 中点在 y 轴上,那么|PF1| 12 3 是|PF2|的 ( ) A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 6.以原点为圆心,且截直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所得弦长为 8 的圆的方程是 ( )

A. x ? y ? 5
2 2

B. x ? y ? 25
2 2

C. x ? y ? 4
2 2

D. x ? y ? 16
2 2

7.曲线 ?

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)上的点到原点的最大距离为 ? y ? sin ?
B. 2
2 2

( D. 3 ( D. 3



A. 1

C.2

8.如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) ? y ? 3 ,则 A.

1 2
2

B.

3 3

y 最大值 x 3 C. 2



y2 9.过双曲线 x - =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则这样的直线 2
l有 A.1 条
2

( B.2 条 C.3 条 D.4 条
y A



10.如图,过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于点 C, BC ? 2 BF , AF ? 3 , 若 且 则此抛物线的方程为 A. y 2 ? ( )

3 x 2

B. y 2 ? 3x
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O

F B

x

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C. y 2 ?

9 x 2

D. y 2 ? 9 x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0) 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中 ,P 项,则椭圆的方程为_____________________________. 12. 若直线 m x ? ny ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点, m, n 满足的关系式为 则 以( m, n) 为点 P 的坐标,过点 P 的一条直线与椭圆 x ? y ? 1 的公共点有 7 3 13.设点 P 是双曲线 x 2 ?
2 2

. 个.

y2 ? 1 上一点,焦点 F(2,0) ,点 A(3,2) ,使|PA|+ 1 |PF|有最小 3 2

值时,则点 P 的坐标是________________________________. 14.AB 是抛物线 y=x2 的一条弦,若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1,则弦 AB 的长度的最大值 为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分)
2 2 15.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1) 求△ F1 PF2 的面积;

(2) 求 P 点的坐标. (12 分)

16.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点, M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程. (12 分)

17.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点 A(0, 2 ) 为圆心,1 为半径的圆相切,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y ? x 对称. (1)求双曲线 C 的方程;
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(2)设直线 y ? m x ? 1 与双曲线 C 的左支交于 A,B 两点,另一直线 l 经过 M(-2,0) 及 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围. (12 分)

18.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一定点 P( x0 , y0 ) y 0 ? 0 ) ( ,作两条直线分别交 抛物线于 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y2 ) . (1)求该抛物线上纵坐标为

p 的点到其焦点 F 的距离; 2

(2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1 ? y 2 的值,并证明直线 AB 的斜率 y0 y 是非零常数.(12 分)
P O x

A B

19.如图,给出定点 A( a , 0) ( a >0)和直线: x = –1 . B 是直线 l 上的动点,?BOA 的角平分线 交 AB 于点 C. 求点 C 的轨迹方程,并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的关系.(14 分)
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l

y

B

C A

O

x

20.椭圆 C1:

x2 y2 x2 y2 ? 2 =1(a>b>0)的左右顶点分别为 A、B.点 P 双曲线 C2: 2 ? 2 =1 在 a b a2 b

第一象限内的图象上一点, 直线 AP、 与椭圆 C1 分别交于 C、 点.若△ACD 与△PCD BP D 的面积相等. (1)求 P 点的坐标; (2)能否使直线 CD 过椭圆 C1 的右焦点,若能,求出此时双曲线 C2 的离心率,若不能, 请说明理由.(14 分)

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参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.

x2 y2 ? ?1 36 27

12. 0 ?

m2 ? n 2 ? 3, 2

13. (

21 , 2) 3

14.

5 2

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分) [解析]:∵a=5,b=3? c=4
2 1 2 2

(1)设 |
2

t ? t ? 2t1t 2 ? cos60? ? 8
? S ?F1PF2 ?

PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10 ②,由①2-②得 t1t 2 ? 12



1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2 (2) P ( x, y ) , S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 4 | y |? 3 3 ? y |? 3 3 ? y ? ? 3 3 , y ? ? 3 3 设 由 将 | 1 2 4 2 4 4

代入椭圆方程解得 x ? ? 5 13 ,? P( 5 13 , 3 3 ) 或 P( 5 13 ,? 3 3 ) 或 P(? 5 13 , 3 3 ) 或 P(? 5
4
4 4
4 4

4

4

13 3 3 ,? ) 4 4

16. (12 分)[解析]:设 M( x, y ) ,P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y 2 ) ,易求 ∵M 是 FQ 的中点,∴ x ?
1 ? x2 2 y2 y? 2

y 2 ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)
x2 ? x1 2 y y2 ? 1 2

?

x2 ? 2x ?1 y2 ? 2 y

,又 Q 是 OP 的中点∴

? x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 ,
y1 ? 2 y 2 ? 4 y

∵P 在抛物线 17. (12 分)

y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2
1 4
a
2

[解析]: (1)当 a ? 1时,y 2 ? x, 表示焦点为 ( ,0) 的抛物线; (2)当 0 ? a ? 1 时, ( x ? 1 ? a )
a 2 ( ) 1? a

?

y2 a2 1? a 2

?1



表示焦点在 x 轴上的椭圆; (3)当 a>1 时,

(x ?

a 2 ) 2 ,表示焦点在 x 轴上的双曲线. (1 设 1? a ? y ?1 2 a 2 a ( ) 1? a a2 ? 1

双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,则 kx-y=0∵该直线与圆 x 2 ? ( y ? 2 ) 2 ? 1 相切,∴双曲线 C 的两条
2 2 渐近线方程为 y=±x.故设双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 . 2 2

a a 又双曲线 C 的一个焦点为 ( 2 ,0) ,∴ 2a ? 2 , a 2 ? 1 .∴双曲线 C 的方程为: x 2 ? y 2 ? 1 .
2

(2)由 ? y ? mx ? 1 得 (1 ? m2 ) x 2 ? 2mx ? 2 ? 0 .令 f ( x) ? (1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 2
? 2 2 ?x ? y ? 1

∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程 f(x)=0 在 (??,0) 上有两个不等实根. 因此 ? 2m ?
?? ? 0 ? 0且 ?0 ? 1 ? m2 ?1 ? m 2 ?2

,解得 1 ?

m ? 2 .又 AB 中点为 ( m 2 ,
1? m

1 ), 1 ? m2

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18. (12 分)[解析]: (I)当

1 2 2 . ( x ? 2) . 令 x=0,得 b ? ? 2 ? 2m 2 ? m ? 2 ? 2m ? m ? 2 ? 2(m ? 1 ) 2 ? 17 4 8 1 2 17 ∵ m ? (1, 2 ) ,∴ ? 2(m ? ) ? ? (?2 ? 2 ,1) ,∴ b ? (??,?2 ? 2 ) ? (2,??) . 4 8 y p p
∴直线 l 的方程为: y ?

8 p 2 又抛物线 y ? 2 px 的准线方程为 x ? ? 2
由抛物线定义得,所求距离为 p ? ( ? p ) ? 5 p

y?

2

时, x

?

P O x

8

2

8

A B
2p ( x1 ? x0 ) y1 ? y0

(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB 由

y1 ? 2 px1 , y0 ? 2 px0
2 2

相减得 ( y1

? y0 )( y1 ? y0 ) ? 2 p( x1 ? x0 ) ,故 k PA ? y1 ? y0 ?
x1 ? x0

2p ( x2 ? x0 ) ,由 PA,PB 倾斜角互补知 k PA ? ? k PB y2 ? y0 2p 2 p ,所以 y ? y ? ?2 y , 故 y1 ? y2 即 ?? ? ?2 1 2 0 y1 ? y0 y2 ? y0 y0
同理可得 k PB ? 设直线 AB 的斜率为 k AB ,由 y2 ? 2 px2 , y1
2

所以 k

AB

? 2 px1 ,相减得 ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 2 p( x2 ? x1 ) y2 ? y1 2p ? ? ( x1 ? x2 ) , 将 y1 ? y2 ? ?2 y0 ( y0 ? 0) 代入得 x2 ? x1 y1 ? y2
2

k AB ?

2p p ? ? ,所以 k AB 是非零常数. y1 ? y2 y0

19. (14 分)[解析]:设 B(-1,b) l OA :y=0, l OB :y=-bx,设 C(x,y) , ,则有 0 ? x <a,由 OC 平分?BOA, 知点 C 到 OA, 距离相等, y ? OB ? 得,得 y (1 ? a) x ? 2ax ? (1 ? a) y
2 2

y ? bx
2

?

?? 0

1? b

2

①及 C 在直线 AB: y ? ? b ?x ? a? ②上, 由①②及 x ? a 1? a 若 y=0,则 b=0 满足 (1 ? a) x ? 2ax ? (1 ? a) y ? 0 .
2 2

20. (14 分)[解析]: (1)设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0),又有点 A(-a,0),B(a,0). ? S ?ACD ? S ?PCD ,
2 x0 ? a y 0 ( x ? a) 2 y 0 , , ). 将C点坐标代入椭圆方程 得 0 ? 2 ?4, 2 2 2 a b 2 2 ( x 0 ? a) x x2 y2 ? 0 ? 5 , ? x0 ? 2a( x0 ? ?a舍去),? y 0 ? 3b ,? P(2a, 3b) . 又 0 ? 0 ?1 ? 2 2 2 a a2 a b

? C为AP的中点,? C (

(2)? K PD ? K PB ?

3b 2 2 x2 y2 y0 3b 直线PD : y? ( x ? a ) 代入 ? 2 ? 1 ? 2 x ? 3ax ? a ? 0 ? , 2 a x0 ? a a a b

a ( x D ? a舍去) ,? C( x0 ? a , y0 ),即C( a , 3 b) ∴CD 垂直于 x 轴.若 CD 过椭圆 C1 的右焦点, 2 2 2 2 2 2 2 则 a ? a 2 ? b 2 ,? b ? 3 a,? e ? a ? b ? 7 . 故可使 CD 过椭圆 C1 的右焦点, 此时 C2 的离心率为 7 . 2 2 a 2 2 ? xD ?

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