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【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)必修二同步课件章末总结3第三章直线与方程_图文

成才之路 ·数学
人教A版 ·必修2

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第三章
直线与方程

第三章 章末总结

1

知识结构

2

专题突破

知识结构

专题突破

? 专题一 直线的倾斜角与斜率

? 直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的 两个概念,它们从“形”与“数”两个方面 刻画了直线的倾斜程度. ? (1)倾斜角的范围是[0°,180°). ? (2)倾斜角与斜率的对应关系 ? ①α≠90°时,k=tanα; ? ②α=90°时,斜率不存在.

(3)倾斜角与斜率的单调性问题 当直线 l 的倾斜角 α 从 0° 增大到 90° 时,直线 l 的斜率从 0 增大到+∞;当直线 l 的倾斜角 α 从 90° 增大到 180° 时,直线 l 的斜率从-∞增大到 0. (4)斜率公式:经过 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)两点的直线 y2-y1 的斜率公式 k= (x1≠x2), 应用时注意其适用的条件 x1≠x2, x2-x1 当 x1=x2 时,直线的斜率不存在.

已知直线 l 过点 P(1,1)且与以 A(-1,0)、B(3,- 4)为端点的线段相交,求直线 l 的斜率的取值范围.

? [分析] 利用数形结合思想,观察直线的变化 情况,根据斜率公式及范围求解,要特别注 意当直线与x轴垂直时的情形.

[解析] 如图所示,直线 PA 的斜率

1-0 1 kPA= =2, 1-?-1?

1-?-4? 5 直线 PB 的斜率 kPB= =-2. 1-3 当直线 l 绕着点 P 由 PA 旋转到与 y 轴平行的位置 PC 时, 1 它的斜率变化范围是[2,+∞), 当直线 l 绕着点 P 由 PC 旋转到 PB 的位置时, 它的斜率的 5 变化范围是(-∞,-2]. 5 1 ∴直线 l 的斜率的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

?

规律总结:借助数形结合思想既可以定 性地分析倾斜角与斜率的关系,也可以定量 地求解倾斜角与斜率的取值范围,此外在特 殊位置处应利用分类讨论的思想方法.

专题二 直线方程的五种形式的应用问题 已知△ABC 中,A(1,3),AB、AC 边上中线方程 为 x-2y+1=0 和 y-1=0,求△ABC 各边所在的直线方程.

? [分析] 本题利用中线的特点(即AB的中点D 在AB边的中线上)可解出各顶点的坐标,然后 利用两点式可求出各边的方程.

[解析] 设 AB、AC 边的中线分别为 CD、BE,其中 D、E 为中点, ∵点 B 在中线 y-1=0 上, ∴设点 B 的坐标为(xB,1). ∵点 D 为 AB 的中点,又点 A 的坐标为(1,3), xB+1 ∴点 D 的坐标为( 2 ,2). ∵点 D 在中线 CD:x-2y+1=0 上, xB+1 ∴ 2 -2×2+1=0,∴xB=5.

∴点 B 的坐标为(5,1). ∵点 C 在直线 x-2y+1=0 上, ∴设点 C 的坐标为(2t-1,t). t +3 ∴AC 的中点 E 的坐标为(t, 2 ). ∵点 E 在中线 BE:y=1 上, t+3 ∴ 2 =1,∴t=-1. ∴点 C 的坐标为(-3,-1), ∴△ABC 各边所在直线的方程为 AB:x+2y-7=0;BC: x-4y-1=0,AC:x-y+2=0.

? 专题三 两条直线的位置关系 ? (1)已知直线的斜截式方程:l1:y=k1x+b1, l2:y=k2x+b2,则l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2; ? l1⊥l2?k1k2=-1; ? l1与l2相交?k1≠k2.

? ? ? ? ? ? ?

(2)已知直线的一般式方程: l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0, 则:l1∥l2?A1B2=A2B1且A1C2≠A2C1; l1⊥l2?A1A2+B1B2=0; l1与l2相交?A1B2≠A2B1. (3)与直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程 可设为Ax+By+C1=0;与其垂直的直线方程 可设为Bx-Ay+C2=0.

已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x +y+b=0,分别求满足下列条件的 a,b 的值. (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l2 平行,并且坐标原点到 l1,l2 的距离相 等.

? [分析] 对于(1),由题意列出关于a,b的方 程组求解;对于(2),先得出关于a,b的关系, 再由原点到l1,l2的距离相等求解.

? [解析] (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)+(-b)=0, ? 即a2-a-b=0. ① ? 又点(-3,-1)在l1上,∴-3a+b+4=0. ② ? 由①②解得a=2,b=2.

(2)∵l1∥l2 且 l2 的斜率为 1-a, a a ∴l1 的斜率也存在,b=1-a,b= , 1-a 故 l1 与 l2 的方程分别为 4?a-1? a l1:(a-1)x+y+ a =0,l2:(a-1)x+y+ =0. 1-a ∵坐标原点到 l1,l2 的距离相等, a-1 2 a ∴4| a |=| |,a=2 或 a=3. 1-a
? ?a=2, 因此? ? ?b=-2,

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

专题四

点、直线间的距离

(1) 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 间 的 距 离 公 式 |P1P2| = ?x1-x2?2+?y1-y2?2. (2) 点 P(x0 , y0) 到直线 l : Ax + By + C = 0 的距离为 d = |Ax0+By0+C| . 2 2 A +B (3) 两平行直线 l1 : Ax + By + C1 = 0 , l2 : Ax + By + C2 = |C1-C2| 0(C1≠C2)之间的距离为 d= 2 2. A +B

? (4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可,不 必用公式. ? 求点到直线的距离时,要注意把直线方程化 成一般式的形式;求两条平行线间的距离时, 先把平行线方程中x,y的对应项系数转化为 相等的形式,再利用距离公式求解,也可转 化成点到直线的距离求解.

已知三条直线 l1:2x-y+a=0(a>0),直线 l2: 7 -4x+2y+1=0 和直线 l3: x+y-1=0, 且 l1 与 l2 的距离是10 5. (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使得 P 点同时满足下列三个条件: ①P 是第一象限的点; 1 ②P 点到 l1 的距离是 P 点到 l2 的距离的2; ③P 点到 l1 的距离与 P 点到 l3 的距离之比是 2∶ 5.若能, 求出 P 点坐标;若不能,说明理由.

1 [解析] (1)l2 即 2x-y-2=0, 1 |a-?-2?| 7 5 ∴l1 与 l2 的距离 d= 2 2= 10 , 2 +?-1? 1 |a+2| 7 5 1 7 ∴ = 10 ,∴|a+2|=2, 5 ∵a>0,∴a=3.

(2)设点 P(x0,y0),若 P 点满足条件②, 则 P 点在与 l1,l2 平行的直线 l′:2x-y+C=0 上, 1 |C-3| 1 |C+2| 13 11 且 =2· ,即 C= 2 或 C= 6 , 5 5 13 11 ∴2x0-y0+ 2 =0,或 2x0-y0+ 6 =0; 若 P 点满足条件③,由点到直线的距离公式, |2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| 有 = · , 5 5 2 即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, ∴x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0;

由于 P 在第一象限,∴3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ 2 =0 和 x0-2y0+4=0, x =-3 ? ? 0 解得? ,应舍去. 1 y0=2 ? ? 1 ? 11 ? ?x0=9 ?2x0-y0+ =0 6 由? ,解得? 37 ? ? ?x0-2y0+4=0 y= ? 0 18

.

1 37 ∴P(9,18)即为同时满足三个条件的点.

? 专题五 对称问题 ? (1)在对称问题中,点关于直线的对称是最基 本的也是最重要的对称,解决此类问题要抓 住两点:一是以已知点与对称点为端点的线 段的中点在对称轴上;二是已知点与对称点 的连线与对称轴垂直. ? 几种特殊对称: ? ①关于原点对称:P(x,y)→P′(-x,-y); ? ②关于x轴对称:P(x,y)→P′(x,-y); ? ③关于y轴对称:P(x,y)→P′(-x,y); ? ④关于直线y=x对称:P(x,y)→P′(y,x);

? (2)与对称有关的最值问题. ? 在直线l上找一点P到两定点A,B的距离之和 最小,则点P必在线段AB上,所以要将l同侧 的点利用对称转化为异侧的点. ? 在直线l上找一点P到两点A,B的距离之差最 大,则点P必定在线段AB(或BA)的延长线上, 所以要将l异侧的点利用的对称转化为同侧的 点. ? 可以简单记“异侧和最小,同侧差最大”.

已知点 A(3,1),在直线 x-y=0 和 y=0 上分别 有 M 和 N 使△AMN 的周长最短,求点 M,N 的坐标.

? [分析] 分别作出点A关于直线x-y=0和y=0 的对称点,利用两点之间直线最短来确定 △AMN的周长最短.

? [解析] 如图所示,点A关于直线x-y=0的对 称点为A1(1,3),点A关于直线y=0的对称点为 A2(3,-1),

? ∵|AM|=|A1M|,|AN|=|A2N|, ? ∴|AM|+|MN|+|AN|=|A M|+|MN|+

∴连接 A1A2,与直线 x-y=0 和 y=0 的交点则分别为 M, N 点. ∵直线 A1A2 的方程为 2x+y-5=0, 5 5 5 ∴分别与直线 x-y=0 和 y=0 联立得, 交点 M(3, N(2, 3), 0). 5 5 5 故△AMN 的周长最短时,点 M(3,3),N(2,0).

专题六

直线系方程

(1)平行直线系:y=kx+b(k 为常数,b 为常数),表示一组 斜率为 k 的平行直线. (2)共点直线系:y-y0=k(x-x0)(定点(x0,y0),k 为常数), 表示一束过定点(x0,y0)的直线(不包括直线 x=x0). (3)过直线 l1,l2 交点的直线系:设 l1:A1x+B1y+C1=0, l2:A2x+B2y+C2=0,则 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R)表示一束过 l1,l2 交点的直线(不包括 l2).

求通过两条直线 x+3y-10=0 和 3x-y=0 的交 点,且距原点距离为 1 的直线方程.
[解析] 方法 交点为 A(1,3). (1)当所求直线的斜率不存在时,直线方程为 x=1,符合题 意.
? ?x+3y-10=0, 1: 由方程组? ? ?3x-y=0,

解得两直线的

(2)当所求直线的斜率存在时, 设所求直线方程为 y-3=k(x -1),即 kx-y+3-k=0. |k×0-0+3-k| ∵原点到直线的距离为 1,即 =1,|3-k| 2 k +1 4 = k +1,两边平方,解之,得 k=3.
2

4 4 ∴直线方程为3x-y+3-3=0,即 4x-3y+5=0. 综上可知,所求直线方程为 x=1 或 4x-3y+5=0.

方法 2:设所求直线方程为 x+3y-10+λ(3x-y)=0, 即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0, ∵原点到直线的距离为 1, |?1+3λ?×0+?3-λ?×0-10| 即 = 1 ,去分母,两边平方, 2 2 ?1+3λ? +?3-λ? 经整理,得 λ2=9,∴λ=± 3. 代入方程①得所求直线方程为 x=1 或 4x-3y+5=0. ①

专题七

分类讨论的思想

在解题过程中,遇到某一步被研究的对象包含多种可能的 情形时,把被研究的对象划分成几个能用不同形式去解决的小 问题,从而使问题得到解决,这就是分类讨论的思想. 利用分类讨论的思想解答问题已成为高考中考查学生知识 和能力的热点问题之一,这是因为:其一,分类讨论的问题都 覆盖较多的知识点,有利于对学生知识面的考查;其二,解分 类讨论问题需要有一定的分析能力及分类讨论思想与技巧,因 此有利于对能力的考查;其三,分类讨论问题常与实际问题相 结合.

已知直线 l 经过点 P(3,1),且被两平行直线 l1:x +y+1=0 和 l2:x+y+6=0 截得的线段的长为 5,求直线 l 的 方程.

[ 错解 ]

设直线 l 的方程为 y = k(x - 3) + 1 ,解方程组

? ?x=3k-2, ? k+1 ? ?y=k?x-3?+1, ? 得? ? 4k-1 ?x+y+1=0 ? y=- . ? k+1 ? 3k-2 4k-1 ∴直线 l 与 l1 交于 A( ,- ). k+1 k+1

? ?x=3k-7, ? k+1 ? ?y=k?x-3?+1, 解方程组? 得? ? 9k-1 ?x+y+6=0 ? y=- . ? k + 1 ? 3k-7 9k-1 ∴直线 l 与 l2 交于 B( ,- ). k+1 k+1 由题意,得|AB|=5, 3k-2 3k-7 2 4k-1 9k-1 2 ∴( - ) +(- + ) =52,解得 k=0.∴ k+1 k+1 k+1 k+1 所求直线 l 的方程为 y=1.

? [剖析] 直线的点斜式方程是以直线斜率存在 为前提的,当直线斜率不存在时,不能建立 和使用直线的点斜式方程.在错解中,设直 线l的方程为y=k(x-3)+1,已经默认了直线l 的斜率存在,从而漏去了直线l斜率不存在的 情况,而本题中过P点且斜率不存在的直线恰 好符合题意,所以错解丢掉了一个解.

过点 P 作两条与已知平行直线的相 交直线, 被两平行直线截得的线段长度 d 恰好是两平行直线之间的距离 d( 如右 图).当直线绕点 P 转过一个角度 φ(φ 为 d 锐角),直线被两平行直线截得的线段长度增大到cosφ,由右图 可知 φ 与直线和平行直线中任一条所成的角 θ 互为余角,所以 d 截线段的长度也可表示为sinθ.

? [正解] 正解1:若直线l的斜率存在,由前面 解法,知所求直线l的方程为y=1. ? 若直线l的斜率不存在,则直线方程为x=3, 此时与l1和l2的交点分别为A(3,-4)和B(3, -9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5, 符合题意. ? 综上所述,直线l的方程为y=1或x=3.

|1-6| 5 2 正解 2:由题意,直线 l1, l2 之间的距离为 d= = 2 , 2 且直线 l1∥l2,又直线 l 被直线 l1,l2 所截得的线段 AB 长为 5, 5 2 2 2 如右图,设直线 l 与直线 l1 的夹角为 θ,则 sinθ= 5 = 2 ,∴ θ=45° .∵直线 l1:x+y+1=0 的倾斜角为 135° , ∴直线 l 的倾斜角为 0° 或 90° . 又直线 l 过点 P(3,1), ∴直线 l 的方程为 y=1 或 x=3.

? [点评] 由上面分析可知,求过一定点,且被 两已知平行直线截得线段长为定长a的直线, 当a小于两平行直线之间的距离d时无解;当a =d时有唯一解;当a>d时有且只有两个 解.此题按以上思路分析,先求出夹角θ后再 求直线l的斜率或倾斜角,从方法上看较为简 便,即解法2较为简便.

? 专题八 数形结合的思想方法

? 数学结合的思想是一种重要的思想方法,数 形结合的应用大致分为两类:第一类“以数 解形”——就是有些图形太过于复杂或过于简 单,直接观察不易求解,这时需要给图形赋 值;第二类“以形助数”——借助图形的直观 性阐明数之间的关系.

求函数 y= x2-2x+2+ x2-6x+13的最小值.

? [分析] 本题考查数形结合的思想方法,不难 发现,经过配方,可以把函数的右边看成是 一个动点到两个定点的距离之和,再利用对 称知识求出函数的最小值. 2 2
[解析] y= x -2x+2+ x -6x+13 = ?x-1?2+?0-1?2+ ?x-3?2+?0-2?2, ∴y 表示 x 轴上的点 P(x,0)到 A(1,1),B(3,2)两点的距离之 和.

如图,点 B 关于 x 轴的对称点 B′(3,-2),∴|BP|=|BP|.

又∵两点之间线段最短, ∴y 的最小值为|AB′|= ?3-1?2+?-2-1?2= 13.

? [点评] 本题若直接求解,会比较繁琐,因此 把问题转化为两点的距离问题,体现了从 “数”到“形”的转化.