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河南省郑州二中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

2014-2015 学年河南省郑州二中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只用一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1. (5 分)已知集合 A={(x,y)|y=x ﹣3x+2},B={(x,y)|y=5﹣x},则 A∩B=() A.{﹣1,3} B.{﹣1,3,6,2} C.{(﹣1,6) , (3,2) D. { (﹣1, 3) , (6, 2) 2. (5 分)若函数 f( )= ,则函数 f(x)的解析式是() B. f(x)= (x≠0 且 x≠﹣1)
2

A.f(x)=1+x(x≠0 且 x≠﹣1) C. f(x)= (x≠0 且 x≠﹣1)
2

D.f(x)=x(x≠0 且 x≠﹣1)

3. (5 分)已知集合 A={x|ax +2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是() A.1 B . ﹣1 C.0,1 D.﹣1,0,1 4. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,如果 x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则有() A.f(﹣x1)+f(﹣x2)>0 B.f(x1)+f(x2)<0 C. ( f ﹣x1) ﹣( f ﹣ x2)>0 D. f(x1)﹣f(x2)<0 5. (5 分)二次函数 y=ax +bx 与指数函数
2

的图象只可能是()

A.

B.

C.
2 2014

D.
2014

6. (5 分)若{a ,0,﹣1}={a,b,0},则 a +b 的值为() A.0 B. 1 C . ﹣1

D.2

7. (5 分)函数 y=f(x)的定义域是(﹣1,4) ,则函数 y=f(x ﹣1)的定义域是() A. B. C. D.(﹣5,5)

2

8. (5 分)若函数

则 f(log43)=()

A.

B. 3
2

C.

D.4

9. (5 分)设 a=log54,b=(log53) ,c=log45 则() A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c

D.b<a<c

10. (5 分)已知函数 f(x)=

在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围

是() A.2<a<4

B.2≤a<4

C.3<a<4

D.3≤a<4

11. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B.
2

C.

D.(0,2]
2 2

12. (5 分)设 x、y 是关于 m 的方程 m ﹣2am+a+6=0 的两个实根,则(x﹣1) +(y﹣1) 的最小值是() A.﹣12 B.18 C. 8 D.

二、填空题(每题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的横线上) 13. (5 分)幂函数 14. (5 分)已知函数 f(x)与函数 g(x)=log 在(0,+∞)是减函数,则 m=. x 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(﹣2)=.

15. (5 分)定义运算

,例如,1*2=1,则函数 f(x)=1*2 的值域是.

x

16. (5 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17. (10 分)计算: (1)log3 (2)2(lg +lg25+lg4+7 ) +lg
2

+(﹣9.8) +0.25

0

﹣2

?lg5+
x



18. (12 分)已知集合 A={x|3≤3 ≤27},B={x|x>2}. (1)分别求 A∩B, (?RB)∪A; (2)已知集合 C={x|a<x<2a﹣1},若 C?A,求实数 a 的取值集合. 19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 .

20. (12 分)已知二次函数 f(x)的最小值 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方. 21. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣ (1)证明 f(x)是奇函数; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)求 f(x)在[﹣1,2]上的最值. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式.
2

2014-2015 学年河南省郑州二中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.下列每小题所给选项只用一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 2 1. (5 分)已知集合 A={(x,y)|y=x ﹣3x+2},B={(x,y)|y=5﹣x},则 A∩B=()

A.{﹣1,3} 2)

B.{﹣1,3,6,2}

C.{(﹣1,6) , (3,2) D. { (﹣1, 3) , (6,

考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接由题意联立方程组求解两曲线交点得答案. 解答: 解:∵A={(x,y)|y=x ﹣3x+2},B={(x,y)|y=5﹣x}, 则 A∩B={(x,y)| }={(x,y)| 或 }={(﹣1,6) , (3,2)}.
2

故选:C. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了方程组的解法,是基础题.

2. (5 分)若函数 f( )=

,则函数 f(x)的解析式是() B. f(x)= (x≠0 且 x≠﹣1)

A.f(x)=1+x(x≠0 且 x≠﹣1) C. f(x)= (x≠0 且 x≠﹣1)

D.f(x)=x(x≠0 且 x≠﹣1)

考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 t= ,则 x= ,代入函数解析式可得,注意变量的范围. 解答: 解;设 t= ,则 x= ∵,函数 f( )= 所以;f(x)= (x≠0 且 x≠﹣1) , ,∴f(t)= ,t≠0,t≠﹣1,

故选:B 点评: 本题考查了换元法求解析式的方法,特别注意自变量的取值范围. 3. (5 分)已知集合 A={x|ax +2x+a=0,a∈R},若集合 A 有且仅有 2 个子集,则 a 的取值是() A.1 B . ﹣1 C.0,1 D.﹣1,0,1 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题;集合思想. 2 分析: 若 A 有且仅有两个子集, 则 A 为单元素集, 所以关于 x 的方程 ax +2x+a=0 恰有一个 实数解,分类讨论能求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得,集合 A 为单元素集, (1)当 a=0 时,A={x|2x=0}={0},此时集合 A 的两个子集是{0},?, 2 (2)当 a≠0 时 则△ =4﹣4a =0 解得 a=±1, 当 a=1 时,集合 A 的两个子集是{1},?, 当 a=﹣1,此时集合 A 的两个子集是{﹣1},?. 综上所述,a 的取值为﹣1,0,1.
2

故选:D. 点评: 本题考查根据子集与真子集的概念,解题时要认真审题,注意分析法、讨论法和等 价转化法的合理运用.属于基础题. 4. (5 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数,如果 x1<0,x2>0,且|x1|<|x2|,则有() A.f(﹣x1)+f(﹣x2)>0 B.f(x1)+f(x2)<0 C. ( f ﹣x1) ﹣( f ﹣ x2)>0 D. f(x1)﹣f(x2)<0 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数是(0,+∞)上的增函数结合|x1|<|x2|得到 f(|x1|)<f(|x2|) ,去绝对值后得 到 f(x1)﹣f(x2)<0. 解答: 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x)在(0,+∞)上是增函数, 又|x1|<|x2|, ∴f(|x1|)<f(|x2|) , ∵x1<0,x2>0, ∴f(﹣x1)<f(x2) , 即 f(x1)﹣f(x2)<0. 故选:D. 点评: 本题考查了函数奇偶性和单调性的性质,关键是对函数性质的理解,是基础题.
2

5. (5 分)二次函数 y=ax +bx 与指数函数

的图象只可能是()

A.

B.

C.

D.

考点: 指数函数的图像与性质;二次函数的图象. 专题: 数形结合. 分析: 根据二次函数的对称轴首先排除 B、D 选项,再根据 a﹣b 的值的正负,结合二次函 数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案. 解答: 解:根据指数函数 可知 a,b 同号且不相等

则二次函数 y=ax +bx 的对称轴

2

<0 可排除 B 与 D

选项 C,a﹣b>0,a<0,∴ >1,则指数函数单调递增,故 C 不正确 故选:A 点评: 本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系,根据指数函数图象 确定出 a、b 的正负情况是求解的关键. 6. (5 分)若{a ,0,﹣1}={a,b,0},则 a +b 的值为() A.0 B. 1 C . ﹣1
2 2014 2014

D.2

考点: 有理数指数幂的化简求值;集合的相等. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用集合相等及其指数幂的运算性质即可得出. 2 2 2 解答: 解:∵{a ,0,﹣1}={a,b,0},∴a =a≠0,﹣1=b 或 a =b,a=﹣1. 解得:a=1,b=﹣1 或 a=﹣1,b=1. 则a +b =2. 故选:D. 点评: 本题考查了集合相等及其指数幂的运算性质,考查了推理能力,属于基础题. 7. (5 分)函数 y=f(x)的定义域是(﹣1,4) ,则函数 y=f(x ﹣1)的定义域是() A. 考点: 专题: 分析: 解答: B. C. D.(﹣5,5)
2 2014 2014

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据复合函数之间的关系即可求出函数的定义域. 解:∵y=f(x)的定义域是(﹣1,4) ,
2

∴由﹣1<x ﹣1<4 得: 2 0<x <5, 即 或0 , 2 即函数 y=f(x ﹣1)的定义域是 , 故选:B. 点评: 本题主要考查函数定义域的求法,根据复合函数定义域之间的关系即可求函数的定 义域.

8. (5 分)若函数

则 f(log43)=()

A.

B. 3

C.

D.4

考点: 分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的值.

分析: 先判断 log43 的范围,0<log43<1,故代入 x∈[0,1]时的解析式,转化为对数恒等式 形式. 解答: 解:∵0<log43<1,∴f(log43)=4 =3 故选 B 点评: 本题考查分段函数的求值、对数恒等式等知识,属基本题型、基本运算的考查. 9. (5 分)设 a=log54,b=(log53) ,c=log45 则() A.a<c<b B.b<c<a C.a<b<c
2 log43

D.b<a<c

考点: 对数的运算性质;对数函数的单调性与特殊点;不等式比较大小. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1,所以 c 最大, 排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b,排除 C. 2 2 解答: 解:∵a=log54<log55=1,b=(log53) <(log55) ,c=log45>log44=1, ∴c 最大,排除 A、B;又因为 a、b∈(0,1) ,所以 a>b, 故选 D. 点评: 本题考查对数函数的单调性,属基础题.
2 2

10. (5 分)已知函数 f(x)=

在 R 上是增函数,则实数 a 的取值范围

是() A.2<a<4

B.2≤a<4

C.3<a<4

D.3≤a<4

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 根据函数 f (x) =

在 R 上是增函数, 可知每段上都为增函数,

且两段的最值比较,得出

解出 a 的范围即可. 解答: 解:当 x=2 时 y=6﹣a,

∵函数 f(x)=

在 R 上是增函数,∴

解不等式组可得:3≤a<4,

故选:D 点评: 本题考查了分段函数单调性的判断,及运用求其满足的条件,加深了对单调性的定 义的理解. 11. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数 a 满足 f(log2a)+f(log A.[1,2] a)≤2f(1) ,则 a 的取值范围是() B. C. D.(0,2]

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据偶函数的定义将所给的式子化为:f(|log2a|)≤f(1) ,再利用偶函数的单调性列 出关于 a 的不等式求解. 解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ , ∴ 可变为 f(log2a)≤f(1) ,

即 f(|log2a|)≤f(1) , 又∵在区间[0,+∞)上单调递增,且 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ 解得 ≤a≤2, 故选:C. 点评: 本题考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用,易错处是忽略定义域内的单调性不 同,即对称区间单调性相反,注意自变量的取值范围,考查了学生的转化能力. 12. (5 分)设 x、y 是关于 m 的方程 m ﹣2am+a+6=0 的两个实根,则(x﹣1) +(y﹣1) 的最小值是() A.﹣12 B.18 C. 8 D.
2 2 2

,即



考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由方程的根与系数的关系得 x+y 与 xy 值,将欲求的(x﹣1) +(y﹣1) 的式子用 含 x+y 与 xy 的式子来表示,即化为含 m 的函数,最后求此函数的最小值即可. 2 解答: 解:由△ =(﹣2a) ﹣4(a+6)≥0,得 a≤﹣2 或 a≥3. 2 2 于是有(x﹣1) +(y﹣1) 2 2 =x +y ﹣2(x+y)+2 2 =(x+y) ﹣2xy﹣2(x+y)+2 2 2 =(2a) ﹣2(a+6)﹣4a+2=4a ﹣6a﹣10

=4(a﹣ ) ﹣

2


2 2

由此可知,当 a=3 时, (x﹣1) +(y﹣1) 取得最小值 8. 答案:C 点评: 本题是一元二次方程的根为依托,求二次函数的最小值问题,必须注意到方程的根 与系数的关系. 另外,本题容易发生的错误是,没有注意到方程有根的条件:△ ≥0,导致错解. 二、填空题(每题 5 分,共 20 分.把答案填在答题纸的横线上) 13. (5 分)幂函数 在(0,+∞)是减函数,则 m=﹣1.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. 分析: 利用幂函数的概念可得到关于 m 的关系式,解之即可. 解答: 解:∵f(x)=(m ﹣2m﹣2)
2

在(0,+∞)是减函数,



∴m=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题考查幂函数的概念、解析式及其单调性,考查解不等式组的能力,属于中档题. 14. (5 分)已知函数 f(x)与函数 g(x)=log x 的图象关于直线 y=x 对称,则 f(﹣2)=4.

考点: 反函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由函数 f(x)与函数 g(x)=log

x 的图象关于直线 y=x 对称,可得函数 f(x)与

函数 g(x)=log

x 互为反函数,即 f(x)=

,代入 x=﹣2,可得答案. x 的图象关于直线 y=x 对称,

解答: 解:∵函数 f(x)与函数 g(x)=log ∴函数 f(x)与函数 g(x)=log ∴f(x)= ∴f(﹣2)=4, 故答案为:4. ,

x 互为反函数,

点评: 本题考查的知识点是反函数,其中根据函数 f(x)与函数 g(x)=log 于直线 y=x 对称,得到函数 f(x)与函数 g(x)=log

x 的图象关

x 互为反函数,是解答的关键.

15. (5 分)定义运算 1]. 考点: 函数的值域. 专题: 计算题.

,例如,1*2=1,则函数 f(x)=1*2 的值域是(0,

x

分析: 为了求函数 f(x)=1*2 的值域,先将其化成分段函数的形式,再画出其图象,最后 x 结合图象即得函数值的取值范围,即可得到数 f(x)=1*2 的值域. x 解答: 解:当 1≤2 时,即 x≥0 时, x 函数 y=1*2 =1 x 当 1>2 时,即 x<0 时, x x 函数 y=1*2 =2 ∴f(x)=

x

作出函数的图象,由图知, x 函数 y=1*2 的值域为: (0,1]. 故答案为: (0,1]. 点评: 本题以新定义的形式,考查了函数值域的问题,属于基础题.遇到函数创新应用题 型时,处理的步骤一般为:①根据“让解析式有意义”的原则,先确定函数的定义域;②再化 简解析式,求函数解析式的最简形式,并分析解析式与哪个基本函数比较相似;③根据定义 域和解析式画出函数的图象④根据图象分析函数的性质. 16. (5 分)若关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 1 <k<3 或 k=0. 考点: 函数的零点. 专题: 数形结合.
2

分析: 原命题等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点,只需在同 一个坐标系中作出它们的图象即可得解. 解答: 解:关于 x 的方程|x ﹣4|x|+3|=k 有 4 个不相等的实数根 2 等价于函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|与 y=k 的图象有 4 个不同的公共点, 2 而函数 f(x)=|x ﹣4|x|+3|为偶函数,y 轴右边的图象为抛物线的一部分, 作图如下:
2

2

由图象可知:当 1<k<3 或 k=0 时,两函数的图象有 4 个不同的公共点, 故答案为:1<k<3 或 k=0 点评: 本题考查函数零点的个数,转化为两函数图象的交点个数是解决问题的关键,属基 础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17. (10 分)计算: (1)log3 (2)2(lg +lg25+lg4+7 ) +lg
2

+(﹣9.8) +0.25

0

﹣2

?lg5+



考点: 对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)根据对数,指数幂的运算性质求解(2)根据对数的运算性质化简求值, 解答: 解: (1)log3 = +2+2+1+16=21 (2)2(lg = ) +lg
2

+lg25+lg4+7

+(﹣9.8) +0.25

0

﹣2

= ?lg5+ =1. =2(lg ) + lg2?lg5+1﹣
2

lg2(1﹣lg2)+1﹣ ; (2)1

故答案为: (1)

点评: 本题考查了指数,对数的运算性质,属于化简计算题,容易出错.

18. (12 分)已知集合 A={x|3≤3 ≤27},B={x|x>2}. (1)分别求 A∩B, (?RB)∪A; (2)已知集合 C={x|a<x<2a﹣1},若 C?A,求实数 a 的取值集合. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用. 专题: 集合. 分析: (1)先将集合 A、B 化简,然后求解即可, (2)若 C?A,分为 C=?,和 C≠?,进行 讨论,取并集即可. 解答: 解: (1)由题意知,A=[1,3],B=(2,+∞) , ∴A∩B=(2,3], ?RB=(﹣∞,2], ∴A∪(?RB)=(﹣∞,3], (2)若 C=?,C?A 成立,则 a≥2a﹣1,那 a≤1, 若 C≠?,C?A 则有 ?1<a≤2,

x

得集合 a≤2. 点评: 本题为基础题目,难点为(2)中集合 C 为空集的情况容易被忽略. 19. (12 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=log2x (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 .

考点: 对数函数的单调性与特殊点;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设 x<0,则﹣x>0,再由当 x>0 时,f(x)=log2x﹣1 求得 f(﹣x)然后利用 函数 f(x)是奇函数得到 f(x) . (2)根据(1)中函数的解析式,分段解出各段上满足 论结果可得答案 解答: 解: (1)设 x<0,则﹣x>0 ∵当 x>0 时,f(x)=log2x ∴f(﹣x)=log2(﹣x) , 又∵函数 f(x)是奇函数 ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣log2(﹣x) . 当 x=0 时,f(0)=0 的 x 的范围,综合分类讨

综上所述 f(x)=

(2)由(1)得不等式 x>0 时, ,解得 0<x≤

可化为

x=0 时,0≤ ,满足条件 x<0 时, ,解得 x≤ ,或 0≤x≤ }

综上所述原不等式的解集为{x|x≤

点评: 本题主要考查用奇偶性来求对称区间上的解析式,一定要注意,求哪一个区间的解 析式,要在哪个区间上取变量. 20. (12 分)已知二次函数 f(x)的最小值 1,且 f(0)=f(2)=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,求实数 a 的取值范围; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方. 考点: 函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法;幂函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)设出 S(x)=f(x)﹣3,利用函数的最小值,求出 f(x)的解析式; (2)通过 f(x)在区间[3a,a+1]上不单调,说明对称轴在求解内部,然后求实数 a 的取值范 围; (3)在区间[﹣1,3]上,y=f(x)的图象恒在 y=2x+2m+1 的图象上方,直接利用二次函数闭 区间上的最值求解即可. 解答: 解: (1)设 S(x)=f(x)﹣3=a(x﹣0) (x﹣2) , ∴f(x)=ax(x﹣3)+3, ∴f(x)=ax ﹣2ax+3, 又
2 2

=3﹣a=1?a=2,

∴f(x)=2x ﹣4x+3; (2)由对称轴 x=1, ∴ ?0<a< ,
2

(3)x∈[﹣1,3]时,2x ﹣4x+3>2x+2m+1, 2 ∴2m<2x ﹣6x+2, 2 即﹣1≤x≤3,m<x ﹣3x+1, ∴m<5. 点评: 本题考查函数的解析式的求法二次函数的最值,函数的恒成立条件的应用,考查分 析问题解决问题的能力.

21. (12 分)已知函数 f(x)=1﹣ (1)证明 f(x)是奇函数; (2)判断 f(x)的单调性,并用定义证明; (3)求 f(x)在[﹣1,2]上的最值. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 分析: (1)由解析式求出函数的定义域,再化简 f(﹣x)并判断出与 f(x)的关系,由函 数的奇偶性的定义下结论; (2)先判断出函数的单调性,再利用函数的单调性的定义进行证明; (3)根据(2)证明的单调性和区间,求出函数的最大值和最小值. 解答: 解: (1)由题意得,f(x)的定义为 R, 且 ,





所以 f(x)是奇函数…(4 分) (2)f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数,证明如下: 设任意的 x1,x2∈(﹣∞,+∞)且 x1<x2 则

, ∵x1<x2,∴ <0,则 ,

即 f(x1)﹣f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数…(8 分) (3)由(2)知,f(x)在[﹣1,2]上单调递增 ∴ …(12 分)

点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性的证明方法:定义法,以及利用函数单调性求 函数的最值问题,属于中档题. 22. (12 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1(a 为实常数) . (1)若 a=1,求 f(x)的单调区间; (2)若 a>0,设 f(x)在区间[1,2]的最小值为 g(a) ,求 g(a)的表达式. 考点: 函数的单调性及单调区间;二次函数在闭区间上的最值.
2

专题: 综合题;数形结合;分类讨论. 分析: (1)对解析式进行配方整理,根据二次函数顶点点式的形式,结合对称轴来判断函 数的单调区间.本题中的函数由于带着绝对值号,故在研究函数性质时要先去绝对值号变成 分段函数形式来研究函数的性质. (2)本小题研究区间区间[1,2]的最小值,故可以直接去掉绝对值号,仍然要配方整理,整 理后可以看出,本题是二次函数求最值问题中区间定轴动的问题,故分类讨论对称轴的位置, 以确定区间[1,2]单调性,求出最小值为 g(a) ,其形式是一个分段函数的形式. 解答: 解: (1)a=1 时,

(2 分)

∴f (x) 的单调增区间为 ( (2)由于 a>0,当 x∈[1,2]时, 10 20 30 即 即 即

) , (﹣ , 0) f (x) 的单调减区间为 (﹣

) , (



f(x)在[1,2]为增函数 g(a)=f(1)=3a﹣2 , 时 f(x)在[1,2]上是减函数 g(a)=f(2)=6a﹣3

综上可得

(10 分)

所以实数 a 的取值范围是 点评: 本题考点是函数的单调性与单调区间,考查的是二次函数的单调性与二次函数在闭 区间上的最值问题, 二次函数的单调性的研究通常借助其图象来研究, 本题中由于函数的系数 带着字母,故需要对对称轴的位置进行讨论,用到了分类讨论的思想,区间定轴动是二次函数 求最值问题的重要的一类, 其规律是在不同的区间段上讨论函数的单调性, 做题时要注意总结 这一规律.


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