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浙江省杭州市萧山区瓜沥片2016届九年级数学下学期期初试题(含解析)

浙江省杭州市萧山区瓜沥片 2016 届九年级数学下学期期初试题
一.仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算正确的是( ) 4 2 6 2 A. (a ) =a B.a+2a=3a 7 2 5 2 3 2 C.a ÷a =a D.a(a +a+1)=a +a 2.若 A. ,则 B. =( C. ) D.

3.若代数式

中,x 的取值范围是 x≥3 且 x≠5,则 m 为(



A.m>4 B.m<4 C.m=5 D.m<5 4.下列说法: ①要了解一批灯泡的使用寿命,应采用普查的方式; ②若一个游戏的中奖率是 1%,则做 100 次这样的游戏一定会中奖; ③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同,若方差 据稳定; ④“掷一枚硬币,正面朝上”是必然事件. 正确说法的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 5.下列关于分式的判断,正确的是( ) =0.1, =0.2,则甲组数据比乙组数

A.当 x=2 时,

的值为零

B.当 x≠3 时,

有意义

C.无论 x 为何值,

不可能得整数值

D.无论 x 为何值,

的值总为正数 )

6.直线 y= x 和直线 y=﹣x+3 所夹锐角为 α ,则 sinα 的值为(

A. B. C. D. 7.如图,AB 是半圆 O 的直径,AC 为弦,OD⊥AC 于 D,过点 O 作 OE∥AC 交半圆 O 于点 E,过点 E 作 EF⊥AB 于 F,若 AC=4,则 OF 的长为( )

1

A.1 B. C.2 D.4 8.如图,已知直角坐标系中四点 A(﹣2,4) 、B(﹣2,0) 、C(2,﹣3) 、D(2,0) .若点 P 在 x 轴上,且 PA、PB、AB 所围成的三角形与 PC、PD、CD 所围成的三角形相似,则所有符合上述条件的 点 P 的个数是( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.如图,边长 12 的正方形 ABCD 中,有一个小正方形 EFGH,其中 E、F、G 分别在 AB、BC、FD 上.若 BF=3,则小正方形的边长为何?( )

A. B. C.5 D.6 10.下列命题中,正确的命题个数有( ) ①平分一条弦的直径一定垂直于弦; ②相等的两个圆心角所对的两条弧相等; ③两个相似梯形的面积比是 1:9,则它们的周长比是 1:3; ④在⊙O 中,弦 AB 把圆周分成 1:5 两部分,则弦 AB 所对的圆周角是 30°; ⑤△ABC 中,b=3,c=5,那么 sinB= ; ⑥△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,若 AD=1,BD=1,CD= A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ,则∠BAC 的度数为 105°.

2

二.认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.已知四边形 ABCD 内接于⊙O,且∠A:∠C=1:2,则∠BOD=

度.

12.关于 x 的不等式(2a﹣b)x+a﹣2b>0 的解为 x ,则不等式 ax>b 的解为 . 13.某次数学趣味竞赛共有 10 道题目,每道题答对得 10 分,答错或不答得 0 分,全班 40 名同学参 加了此次竞赛,他们的得分情况如下表所示 成绩(分) 50 60 70 80 90 100 人数 2 5 13 10 7 3 则全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是 . 2 2 2 14.将关于 x 的一元二次方程 x +px+q=0 变形为 x =﹣px﹣q,就可将 x 表示为关于 x 的一次多项式, 2 从而达到“降次”的目的,我们称这样的方法为“降次法”,已知 x ﹣x﹣1=0,可用“降次法”求 4 得 x ﹣3x+2014 的值是 . 15.如图所示,在⊙O 内有折线 OABC,其中 OA=4,AB=6,∠A=∠B=60°,则 BC 的长为 .

16.已知抛物线 y=﹣x ﹣2mx+4m+6,当实数 m 的值为 它的顶点所组成的三角形面积最小,其最小值是 三.全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分)

2

时,抛物线与 x 轴的两个交点和 .

17.已知 x 是一元二次方程 x +3x﹣1=0 的实数根,求代数式:

2

的值.

18.在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字﹣1,﹣2,﹣3,﹣4 的小球,它们的形状、大 小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为 x;放回盒子摇匀后,再由 小华随机取出一个小球,记下数字为 y. (1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果; (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数 y=x﹣1 的图象上的概率; (3)求小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y>x﹣1 的概率. 19.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡 AB 的坡角∠BAD=60°,坡长 AB=20 m,为加强水坝强度,

降坝底从 A 处后水平延伸到 F 处,使新的背水坡角∠F=45°,求 AF 的长度(结果精确到 1 米,参考 数据: 1.414, 1.732) .

20.在△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=120°,将△ABC 绕点 B 旋转角 α (0°<α <90°)得△A1BC1,

3

A1B 交 AC 于点 E,A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点. (1)在旋转过程中,线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系?证明你的结论; (2)当 α =30°时,试判断四边形 BC1DA 的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求线段 ED 的长.

21. 如图 1, 小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开, 得到矩形和三角形两张纸片, 测得 AB=5, AD=4. 在 进行如下操作时遇到了下列几个问题,请你帮助解决. (1)如图 2,将△EFG 的顶点 G 移到矩形的顶点 B 处,再将三角形绕点 B 顺时针旋转使 E 点落在 CD 边上,此时 EF 恰好经过点 A. ①请证明:△ADE∽△FGE;②求出 FG 的长度; (2)如图 3,在(1)的条件下,小明先将△EFG 的边 EG 和矩形的边 AB 重合,然后将△EFG 沿直线 BC 向右平移,至 F 点与 B 重合时停止.在平移过程中,设 G 点平移的距离为 x,两纸片重叠部分面 积为 y,求在平移的整个过程中,y 与 x 的函数关系式.

22.如图,△ABC 中,AB=AC=4 ,cosC= (1)动手操作:利用尺规作以 AC 为直径的⊙O,并标出⊙O 与 AB 的交点 D,与 BC 的交点 E(保留 作图痕迹,不写作法) ; (2)综合应用:在你所作的图中, 2 ①连接 AE,CD,线段 AE,CD 交于点 F,求证:EC =EF?AE; ②求点 D 到 AC 的距离.

23.如图,点 P 是直线:y=2x﹣2 上的一点,过点 P 作直线 m,使直线 m 与抛物线 y=x 有两个交点,

2

4

设这两个交点为 A、B: (1)如果直线 m 的解析式为 y=x+2,直接写出 A、B 的坐标; (2)如果已知 P 点的坐标为(2,2) ,点 A、B 满足 PA=AB,试求直线 m 的解析式; (3)设直线与 y 轴的交点为 C,如果已知∠AOB=90°且∠BPC=∠OCP,求点 P 的坐标.

5

浙江省杭州市萧山区瓜沥片 2016 届九年级下学期期初数学试卷 参考答案与试题解析 一.仔细选一选(本题有 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.下列计算正确的是( ) 4 2 6 2 A. (a ) =a B.a+2a=3a 7 2 5 2 3 2 C.a ÷a =a D.a(a +a+1)=a +a 【考点】同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;单项式乘多项式. 【分析】根据幂的乘方,可判断 A,根据合并同类项,可判断 B,根据同底数幂的除法,可判断 C, 根据单项式乘多项式,可判断 D. 【解答】解:A、幂的乘方底数不变指数相乘,故 A 错误; B、合并同类项系数相加字母部分不变,故 B 错误; C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 C 正确; D、单项式乘多项式用单项式乘多项式的每一项,并把所得的乘积相加,故 D 错误; 故选:C. 【点评】本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.

2.若

,则

=(



A. B. C. D. 【考点】比例的性质. 【分析】用 b 表示出 a,然后代入比例式进行计算即可得解. 【解答】解:∵ = , ∴a= b,



=

= .

故选 A. 【点评】本题考查了比例的性质,用 b 表示出 a 是解题的关键.

3.若代数式

中,x 的取值范围是 x≥3 且 x≠5,则 m 为(



A.m>4 B.m<4 C.m=5 D.m<5 【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】本题主要考查了代数式中字母的取值范围,代数式中主要有二次根式和分式两部分. 【解答】解:根据二次根式的意义,被开方数 x﹣3≥0,解得 x≥3. 根据分式有意义的条件,x﹣m≠0,解得 x≠m,用排除法可知 m=5. 故选 C. 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

6

(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为 0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负数. 4.下列说法: ①要了解一批灯泡的使用寿命,应采用普查的方式; ②若一个游戏的中奖率是 1%,则做 100 次这样的游戏一定会中奖; ③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同,若方差 =0.1, =0.2,则甲组数据比乙组数

据稳定; ④“掷一枚硬币,正面朝上”是必然事件. 正确说法的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④ 【考点】全面调查与抽样调查;方差;随机事件;概率的意义. 【分析】了解一批灯泡的使用寿命,应采用抽样调查的方式,普查破坏性较强,不合适;根据概率 的意义可得②错误;根据方差的意义可得③正确;根据必然事件可得④错误. 【解答】解:①要了解一批灯泡的使用寿命,应采用抽样调查的方式,故①错误; ②若一个游戏的中奖率是 1%,则做 100 次这样的游戏不一定会中奖,故②错误; ③甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同,若方差 =0.1, =0.2,则甲组数据比乙组数

据稳定,故③正确; ④“掷一枚硬币,正面朝上”是必然事件,说法错误,是随机事件,故④错误. 故选:C. 【点评】此题主要考查了抽样调查、随机事件、方差、概率,关键是掌握方差是反映一组数据的波 动大小的一个量.方差越大,则平均值的离散程度越大,稳定性也越小;反之,则它与其平均值的 离散程度越小,稳定性越好. 5.下列关于分式的判断,正确的是( )

A.当 x=2 时,

的值为零

B.当 x≠3 时,

有意义

C.无论 x 为何值,

不可能得整数值

D.无论 x 为何值,

的值总为正数

【考点】分式的值为零的条件;分式的定义;分式有意义的条件. 【分析】根据分式值为 0 的条件,以及分式有意义的条件即可求解.

【解答】解:A、当 x=2 时,

无意义,故 A 错误;

7

B、当 x≠0 时,

有意义,故 B 错误;

C、当 x=2 时,

得整数值,故 C 错误;

D、分母 x +1 大于 0,分子大于 0,故无论 x 为何值, 故选:D.

2

的值总为正数,故 D 正确.

【点评】分式的定义:一般地,如果 A,B 表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 叫做分式, 当 B=0 时,分式无意义.

6.直线 y= x 和直线 y=﹣x+3 所夹锐角为 α ,则 sinα 的值为(



A. B. C. D. 【考点】两条直线相交或平行问题;解直角三角形. 2 2 2 【分析】根据两直线相交得出三条边的长度,再根据 a =b +c ﹣2bc?cosα 计算得出 cosα ,进而求 出 sinα 即可.

【解答】解:如图: 因为直线 y= x 和直线 y=﹣x+3, 可得交点 A 的坐标为: (2,1) , 可得点 B 的坐标为: (0,3) , 所以可得:OA= ,AB=
2 2 2

,OB=3,

根据△ABC 中三边和角的关系:BC =AB +OA ﹣2OA?ABcosα , 可得:9=5+8﹣2× ×2 cosα ,

解得:cosα = 则 sinα =

, = .

8

故选:A. 【点评】此题考查的知识点是两条直线相交问题,关键是先求出交点,再根据三角形边角关系计算. 7.如图,AB 是半圆 O 的直径,AC 为弦,OD⊥AC 于 D,过点 O 作 OE∥AC 交半圆 O 于点 E,过点 E 作 EF⊥AB 于 F,若 AC=4,则 OF 的长为( )

A.1 B. C.2 D.4 【考点】全等三角形的判定与性质;垂径定理. 【分析】根据垂径定理求出 AD,证△ADO≌△OFE,推出 OF=AD,即可求出答案. 【解答】解:∵OD⊥AC,AC=4, ∴AD=CD=2, ∵OD⊥AC,EF⊥AB, ∴∠ADO=∠OFE=90°, ∵OE∥AC, ∴∠DOE=∠ADO=90°, ∴∠DAO+∠DOA=90°,∠DOA+∠EF=90°, ∴∠DAO=∠EOF,

在△ADO 和△OFE 中, ∴△ADO≌△OFE(AAS) , ∴OF=AD=2, 故选 C. 【点评】 本题考查了全等三角形的性质和判定, 垂径定理的应用, 解此题的关键是求出△ADO≌△OFE 和求出 AD 的长,注意:垂直于弦的直径平分这条弦. 8.如图,已知直角坐标系中四点 A(﹣2,4) 、B(﹣2,0) 、C(2,﹣3) 、D(2,0) .若点 P 在 x 轴上,且 PA、PB、AB 所围成的三角形与 PC、PD、CD 所围成的三角形相似,则所有符合上述条件的 点 P 的个数是( )

9

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】相似三角形的判定;坐标与图形性质. 【分析】此题需要分情况分析,当点 P 在 AB 左边,在 AB 与 CD 之间,在 CD 的右边,通过相似三角 形的性质:相似三角形的对应边成比例即可求得. 【解答】解:设 OP=x(x>0) ,分三种情况: 一、若点 P 在 AB 的左边,如图 1,有两种可能: ①此时△ABP∽△PDC,则 PB:CD=AB:PD, 则(x﹣2) :3=4: (x+2) 解得 x=4, ∴点 P 的坐标为(﹣4,0) ; ②若△ABP∽△CDP,则 AB:CD=PB:PD, 则(x﹣2) : (x+2)=4:3 解得:x=﹣14 不存在. 二、若点 P 在 AB 与 CD 之间,如图 2,有两种可能: ①若△ABP∽△CDP,则 AB:CD=BP:PD, ∴4:3=(x+2) : (2﹣x) 解得:x= , ∴点 P 的坐标为( ,0) ; ②若△ABP∽△PDC,则 AB:PD=BP:CD, ∴4: (2﹣x)=(x+2) :3, 方程无解; 三、若点 P 在 CD 的右边,如图 3,有两种可能: ①若△ABP∽△CDP,则 AB:CD=BP:PD, ∴4:3=(2+x) : (x﹣2) , ∴x=14, ∴点 P 的坐标为(14,0) , ②若△ABP∽△PDC,则 AB:PD=BP:CD, ∴4: (x﹣2)=(x+2) :3,

10

∴x=4, ∴点 P 的坐标为(4,0) ; ∴点 P 的坐标为( ,0) 、 (14,0) 、 (4,0) 、 (﹣4,0) . 故选:D.

【点评】此题考查相似三角形的性质.解题的关键是数形结合思想的应用.注意分类讨论,小心别 漏解. 9.如图,边长 12 的正方形 ABCD 中,有一个小正方形 EFGH,其中 E、F、G 分别在 AB、BC、FD 上.若 BF=3,则小正方形的边长为何?( )

A.

B.

C.5

D.6

11

【考点】相似三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质. 【专题】探究型. 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD,再根据勾股定理求出 DF 的长,再由相似 三角形的对应边成比例即可得出结论. 【解答】解:在△BEF 与△CFD 中 ∵∠1+∠2=∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3 ∵∠B=∠C=90°, ∴△BEF∽△CFD, ∵BF=3,BC=12, ∴CF=BC﹣BF=12﹣3=9, 又∵DF= ∴ = ,即 = = , =15,

∴EF= 故选 B.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及勾股定理,根据题意得出△BEF∽△CFD 是解答此 题的关键. 10.下列命题中,正确的命题个数有( ) ①平分一条弦的直径一定垂直于弦; ②相等的两个圆心角所对的两条弧相等; ③两个相似梯形的面积比是 1:9,则它们的周长比是 1:3; ④在⊙O 中,弦 AB 把圆周分成 1:5 两部分,则弦 AB 所对的圆周角是 30°; ⑤△ABC 中,b=3,c=5,那么 sinB= ; ⑥△ABC 中,AD 为 BC 边上的高,若 AD=1,BD=1,CD= ,则∠BAC 的度数为 105°.

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】命题与定理. 【分析】根据垂径定理的推论对①进行判断;根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断;根据相似 多边形的性质对③进行判断;利用弦对两条弧可对④进行判断;根据正弦的定义对⑤进行判断;利 用分类讨论的思想可对⑥进行判断. 【解答】解:平分一条弦(非直径)的直径一定垂直于弦,所以①错误;

12

在同圆或等圆中,相等的两个圆心角所对的两条弧相等; 两个相似梯形的面积比是 1:9,则它们的周长比是 1:3,所以③正确; 在⊙O 中,弦 AB 把圆周分成 1:5 两部分,则弦 AB 所对的圆周角是 30°或 150°,所以④错误; 在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,b=3,c=5,那么 sinB= ,所以⑤错误; △ABC 中,AD 为 BC 边上的高,若 AD=1,BD=1,CD= ,则∠BAC 的度数为 15°或 105°,所以⑥错

误. 故选 A. 【点评】本题考查了命题与定理:判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两 部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一个命题可以写成“如果?那么?” 形式.有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理. 二.认真填一填(本题有 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.已知四边形 ABCD 内接于⊙O,且∠A:∠C=1:2,则∠BOD= 120 度. 【考点】圆内接四边形的性质;圆周角定理. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】根据圆内接四边形的性质,可得∠A+∠C=180°,联立∠A、∠C 的比例关系式,可求得∠A 的度数,进而可根据圆周角和圆心角的关系求出∠BOD 的度数. 【解答】解:∵四边形 ABCD 内接于⊙O, ∴∠A+∠C=180°; 又∠A:∠C=1:2,得∠A=60°. ∴∠BOD=2∠A=120°. 故答案为:120. 【点评】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理的应用能力.

12.关于 x 的不等式(2a﹣b)x+a﹣2b>0 的解为 x 【考点】不等式的解集.

,则不等式 ax>b 的解为 x<



【分析】先求出不等式的解集,根据不等式的解集为 x ,建立关于 a、b 的关系式,求出 a、b 的比,再据此解答不等式 ax>b 的解集. 【解答】解:由关于 x 的不等式(2a﹣b)x+a﹣2b>0 解得

x<

或 x>



因为 x , 所以 2a﹣b<0,即 2a<b,

所以

=



20a﹣10b=14b﹣7a, ∴27a=24b,即 9a=8b,

13

∵2a<b, 即 2a< a, ∴a<0, 因为 ax>b,且 a<0, 解得:x< . 故答案是:x< . 【点评】本题是一个方程与不等式的综合题目,要充分利用题目中的隐含条件﹣﹣﹣不等号的方向 发生了改变,确定 a、b 同号,再解关于 x 的不等式. 13.某次数学趣味竞赛共有 10 道题目,每道题答对得 10 分,答错或不答得 0 分,全班 40 名同学参 加了此次竞赛,他们的得分情况如下表所示 成绩(分) 50 60 70 80 90 100 人数 2 5 13 10 7 3 则全班 40 名同学的成绩的中位数和众数分别是 75,70 . 【考点】众数;中位数. 【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可. 【解答】解:把这些数据从小到大排列,最中间的两个数是地 20、21 个数的平均数, ∴全班 40 名同学的成绩的中位数是: =75; 70 出现了 13 次,出现的次数最多,则众数是 70; 故答案为:75,70. 【点评】此题考查了中位数和众数众数,中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后, 最中间的那个数 (最中间两个数的平均数) , 叫做这组数据的中位数, 如果中位数的概念掌握得不好, 不把数据按要求重新排列,就会出错;众数是一组数据中出现次数最多的数. 14.将关于 x 的一元二次方程 x +px+q=0 变形为 x =﹣px﹣q,就可将 x 表示为关于 x 的一次多项式, 2 从而达到“降次”的目的,我们称这样的方法为“降次法”,已知 x ﹣x﹣1=0,可用“降次法”求 4 得 x ﹣3x+2014 的值是 2016 . 【考点】因式分解的应用;一元二次方程的解. 2 4 【分析】先求得 x =x+1,再代入 x ﹣3x+2014 即可得出答案. 2 【解答】解:∵x ﹣x﹣1=0, 2 ∴x =x+1, 4 2 ∴x ﹣3x+2014=(x+1) ﹣3x+2014 2 =x +2x+1﹣3x+2014 2 =x ﹣x+2015 =x+1﹣x+2015 =2016. 故答案为:2016. 【点评】本题考查了一元二次方程的解,将四次先降为二次,再将二次降为一次,逐步得出答案即 可.
2 2 2

14

15.如图所示,在⊙O 内有折线 OABC,其中 OA=4,AB=6,∠A=∠B=60°,则 BC 的长为 10 .

【考点】垂径定理;等边三角形的判定与性质. 【分析】首先延长 AO 交 BC 于 D,作 OH⊥BC 于 H,由∠A=∠B=60°,可判断△ABD 为等边三角形, 根据等边三角形的性质可求得 BD 的长,再由含 30°角的直角三角形的性质,求得 DH 的长,则可得 到 BH 的长,根据垂径定理的性质,即可求得答案. 【解答】解:延长 AO 交 BC 于 D,作 OH⊥BC 于 H, ∵∠A=∠B=60°, ∴△ABD 为等边三角形, ∴∠ADB=60°,AD=BD=AB=6, ∴OD=AD﹣OA=6﹣4=2, 在 Rt△ODH 中,∠ODH=60°, ∴∠DOH=30°, ∴DH= OD=1, ∴BH=BD﹣DH=6﹣1=5, ∵OH⊥BC, ∴BC=2BH=10. 故答案为:10.

【点评】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质以及含 30°角的直角三角形的性质.注意 准确作出辅助线是解此题的关键. 16.已知抛物线 y=﹣x ﹣2mx+4m+6,当实数 m 的值为 ﹣2 顶点所组成的三角形面积最小,其最小值是 2 .
2

时,抛物线与 x 轴的两个交点和它的

【考点】抛物线与 x 轴的交点. 2 【分析】求得抛物线的顶点坐标为(﹣m,m +4m+6) ,根据根与系数的关系得到 α +β =﹣2m,α β = ﹣( 4m+6 ) ,求得抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积 = ?( m +4m+6 ) ?2 =[(m+2) +2]?
2 2 2 2 2

,于是得到结论.
2

【解答】解:y=﹣x ﹣2mx+4m+6=﹣(x+m) +m +4m+6,则抛物线的顶点坐标为(﹣m,m +4m+6) , 2 设抛物线与 x 轴两交点的坐标为(α ,0) , (β ,0) ,则 α 、β 为方程﹣x ﹣2mx+4m+6=0 的两实数

15

解, 所 以 β |=

α +β =



2m =



α β =

﹣ =2



4m+6 ,











所以抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积= ?2 =[(m+2) +2]?
2 2

? ( m +4m+6 )

2

, 也有最小值 , .

因为 m=﹣2 时, (m+2) +2 有最小值 2,

所以抛物线与 x 轴的两个交点和它的顶点所组成的三角形面积的最小值为 2 故答案为:﹣2,2 .

【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点,二次函数的性质,三角形的面积的计算,求最小值问题, 能确定代数式的最小值是解题的关键. 三.全面答一答(本题有 7 个小题,共 66 分)

17.已知 x 是一元二次方程 x +3x﹣1=0 的实数根,求代数式: 【考点】一元二次方程的解;分式的化简求值.

2

的值.

【分析】把代数式整理后,变为 【解答】解:∵x +3x﹣1=0. 2 ∴x +3x=1. x(x+3)=1
2

,故由 x +3x﹣1=0 得 x(x+3)=1,代入代数式求值.

2

∴原式=

÷

=

= .

【点评】解决本题关键是把代数式化简变形成与已知条件有关的形式. 18.在一个不透明的盒子里,装有四个分别标有数字﹣1,﹣2,﹣3,﹣4 的小球,它们的形状、大 小、质地等完全相同.小强先从盒子里随机取出一个小球,记下数字为 x;放回盒子摇匀后,再由 小华随机取出一个小球,记下数字为 y. (1)用列表法或画树状图表示出(x,y)的所有可能出现的结果; (2)求小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数 y=x﹣1 的图象上的概率; (3)求小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y>x﹣1 的概率. 【考点】列表法与树状图法;一次函数的性质. 【分析】 (1)首先根据题意画出表格,然后由树状图求得所有等可能的结果; (2)由(1)中的树状图,即可求得小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数 y=x ﹣1 的图象上的情况,再利用概率公式即可求得答案; (3)由(1)中的树状图,即可求得小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y>x﹣1 的情况,

16

再利用概率公式即可求得答案. 【解答】解: (1)画树状图得: ﹣1 ﹣1 (﹣1,﹣1) ﹣2 (﹣1,﹣2) ﹣3 (﹣1,﹣3) ﹣4 (﹣1,﹣4) 则共有 16 种等可能的结果;

﹣2 (﹣2,﹣1) (﹣2,﹣2) (﹣2,﹣3) (﹣2,﹣4)

﹣3 (﹣3,﹣1) (﹣3,﹣2) (﹣3,﹣3) (﹣3,﹣4)

﹣4 (﹣4,﹣1) (﹣4,﹣2) (﹣4,﹣3) (﹣4,﹣4)

(2)∵小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数 y=x﹣1 的图象上的有: (﹣1, ﹣2) , (﹣2,﹣3) , (﹣3,﹣4) , ∴小强、小华各取一次小球所确定的点(x,y)落在一次函数 y=x﹣1 的图象上的概率为: ;

(3)∵小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y>x﹣1 的有: (﹣1,﹣1) , (﹣2,﹣1) , (﹣2,﹣2) , (﹣3,﹣1) , (﹣3,﹣2) , (﹣3,﹣3) , (4,﹣1) , (﹣4,﹣2) , (﹣4,﹣3) , (﹣4, ﹣4) , ∴小强、小华各取一次小球所确定的数 x、y 满足 y>x﹣1 的概率为: = . 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.注 意概率=所求情况数与总情况数之比.

19.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡 AB 的坡角∠BAD=60°,坡长 AB=20

m,为加强水坝强度,

降坝底从 A 处后水平延伸到 F 处,使新的背水坡角∠F=45°,求 AF 的长度(结果精确到 1 米,参考 数据: 1.414, 1.732) .

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题. 【专题】压轴题. 【分析】过 B 作 DF 的垂线,设垂足为 E;可在 Rt△ABE 中,根据坡面 AB 的长以及坡角的度数,求 得铅直高度 BE 和水平宽 AE 的值,进而可在 Rt△BFE 中,根据 BE 的长及坡角的度数,通过解直角三 角形求出 EF 的长;根据 AF=EF﹣AE,即可得出 AF 的长度. 【解答】解:过 B 作 BE⊥DF 于 E. Rt△ABE 中,AB=20 m,∠BAE=60°,

∴BE=AB?sin60°=20

×

=30,

17

AE=AB?cos60°=20 × =10 . Rt△BEF 中,BE=30,∠F=45°, ∴EF=BE=30. ∴AF=EF﹣AE=30﹣10 即 AF 的长约为 13 米. ≈13,

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力.当两个直角三角形有公共边 时,先求出这条公共边是解答此类题的一般思路. 20.在△ABC 中,AB=BC=4,∠ABC=120°,将△ABC 绕点 B 旋转角 α (0°<α <90°)得△A1BC1, A1B 交 AC 于点 E,A1C1 分别交 AC、BC 于 D、F 两点. (1)在旋转过程中,线段 EA1 与 FC 有怎样的数量关系?证明你的结论; (2)当 α =30°时,试判断四边形 BC1DA 的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求线段 ED 的长.

【考点】旋转的性质. 【分析】 ( 1 ) 根 据 等 边 对 等 角 的 性 质 可 得 ∠A=∠C , 再 根 据 旋 转 的 性 质 可 得 ∠ABE=∠C1BF , AB=BC=A1B=BC1,然后利用“角边角”证明△ABE 和△C1BF 全等,根据全等三角形对应边相等可得 BE=BF,从而得解; (2) 先根据旋转的性质求出∠ABC1=150°, 再根据同旁内角互补, 两直线平行求出 AB∥C1D, AD∥BC1, 证明四边形 BC1DA 是平行四边形,又因为邻边相等,所以四边形 BC1DA 是菱形; (3)过点 E 作 EG⊥AB 于点 G,等腰三角形三线合一的性质可得 AG=BG=1,然后解直角三角形求出 AE 的长度,再利用 DE=AD﹣AE 计算即可得解. 【解答】解: (1)EA1=FC.理由如下: ∵AB=BC, ∴∠A=∠C, ∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转角 α 得△A1BC1, ∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1, 在△ABE 和△C1BF 中,

18

, ∴△ABE≌△C1BF(ASA) , ∴BE=BF, ∴A1B﹣BE=BC﹣BF, 即 EA1=FC; (2)四边形 BC1DA 是菱形.理由如下: ∵旋转角 α =30°,∠ABC=120°, ∴∠ABC1=∠ABC+α =120°+30°=150°, ∵∠ABC=120°,AB=BC, ∴∠A=∠C= (180°﹣120°)=30°, ∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°, ∠ABC1+∠A=150°+30°=180°, ∴AB∥C1D,AD∥BC1, ∴四边形 BC1DA 是平行四边形, 又∵AB=BC1, ∴四边形 BC1DA 是菱形; (3)过点 E 作 EG⊥AB, ∵∠A=∠ABA1=30°, ∴AG=BG= AB=2, 在 Rt△AEG 中,AE= 由(2)知 AD=AB=4, ∴DE=AD﹣AE=4﹣ . = = ,

【点评】本题考查了旋转的性质,主要利用了全等三角形的判定与性质,菱形的判定与性质,以及 解直角三角形,等腰三角形三线合一的性质,难度不大,利用好旋转变换只改变图形的位置不改变 图形的形状与大小,找出相等的线段是解题的关键. 21. 如图 1, 小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开, 得到矩形和三角形两张纸片, 测得 AB=5, AD=4. 在 进行如下操作时遇到了下列几个问题,请你帮助解决.

19

(1)如图 2,将△EFG 的顶点 G 移到矩形的顶点 B 处,再将三角形绕点 B 顺时针旋转使 E 点落在 CD 边上,此时 EF 恰好经过点 A. ①请证明:△ADE∽△FGE;②求出 FG 的长度; (2)如图 3,在(1)的条件下,小明先将△EFG 的边 EG 和矩形的边 AB 重合,然后将△EFG 沿直线 BC 向右平移,至 F 点与 B 重合时停止.在平移过程中,设 G 点平移的距离为 x,两纸片重叠部分面 积为 y,求在平移的整个过程中,y 与 x 的函数关系式.

【考点】几何变换综合题. 【分析】 (1)由题意易得 CE=3,DE=2,AD=4,然后经过证明△EFG∽△AED,求得 FB 的值即可; (2)分两种情况:一是 x 平移距离小于 4 时,二是 x 平移距离大于 4 时,分别求得解析式,把 y=10 分别代入两式,求得 x 的值,注意验证是否符合题意. 【解答】解: (1)①∵AB=EG=DC=5,AD=BC=4, ∴CE= = =3,DE=CD﹣CE=5﹣3=2,

∵AB=EG, ∴∠BAE=∠BEA, 又∵∠BAE+∠EAD=90°,∠AED+∠EAD=90°, ∴∠BAE=∠AED 在△EFG 和△AED 中,∠BAE=∠AED,∠FBE=∠ADE=90°, ∴△EFG∽△AED; ②∵由①知,△EFG∽△AED, ∴ ,

∴BF=FG= =10; (2)分两种情况: 一是 x 平移距离小于 4 时(如图 1) ,EF 与 AB 相交于 P,过 P 作 PQ⊥EG 于 Q 点, ∵△EFG 的直角边 FG=10,EG=5, ∴tanα = = = , ∵∠FGE=90°, ∴PQ∥FC,四边形 PQGB 是矩形, ∴∠EPQ=∠F,

20

根据这个正切值,可求出相应的线段的数值,得出 FB=FG﹣BG=10﹣x,BP=

,PQ=x,EQ= ,

∴重叠部分 y=PB?BG+ BG?EQ=

+ x× =﹣ x +5x,

2

二是 x 平移距离大于 4 时(如图 2) ,EF 与 AB 相交于 P,与 CD 相交于 R,

∴y=PB?BC+ PQ?RQ=

+ ×4×2=24﹣2x.

【点评】本题考查了相似形综合题,涉及到梯形、矩形的性质等知识点的运用,能熟练地运用性质 进行推理和计算是解此题的关键,题目比较典型,综合性比较强,有一定的难度,在解答(2)时用 了分类讨论思想.

22.如图,△ABC 中,AB=AC=4 ,cosC= (1)动手操作:利用尺规作以 AC 为直径的⊙O,并标出⊙O 与 AB 的交点 D,与 BC 的交点 E(保留 作图痕迹,不写作法) ; (2)综合应用:在你所作的图中, 2 ①连接 AE,CD,线段 AE,CD 交于点 F,求证:EC =EF?AE; ②求点 D 到 AC 的距离.

【考点】作图—复杂作图;相似三角形的判定与性质;解直角三角形. 【分析】 (1)先作出 AC 的中垂线,再画圆. (2)AA 证明△AEC∽△CEF,根据相似三角形的性质即可求解; (3)利用余弦求出 BE,EC,BD,CD,AD,利用三角形面积公式得到点 D 到 AC 的距离. 【解答】解: (1)如图:

21

(2)①证明:如图:

∵AC 为⊙O 的直径,点 E 在⊙O 上, ∴∠AEC=90°, ∵AB=AC, ∴∠BAE=∠CAE=∠DCE, ∴△AEC∽△CEF, ∴AE:CE=CE:FE, 2 ∴EC =EF?AE; ②解:∵在 Rt△ACE 中,cos∠ACE= ∴BE=EC=4, ∵∠ADC=∠AEC=90°,∠B=∠ACE, ∴BD= ∴AD=4 ,CD= ﹣ = , , ,AC=AB=4 ,

∴点 D 到 AC 的距离是

=



【点评】本题主要考查了复杂的作图,相似三角形以及勾股定理的应用, ( 2)①题的关键是证明 △BDE∽△BCA, (2)②题的关键是根据三角函数求出线段的长. 23.如图,点 P 是直线:y=2x﹣2 上的一点,过点 P 作直线 m,使直线 m 与抛物线 y=x 有两个交点, 设这两个交点为 A、B: (1)如果直线 m 的解析式为 y=x+2,直接写出 A、B 的坐标; (2)如果已知 P 点的坐标为(2,2) ,点 A、B 满足 PA=AB,试求直线 m 的解析式; (3)设直线与 y 轴的交点为 C,如果已知∠AOB=90°且∠BPC=∠OCP,求点 P 的坐标.
2

22

【考点】二次函数综合题. 【分析】 (1)将两函数解析式联立求出其交点坐标即可; 2 2 2 2 (2)设 A(m,m ) 、B(a,b) ,进而得出 B 的横坐标 a=2m﹣2,纵坐标 b=m ﹣(2﹣m )=2m ﹣2,即 可得出 A 点坐标,进而利用待定系数法求一次函数解析式即可;

(3)根据题意得出△AEO∽△OFB,则

=

,进而得出 x=

由 x1x2=﹣1,再利用勾股定

理得出 a 的值,求出即可. 2 【解答】解: (1)∵直线 m 解析式为:y=x+2 与抛物线 y=x 有两个交点,设这两个交点为 A、B:

解得:





∴A(2,4) 、B(﹣1,1) ; (2)解法一:设 A(m,m ) 、B(a,b) , 如图 1:过 A 作 x 轴垂线,过 P、B 作 y 轴垂线,交于点 F, ∵PA=AB, 在△ABF 和△APE 中,
2

, ∴△ABF≌△APE(AAS) 2 2 2 ∴B 的横坐标 a=2m﹣2,纵坐标 b=m ﹣(2﹣m )=2m ﹣2 2 2 2 ∵点 B 在抛物线上,b=a ,∴2 m ﹣2=(2 m﹣2) , 解得 m=1 或 m=3,∴得点 A(1,1)或 A(3,9) ∵P(2,2) , ∴设直线 m 的解析式为:y=kx+b,



23

解得:



∴直线 m 的解析式为:y=x, 同理可得出:直线 m 的解析式为:y=7x﹣12, 综上所述:直线 m 的解析式为:y=x 或 y=7x﹣12;

(解法二:设 B(a,a ) ,∵PA=AB,∴A 是线段 PB 的中点,∴A(

2



) ,

∵A 在抛物线上,∴(

)=

2



解得:∴a=0 或 4,∴B(0,0) 、B(4,16) ,即可求出直线 m 的解析式) ;

(3)设直线 m:y=kx+b)k≠0)交 y 轴于 D,设 A(x1, 如图 2,过 A、B 分别作 AE、BF 垂直 x 轴于 E、F, ∵∠AOB=90°, ∴∠BOF+∠AOE=90°, ∵∠FBO+∠BOF=90°, ∴∠FBO=∠AOE, ∵∠BFO=∠AEO, ∴△AEO∽△OFB, ∴ = ,

) ,B(x2,

) .



=

,∴x1x2=﹣1,
2

∵A、B 是 y=kx+b 与 y=x 的交点, 2 ∴x1,x2 是 kx+b=x 的解,

∴x=

由 x1x2=﹣1,

解得:b=1,∴D(0,1) , ∵∠BPC=∠OCP,∴DP=DC=3, 2 2 2 过 P 作 PG 垂直 y 轴于 G,则:PG +GD =DP , 2 2 2 ∴设 P(a,2a﹣2) ,有 a +(2a﹣2﹣1) =3 , 解得:a=0(舍去)或 a= ∴P( , ) . ,

24

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及二 次函数综合等知识,利用数形结合得出 D 点坐标是解题关键.

25


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