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河南省许昌高中、襄城高中、长葛一高、禹州三高四校联考2014-2015学年高一上学期期末数学试卷(理科)


2014-2015 学年河南省许昌高中、 襄城高中、长葛一高、禹州三 高四校联考高一(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知全集 U=R,A={x|x<0},B={x|x>1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 2.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α )

3.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x +x +1, 则 f(1)+g(1)=( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 4.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB, CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )

3

2

A.30° B.45° C.60° D.90°

[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

5.若直线 ax+(1﹣a)y=3 与(a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,则 a 等于( A.3 B.1 C.0 或 D.1 或﹣3



6.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是(



A.90cm

2

B.129cm

2

C.132cm

2

D.138cm

2

7.若幂函数 A.1 或 2 B.1 或﹣2 C.1 D.2

的图象不经过原点,则实数 m 的值为(



8.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 9.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 4, 体积为 A. B.16π C.9π D. , 则该球的表面积为 (
2 2





11.已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常 数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是( )

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解

12. 函数 f (x) =

, 若f (0) 是f (x) 的最小值, 则 a 的取值范围为 (



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2]

D.[0,2]

二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 .

14.过圆锥高的中点作平行于底面的截面,该截面把圆锥侧面分成的上下两部分的面积之比 为 . 15.函数 y =loga(2﹣ax)在[0,1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 16.若曲线 y=1+ 是 . .

与直线 y=k(x﹣4)+3 有且只有一个公共点,则实数 k 的取值范围

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知三条直线 l1:2x﹣y+1=0,l2:x+y﹣4=0,l3:x+ay+2=0 不能围成三角形,求实数 a 的值. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 中点. (I)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 45°,AP=2,AD=2 ,求三棱 E﹣ACD 的体积.

19.已知 f(x)是定义在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上的奇函数,当 x>1 时,f(x)= (1)当 x<﹣1 时,求 f(x)的解析式; (2)求函数 的定义域;

(3)证明 f(x)在(1,+∞)上为减函数. 20.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小.

21.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0. (1)直线 l 过点(﹣2,0)且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM| 的最小值. 22.已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= .
2

2

2

(Ⅰ)求 a,b 的值; x x (Ⅱ)不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立, 求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.

2014-2015 学年河南省许昌高中、 襄城高中、长葛一高、 禹州三高四校联考高一(上)期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知全集 U=R,A={x|x<0},B={x|x>1},则集合?U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】转化思想;定义法;集合. 【分析】根据集合的并集与补集的定义,求出结果即可. 【解答】解:全集 U=R,A={x|x<0},B={x|x>1}, ∴A∪B={x|x<0 或 x>1}, ∴?U(A∪B)={x|0≤x≤1}. 故答案为:C. 【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,是基础题目. 2.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n⊥α 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间位置关系与距离. 【分析】A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断; B.运用线面垂直的性质,即可判断; C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断; D.运用线面平行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 【解答】解:A.若 m∥α,n∥α,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,故 B 正确; C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,故 C 错; D.若 m∥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α 或 n⊥α,故 D 错. 故选 B. 【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质, 记熟这些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. 3.已知 f(x) ,g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)﹣g(x)=x +x +1, 则 f(1)+g(1)=( ) A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3 【考点】函数解析式的求解及常用方法;函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】将原代数式中的 x 替换成﹣x,再结合着 f(x)和 g(x)的奇偶性可得 f(x)+g(x) , 再令 x=1 即可.
3 2

【解答】解:由 f(x)﹣g(x)=x +x +1,将所有 x 替换成﹣x,得 3 2 f(﹣x)﹣g(﹣x)=﹣x +x +1, 根据 f(x)=f(﹣x) ,g(﹣x)=﹣g(x) ,得 3 2 f(x)+g(x)=﹣x +x +1,再令 x=1,计算得, f(1)+g(1)=1. 故选:C. 【点评】本题属于容易题,是对函数奇偶性的考查,在高考中,函数奇偶性的考查一般相对 比较基础,学生在掌握好基础知识的前提下,做题应该没有什么障碍.本题中也可以将原代 数式中的 x 直接令其等于﹣1 也可以得到计算结果. 4.如图,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G 分别是 DD1,AB, CC1 的中点,则异面直线 A1E 与 GF 所成角为( )

3

2

A.30° B.4 5° C.60° D.90° 【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】计算题. 【分析】连接 B1G,EG,先利用长方形的特点,证明四边形 A1B1GE 为平行四边形,从而 A1E∥B1G,所以∠B1GF 即为异面直线 A1E 与 GF 所成的角,再在三角形 B1GF 中,分别计算 三边的长度,利用勾股定理即可得此角的大小 【解答】解:如图:连接 B1G,EG ∵E,G 分别是 DD1,CC1 的中点, ∴A1B1∥EG,A1B1=EG,∴四边形 A1B1GE 为平行四边形 ∴A1E∥B1G,∴∠B1GF 即为异面直线 A1E 与 GF 所成的角 在三角形 B1GF 中,B1G= FG= B1F=
2 2 2

=

=

= =

= =

∵B1G +FG =B1F ∴∠B1GF=90° ∴异面直线 A1E 与 GF 所成角为 90° 故选 D

【点评】本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法,长方体的性质及其中的数 量关系的应用,将空间问题转化为平面问题的思想方法 5.若直线 ax+(1﹣a)y=3 与(a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直,则 a 等于( A.3 B.1 C.0 或 D.1 或﹣3 )

【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系. 【专题】直线与圆. 【分析】对 a 分类讨论,利用两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系即可得出. 【解答】解:当 a=1 时,两条直线分别化为:x=3,5y=2,此时两条直线互相垂直; 当 a=﹣ 时,两条直线分别化为:3x﹣5y+6=0,5x=﹣4,此时两条直线不互相垂直. 当 a≠﹣ ,1 时,两条直线分别化为: ﹣ , + .

∵直线 ax+(1﹣a)y=3 与(a﹣1)x+(2a+3)y=2 互相垂直, ∴ =﹣1,

解得 a=﹣3 或 1(舍去) , 综上可得:a=﹣3 或 1. 故选:D. 【点评】本题考查了两条直线相互垂直的直线与斜率之间的关系、分类讨论的思想方法,属 于基础题. 6.某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )

A.90cm B.129cm C.132cm 【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】立体几何.

2

2

2

D.138cm

2

【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面 的形状及相关几何量的数据,判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计 算. 【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体, 其中直三棱柱的侧棱长为 3,底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形, 四棱柱的高为 6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为 3 和 4, ∴几何体的表面积 S=2×4×6+3×6+3×3+2×3×4+2× ×3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138 (cm ) . 故选:D. 【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对 应的几何量是解题的关键.
2

7.若幂函数

的图象不经过原点,则实数 m 的值为(



A.1 或 2 B.1 或﹣2 C.1 D.2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据幂函数的定义求出 m 的值代入验算即可. 【解答】解:函数 f(x)是幂函数, 则 m ﹣3m+3=1,解得:m=1 或 m=2, 2 m=1 时:m +m﹣2=0, 0 此时 f(x)=x ,不过原点, 2 m=2 时:m +m﹣2=4, 4 此时 f(x)=x ,过原点, 故选:C. 【点评】本题考查了幂函数的定义,是一道基础题. 8.把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当以 A、B、C、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时, 直线 BD 和平面 ABC 所成的角的大小为( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】欲使得三棱锥体积最大,因为三棱锥底面积一定,只须三棱锥的高最大即可,即当 平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大,计算可得答案. 【解答】解:如图,当平面 BAC⊥平面 DAC 时,三棱锥体积最大 取 AC 的中点 E,则 BE⊥平面 DAC, 故直线 BD 和平面 ABC 所成的角为∠DBE cos∠DBE= ∴∠DBE=45°. 故选 C. ,
2

【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系,考查空间想象能力、运算能力 和推理论证能力,属于基础题. 9.已知点 M(a,b)在圆 O:x +y =1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】直线与圆. 【分析】由 M 在圆外,得到|OM|大于半径,列出不等式,再利用点到直线的距离公式表示出 圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d, 根据列出的不等式判断 d 与 r 的大小即可确定出直线与圆的 位置关系. 【解答】解:∵M(a,b)在圆 x +y =1 外, 2 2 ∴a +b >1, ∴圆 O(0,0)到直线 ax+by=1 的距离 d= <1=r,
2 2 2 2

则直线与圆的位置关 系是相交. 故选 B 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,以及点与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标 准方程,点到直线的距离公式,以及两点间的距离公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

10. 正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 4, 体积为 A. B.16π C.9π D.

, 则该球的表面积为 (



【考点】球的体积和表面积. 【专题】综合题;方程思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】正四棱锥 P﹣ABCD 的外接球的球心在它的高 PE 上,求出球的半径,求出球的表面 积. 【解答】解:如图,正四棱锥 P﹣ABCD 中,PE 为正四棱锥的高,根据球的相关知识可知, 正四棱锥的外接球的球心 O 必在正四棱锥的高线 PE 所在的直线上, 延长 PE 交球面于一点 F,连接 AE,AF, 棱锥的体积为 ,棱锥的高为 4,则底面边长为 2,

由球的性质可知△ PAF 为直角三角形且 A E⊥PF,根据平面几何中的射影定理可得 PA =PF?PE,因为 AE= 所以侧棱长 PA= =3
2

=



[来源:学科网]

,PF=2R,

所以 18=2R×4,所以 R= , 所以 S=4πR = 故选:A.
2



【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题. 11.已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y 的方程组 的解的情况是( )

A.无论 k,P1,P2 如何,总是无解 B.无论 k,P1,P2 如何,总有唯一解 C.存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D.存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 【考点】一次函数的性质与图象. 【专题】函数的性质及应用;直线与圆. 【分析】判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出 a1,b1,P2,a2,b2 的关系,然后求解 方程组的解即可. 【解答】解:P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,直线 y=kx+1 的斜率存在, ∴k= a1 , ①×b2﹣②×b1 得: (a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1, 即(a1﹣a2)x=b2﹣b1. ∴方程组有唯一解. ,即 a1≠a2,并且 b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣

故选:B. 【点评】本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解额指数的应用.

12. 函数 f (x) =

, 若f (0) 是f (x) 的最小值, 则 a 的取值范围为 (



A.[﹣1,2] B.[﹣1,0] C.[1,2] D.[0,2] 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】综合题;函数的性质及应用. 2 【分析】由分段函数可得当 x=0 时,f(0)=a ,由于 f(0)是 f(x)的最小值,则(﹣∞, 0]为减区间,即有 a≥0,则有 a ≤x+ +a,x>0 恒成立,运用基本不等式,即可得到右边的最 小值 2+a,解不等式 a ≤2+a,即可得到 a 的取值范围.
2 2

【解答】解:由于 f(x)=
2



则当 x=0 时,f(0)=a , 由于 f(0)是 f(x)的最小值, 则(﹣∞,0]为减区间,即有 a≥0, 则有 a ≤x+ +a,x>0 恒成立, 由 x+ ≥2
2 2

=2,当且仅当 x=1 取最小值 2,

则 a ≤2+a,解得﹣1≤a≤2. 综上,a 的取值范围为[0,2]. 故选:D. 【点评】本题考查分段函数的应用,考查函数的单调性及运用,同时考查基本不等式的应用, 是一道中档题 二、填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)= 的定义域为 (0, )∪(2,+∞) .

【考点】对数函数的定义域. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零,分母不为 0,对数的真数大于零,列出不等 式组,进行求解再用集合或区间的形式表示出来. 【解答】解:要使函数有意义,则



∴log2x>1 或 log2x<﹣1 解得:x>2 或 x 所以不等式的解集为:0<x 或 x>2

则函数的定义域是(0, )∪(2,+∞) . 故答案为: (0, )∪(2,+∞) . 【点评】本题考查了函数定义域的求法,即根据 函数解析式列出使它有意义的不等式组,最 后注意要用集合或区间的形式表示出来,这是易错的地方. 14.过圆锥高的中点作平行于底面的截面,该截面把圆锥侧面分成的上下两部分的面积之比 为 1:3 . 【考点】旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;空间位置关系与距离;立体几何.
[来源:学科网]

【分析】设原圆锥侧面展开扇形的半径为 R,圆心角的度数 为 n°,可得 AP= AC= R,根据 扇形的面积公式求得大小圆锥的侧面面积后比较,即可得到圆锥的侧面积与所得圆台的侧面 积之比 【解答】解:如图所示,设原圆锥侧面展开扇形的半径为 R,圆心角的度数为 n°.

∴小扇形的半径 AP= AC= R, 设小扇形的面积为 S1,大扇形的面积为 S2, 于是 S1= S2= , = ? ,

∴S1= S2. 圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积之比为 1:3. 故答案为;1:3. 【点评】本题是基础题,考查圆锥的侧面积与所得圆台的侧面积的求法,考查空间想象能力, 计算能力. 15.函数 y=loga(2﹣ax)在[0,1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是 (1,2) . 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【专题】计算题. t 【分析】先将函数 f(x)=loga(2﹣ax)转化为 y=loga ,t=2﹣ax,两个基本函数,再利用复 合函数求解.

【解答】解:令 y=loga ,t=2﹣ax, t (1)若 0<a<1,则函 y=loga ,是减函数, 而 t 为增函数,需 a<0 此时无解. t (2)若 a>1,则函 y=loga ,是增函数,则 t 为减函数,需 a>0 且 2﹣a×1>0 此时,1<a<2, 综上:实数 a 的取值范围是(1,2) 故答案为: (1,2) . 【点评】本题主要考查复合函数,关键是分解为两个基本函数,利用同增异减的结论研究其 单调性,再求参数的范围.本题容易忽视 a<0 的情况导致出错. 16.若曲线 y=1+ 是 k=0 或 . 与直线 y=k(x﹣4)+3 有且只有一个公共点,则实数 k 的取值范围

t

【考点】圆的切线方程. 【专题】综合题;转化思想;综合法;直线与圆. 【分析】曲线表示一个半圆,直线经过定点 A(4,3) .由圆心到直线的距离等于半径求得 k 的值,求出当直线经过点(﹣2,1) , (2,1)时,实数 k 的取值,即可求得实数 k 的取值范 围. 【解答】解:曲线 y=1+ ,即 x +(y﹣1) =4,表示以 C(0,1)为圆心、半径 r=2
2 2

的半圆(圆位于直线 y=1 的上方(含直线 y=1) ) . y=k(x﹣4)+3,经过定点 A(4,3) . 由圆心到直线的距离等于半径可得 =2,求得 k=0 或 (舍去) ,

当直线经过点(﹣2,1)时,直线的斜率为 当直线经过点(2,1)时,直线的斜率为 ∴曲线 y=1+ 或 . .

= , =1

与直线 y=k(x﹣4)+3 有且只有一个公共点,实数 k 的取值范围是 k=0

故答案为:k=0 或

【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,体现了数形结合、 转化的数学思想,属于基础题. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.已知三条直线 l1:2x﹣y+1=0,l2:x+y﹣4=0,l3:x+ay+2=0 不能围成三角形,求实数 a 的值. 【考点】两条直线的交点坐标;直线的一般式方程与直线的平行关系.

【专题】计算题;数形结合;直线与圆. 【分析】根据题意,分析可得如果三条直线不能围城三角形,有 2 种情况,①、直线 l3 与 l1 或 l2 平行或重合,分别讨论直线 l3 与 l1 平行以及直线 l3 与 l2 平行,利用直线平行判定方法, 可得 a 的值, ②、 当直线 l3 过直线 l1 与 l2 的交点, 联立 l1 与 l2 的方程可得两直线交点的坐标, 将交点坐标代入直线 l3 的方程,可得 a 的值;综合两种情况即可得答案. 【解答】解:根据题意,如果 l1:2x﹣y+1=0,l2:x+y﹣4=0 ,l3:x+ay+2=0 三条直线不能围 城三角形,有 2 种情况, ①、直线 l3 与 l1 或 l2 平行或重合, 当直线 l3 与 l1 平行时,有 2a=(﹣1)×1,解可得 a=﹣ , 当直线 l3 与 l2 平行时,有 a=1, ②、当直线 l3 过直线 l1 与 l2 的交点, 联立 l1 与 l2 的方程可得: ,解可得 ,

即 l1 与 l2 的交点为(1,3) , 若直线 l3 过(1,3) ,即有 1+3a+2=0,解可得 a=﹣1, 综合可得,当 a=﹣ 、1 或﹣1 时,三条直线不能围城三角形. 【点评】本题考查直线之间的位置关系,关键是正确分析三条直线不能围成三角形的情况. 18.如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 中点. (I)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 45°,AP=2,AD=2 ,求三棱 E﹣ACD 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】综合题;转化思想;综合法;空间位置关系与距离. 【分析】 (I)连接 BD,交 AC 于 F,运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理,即可 得证; (Ⅱ)由题意,三棱锥 E﹣ACD 的体积=三棱锥 P﹣ACD 的体积的一半. 【解答】 (I)证明:连接 BD,交 AC 于 F, 由 E 为棱 PD 的中点,F 为 BD 的中点, 则 EF∥PB, 又 EF?平面 EAC,PB?平面 EAC, 则 PB∥平面 EAC; (Ⅱ)解:由题意,三棱锥 E﹣ACD 的体积=三棱锥 P﹣ACD 的体积的一半. ∵PA⊥平面 ABCD,直线 PB 与平面 PAD 所成的角为 45°,AP=2,

∴AB=2, ∵AD=2 ,底面 ABCD 为矩形, ∴三棱锥 E﹣ACD 的体积= = .

【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系,主要考查三棱锥 E﹣ACD 的体积,注意定理 的条件的全面性是解题的关键. 19.已知 f(x)是定义在(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)上的奇函数,当 x>1 时,f(x)= (1)当 x<﹣1 时,求 f(x)的解析式; (2)求函数 的定义域;

(3)证明 f(x)在(1,+∞)上为减函数. 【考点】函数单调性的性质;函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】整体思想;作差法;定义法;函数的性质及应用. 【分析】 (1) 根据函数的奇偶性和函数在 x>1 的解析式, 得到 (2)根据 f(x)的定义域,列出不等式得到函数 f( )的定义域; (3)直接根据单调性的定义运用作差比较法证明函数的单调性. 【解答】 (1)设 x<﹣1,则﹣x>1, ∵f(x)为定义域上的奇函数, ∴ , ; ;

即 x<﹣1 时,函数的解析式为 f(x)=﹣

(2)∵f(x)的定义域为(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) ∴ <﹣1,或 >1, 解得﹣1<x<0,或 0<x<1, ∴函数 的定义域为: (﹣1,0)∪(0,1) ;

(3)任取 x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2,



, ∵x1,x2∈(1,+∞)且 x1<x2, ∴ >0,即 f(x1)>f(x2)
[来源:学科网 ZXXK]

∴f(x)在(1,+∞)上为减函数. 【点评】本题主要考查了函数解析式和定义域的解法,以及根据单调性的定义运用作差比较 法证明函数的单调性,属于中档题.

20.如图,直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】综合题. 【分析】 (1)证明 DC1⊥BC,只需证明 DC1⊥面 BCD,即证明 DC1⊥DC,DC1⊥BD; (2)证明 BC⊥面 ACC1A1,可得 BC⊥AC 取 A1B1 的中点 O,过点 O 作 OH⊥BD 于点 H, 连接 C1O,C1H,可得点 H 与点 D 重合且∠C1DO 是二面角 A1﹣BD﹣C1 的平面角,由此可求 二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小. 【解答】 (1)证明:在 Rt△ DAC 中,AD=AC,∴∠ADC=45° 同理:∠A1DC1=45°,∴∠CDC1=90° ∴DC1⊥DC,DC1⊥BD ∵DC∩BD=D ∴DC1⊥面 BCD ∵BC?面 BCD ∴DC1⊥BC (2)解:∵DC1⊥BC,CC1⊥BC,DC1∩CC1=C1,∴BC⊥面 ACC1A1, ∵AC?面 ACC1A1,∴BC⊥AC 取 A1B1 的中点 O,过点 O 作 OH⊥BD 于点 H,连接 C1O,OH

∵A1C1=B1C1,∴C1O⊥A1B1, ∵面 A1B1C1⊥面 A1BD,面 A1B1C1∩面 A1BD=A1B1, ∴C1O⊥面 A1BD 而 BD?面 A1BD ∴BD⊥C1O, ∵OH⊥BD,C1O∩OH=O, ∴BD⊥面 C1OH∴C1H⊥BD,∴点 H 与点 D 重合且∠C1DO 是二面角 A1﹣BD﹣ C1 的平面角 设 AC=a,则 ∴sin∠C1DO= ∴∠C1DO=30° 即二面角 A1﹣BD﹣C1 的大小为 30° , ,

【点评】本题考查线面垂直,考查面面角,解题的关键是掌握线面垂直的判定,正确作出面 面角,属于中档题. 21.已知圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0. (1)直线 l 过点(﹣2,0)且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2)从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求|PM| 的最小值. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;分类讨论;综合法;直线与圆. 2 2 【分析】 (1)⊙C:x +y +2x﹣4y+3=0,化为标准方程,求出圆心 C,半径 r.分类讨论,利 用 C 到 l 的距离为 1,即可求直线 l 的方程; (2)设 P(x,y) .由切线的性质可得:CM⊥PM,利用|PM|=|PO|,可得 3x+4y﹣12=0,求|PM| 的最小值,即求|PO|的最小值,即求原点 O 到直线 2x﹣4y+3=0 的距离 2 2 2 2 【解答】解: (1)x +y +2x﹣4y+3=0 可化为(x+1) +(y﹣2) =2 当 l 的斜率不存在时,其方程为 x=﹣2,与圆 C 的交点为 A(﹣2,1) ,B(﹣2,3) |AB|=2,符合题意 …(2 分) 当 l 的斜率存在时,设其方程为 y=k(x+2)即 kx﹣y+2k=0 则 C 到 l 的距离
2 2

解得

,∴l 的方程为 3x﹣4y+6=0

综上,直线 l 的方程为 x=﹣2 或 3x﹣4y+6=0…(6 分) 2 2 2 (2) 如图: PM 为圆 C 的切线, 则 CM⊥PM, ∴△PMC 为直角三角形, ∴|PM| =|PC| ﹣|MC| . 设 P(x,y) ,C(﹣1,2) ,|MC|=

∵|PM|=|PO|, ∴x +y =(x+1) +(y﹣2) ﹣2. 化简得点 P 的轨迹方程为 2x﹣4y+3=0. 求|PM|的最小值,即求|PO|的最小值,即求原点 O 到直线 2x﹣4y+3=0 的距离,代入点到直线 的距离公式可求得|PM|最小值为 …(12 分)
2 2 2 2

【点评】本题考查直线方程,考查直线与圆的位置关系,考查了圆的切线的性质、勾股定理、 两点之间的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 22.已知函数 g(x)=ax ﹣2ax+1+b(a≠0,b<1) ,在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,设 f(x)= .
2

(Ⅰ)求 a,b 的值; x x (Ⅱ)不等式 f(2 )﹣k?2 ≥0 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数 k 的范围; (Ⅲ)方程 有三个不同的实数解,求实数 k 的范围.

【考点】函数与方程的综合运用;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】综合题;压轴题. 【分析】 (Ⅰ)只需要利用好所给的在区间[2,3]上有最大值 4,最小值 1,即可列出方程求的 两个未知数; 2 (Ⅱ)要结合(Ⅰ)的结论将问题具体化,在通过游离参数化为求函数 ?(t)=t ﹣2t+1 最小 值问题即可获得问题的解答; (Ⅲ)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答. 2 【解答】解: (Ⅰ) (1)g(x)=a(x﹣1) +1+b﹣a 当 a>0 时,g(x)在[2,3]上为增函数
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

故 当 a<0 时,g(x)在[2,3]上为减函数 故 ∵b<1

∴a=1,b=0 (Ⅱ)由(Ⅰ)即 g(x)=x ﹣2x+1. 方程 f(2 )﹣k?2 ≥0 化为 , 令 ,k≤t ﹣2t+1 记 ?(t)=t ﹣2t+1
2 2 x x 2



∵x∈[﹣1,1]∴ ∴φ(t)min=0 ∴k≤0 (Ⅲ)方程

化为 |2 ﹣1| ﹣(2+3k)|2 ﹣1|+(1+2k)=0,|2 ﹣1|≠0 x 2 令|2 ﹣1|=t,则方程化为 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0) ∵方程
x x 2 x x

有三个不同的实数解,

∴由 t=|2 ﹣1|的图象知, 2 t ﹣(2+3k)t+(1+2k)=0 有两个根 t1、t2, 且 0<t1<1<t2 或 0<t1<1,t2=1 2 记 ?(t)=t ﹣(2+3k)t+(1+2k)





∴k>0.

【点评】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题.在解答的过 程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想.值得 同学们体会反思.


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