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集合及其表示方法


儒洋教育学科教师辅导讲义
学员姓名: 辅导科目: 课 授课时间: 题 高魁 数学 年 级: 学科教师: 新高一 许攀 课时数:2A

集合及其表示方法 备课时间: 1、 通过具体的例子了解集合的含义,知道常用数集及其记法 2、 初步了解属于关系和集合相等的意义;初步了解有限集、无限集、空集的意义 3、 初步掌握集合的两种表示方法----列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的 集合 集合的概念及其表示;正确理解集合的概念;集合表示法的恰当选择

教学目标

重点、难点 考点及考试要求

教学内容

一、集合的概念
1.请看下列一组语句: (1)在非洲大草原上,一群大象正缓步走来; (2)蓝色的天空中有一群鸟在欢快地飞翔; (3)高一(4)班教室里一群学生在上数学课; 以上描述中“一群大象”,“一群鸟”,“一群学生”这些概念有什么共同特征? 2、推进新课 (1)集合、元素 举例: ① 一条直线可以看作由(无数个点)组成的集合 ② 一个平面可以看作由(无数条直线)组成的集合 ③ “young 中的字母”构成一个集合,其元素是 y ,o, u, n, g ④ “book 中的字母” 构成一个集合,其元素是 b,o,k

集合的定义:一般地,我们把研究对象统称为元素(elment),把一些元素组成的
总体叫做集合(set)(简称为集)。
(1)集合:某些指定的对象集在一起就形成一个集合。 (2)元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素。

例1、 判断下列对象能否构成一个集合 (1) 参加北京奥运会的男运动员 (2) 某校比较聪明的学生 (3) 本课中的简单题 (4) 小于 5 的自然数 (5) 方程 x ? x ?
2

1 ? 0 的实根 2

常用数集及记法
(1)非负整数集(自然数集):全体非负整数的集合。记作 N (2)正整数集:非负整数集内排除 0 的集。记作 N 或 N+ (3)整数集:全体整数的集合。记作 Z (4)有理数集:全体有理数的集合。记作 Q (5)实数集:全体实数的集合。记作 R 注: (1)自然数集与非负整数集是相同的,也就是说,自然数集包括数 0。 (2)非负整数集内排除 0 的集。记作 N 或 N+ 、Q、Z、R 等其它数集内排除 0 的集,也是这样表 * 示,例如,整数集内排除 0 的集,表示成 Z
* *

二、元素与集合的关系是:“属于”、“不属于”

符号: 与 ?的应用 ?
(1)属于:如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于 A,记作 a∈A;

(2)不属于:如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 A,记作



三、集合的特性
①确定性: 按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里,或者不在,不能模棱两可。 ②互异性: 集合中的元素没有重复。

③无序性: 集合中的元素没有一定的顺序(通常用正常的顺序写出) 注: 1、集合通常用大写的拉丁字母表示,如 A、B、C、P、Q?? 元素通常用小写的拉丁字母表示,如 a、b、c、p、q?? 2、“∈”的开口方向,不能把 a∈A 颠倒过来写。 方法:怎样判断一组对象能否构成集合?

四、集合的表示方法
1、列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法。

例如,由方程

的所有解组成的集合,可以表示为{-1,1}.

注:(1)有些集合亦可如下表示: 从 51 到 100 的所有整数组成的集合:{51,52,53,?,100} 所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,?} (2)a 与{a}不同:a 表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素。 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合,并把这个条件写在大括号内表示集合的 方法。 格式:{x∈A| P(x)} 含义:在集合 A 中满足条件 P(x)的 x 的集合。

例如,不等式

的解集可以表示为:



所有直角三角形的集合可以表示为: 注:(1)在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分。 如:{直角三角形};{大于 10 的实数}
4

(2)错误表示法:{实数集};{全体实数} 3、文氏图(Venn 图示法):用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法,如:“book

b,o,k
中的字母” 构成一个集合

注:何时用列举法?何时用描述法? (1) 有些集合的公共属性不明显,难以概括,不便用描述法表示,只能用列举法。

如:集合 (2) 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来,或者不便于、不需要一一列举出来,常用描 述法。

如:集合

;集合{1000 以内的质数}

注:集合 答:不是。

与集合

是同一个集合吗?

集合

是点集,集合

=

是数集。

五、集合的分类:有限集与无限集
1、 有限集:含有有限个元素的集合。 2、 无限集:含有无限个元素的集合。

3、 空集:不含任何元素的集合。记作Φ ,如:

3、例题 例 1.⑴求不等式 2x-3>5 的解集 ⑵求方程组

?

x ? y ?1 x ? y ?0

解集

⑶求方程 x ? x ? 1 ? 0 的所有实数解的集合
2

⑷写出 x ? 1 ? 0 的解集
2

例 2.已知集合 A={ a ? 2, a ? a ? 2 },若 4 ? A ,求 a 的值
2

例 3. 已知 M={2,a,b}N={2a,2, b }且 M=N,求 a,b 的值

2

例 4.已知集合 A={x| ax ? 2 x ? 1 ? 0, a ? R },若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并求出这个
2

元素。 变题:若 A 中至多只有一个元素,求 a 的值

5、用描述法表示下列集合 ①{1,4,7,10,13} ②{-2,-4,-6,-8,-10} 6、用列举法表示下列集合 ①{x∈N|x 是 15 的约数} ②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}









巩固练习
1. 已知-3 ? A,且 A={ m ? 1,?3m, m ? 1 }( m ? N ),求 m 的值。
2

*

2. 设 a, b ? R ,若集合{ 1, a ? b, a }={ 0,

b , b },求 b ? a 的值 a

3. 设集合 P={1,2,3,4},Q={ x | x ? 2, x ? R },求由 P 与 Q 的公共元素组成的集 合

练习:
1、给出下列说法: (1)较小的自然数组成一个集合; (2)集合{1,-2, 3 ,π }与集合{π ,-2, 3 ,1}是同一个集合; (3)若 a ?R,则 a ? Q; (4)已知集合{ x , y , z }与集合{1,2,3}是同一个集合,则 x =1, y =2, z =3 其中正确说法个数是( )

2、下面 6 个式子,正确的是___________ ①{ a , b } ? { a , b } ④ 0? {0} ②{ a , b }={ b , a } ⑤φ ? {0} ③φ ? {0} ⑥φ ={0}

3、下列各式中错误的是( A、{奇数}= {x | x ? 2k ? 1, k ? Z }

) B、 {x | x ? N *,| x |? 5} ? {1, 2,3, 4} D、 ?3?3 ? N

?x ? y ? 1 } ? {(2, ?1),(?1, 2)} C、 {( x, y ) | ? ? xy ? ?2

4、(1)满足条件 {1} ? A ? {1,2,3,4} 的集合 A 有______________个; (2) 满足条件 {1}

A {1,2,3,4} 的集合 A 有______________个。

5、(1)用列举法表示不超过 10 的非负偶数的集合,并用另一种方法表示出来;

(2)设集合 A={(x,y)|x+y=6,x∈N,y∈N},试用列举法表示集合 A;

6、

?a, b, c ?的子集个个数,真子集的个数分别是多少?

7、已知集合 A ={ a +2,( a +1)2, a 2+3 a +3},且 1 ? A ,求实数 a 的值。

2 3 3 8、由实数 x,? x, x , x 及 ? x 组成的集合,最多含有多少个元素

9. 已知集合 A= { -1, 2 m -1 } , 3, 集合 B= { 3,m 2 } . B ? A, 若 则实数 m =



10、下列四个集合中,表示空集的是 [ A.{0} ]

B.{(x,y)|y2=-x2,x∈R,y∈R}
C.{x||x| =5,x∈Z,x ? N}

D.{x|2x2+3x-2=0,x∈N} 11、设 a,b 都是非零实数, y ?
a b ab ? ? 可能取值组成的集合是多少? a b ab

课后习题:
1、求不等式 2x ? 3 ? 5 的解集。

2、已知集合 A ? {x | a ? x ? 5} , B ? {x | x ≥ 2} ,且满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围。

3、用描述法表示下列集合。 (1) {1, 4,7,10,13} (2) {?2, ?4, ?6, ?8, ?10}

4、写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出哪些是它的真子集。

5、求方程 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的所有实数解的集合。

6、已知 M ? {2, a, b}, N ? {2a, 2, b2 } ,且 M ? N ,求 a, b 的值。

7、已知集合 P ? x x 2 ? 6 x ? 6 ? 0 , S ? ?x ax ? 1 ? 0? ,若 S ? P ,求实数 a 的取值集合。

?

?

8、设集合 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? a ? 0} ,若 A ? B ,求实数 a 的取值范围。 ?

9、用列举法表示下列集合。 (1) {x | x 是 15 的正约数}

(2) {( x, y) | x ?{1, 2}, y ?{1, 2}}

(3) {( x, y) | x ? y ? 2, x ? 2 y ? 4}

(4) {x | x ? (?1)n , n ? N }

(5) {( x, y) | 3x ? 2 y ? 16, x ? N , y ? N}

10、将集合{ x │-3 ? x ? 3, x ∈N},用列举法表示出来的是( A、{-3,-2,-1,0,1,2,3} C、{0,1,2,3} B、{-2,-1,0,1,2} D、{1,2,3}



11、下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的是( A、{ x │ x 是小于 18 的正奇数} C、{ x │ x =4 t -3, t ? N 且 t ? 5}



B、{ x │ x =4 k +1, k ? z 且 k <5} D、{ x │ x =4 s -3, s ? N+且 s <6}

12、化简集合 A ? {x | x ? 3 ? 2}, B ? {x | x ? 5} ,并表示 A, B 的关系。

13、(1)已知集合{-2,0} ? { m -1,-2, m 2+ m },则实数 m =______;

(2)求方程 x 2 ? x ? m ? 0 有解的 m 的集合 A ;

(3)求方程 x 2 ? x ? m ? 0 无解的 m 的集合 B 。

14、若集合 M ? {x | x 2 ? x ? 6 ? 0} , N ? {x | ax ? 2 ? 0, a ? R} ,且 N ? M ,求 a 的 取值集合。

15、设 a,b, c 都是非零实数, y ?

a b c abc ? ? ? 可能取值组成的集合是多少? a b c abc


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