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1-3走向高考数学章节


第1章

第3节

一、选择题 1.(2010·湖南理)下列命题中的假命题是( ... A.?x∈R,2
x -1

)

>0

B.?x∈N*,(x-1)2>0 D.?x∈R,tanx=2

C.?x∈R,lgx<1 [答案] B

[解析] 对于 B 选项,x=1 时,(x-1)2=0,故不正确. 2.“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的( A.充要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

[分析] 近几年高考中,简易逻辑试题是以考查基本概念、基本关系与其他知识相结合 为主的客观题形式出现的,难度低,重基础.学习中,只要夯实基础,把握逻辑联结词的含 义、充要关系的意义、四种命题及其相互关系,应用不同的求解策略,就能适应高考的考查 要求. [答案] C [解析] 若命题“p 或 q”为真命题, p、 中至少有一个为真命题. 则 q 若命题“p 且 q” 为真命题,则 p、q 都为真命题,因此“p 或 q”为真命题是“p 且 q”为真命题的必要不充 分条件. 3.命题“对任意的 x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在 x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在 x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的 x∈R,x3-x2+1>0 [答案] C [解析] “对任意 x∈R,x3-x2+1≤0”等价于关于 x 的不等式 x3-x2+1≤0 恒成立, 其否定为:x3-x2+1≤0 不恒成立,即存在 x∈R,使得 x3-x2+1>0 成立. 4.下列各组命题中,满足“p 或 q 为真”,且“非 p 为真”的是( A.p:0=?;q:0∈? B.p:在△ABC 中,若 cos2A=cos2B,则 A=B; q:y=sinx 在第一象限是增函数 C.p:a+b≥2 ab(a,b∈R); ) )

q:不等式|x|>x 的解集为(-∞,0) x2 y2 D.p:圆(x-1)2+(y-2)2=1 的面积被直线 x=1 平分;q:椭圆 + =1 的离心率为 e 4 3 = 1 2 [答案] C [解析] A 中, q 均为假, p、 故“p 或 q 为假”, 排除 A; 中, B cos2A=cos2B?1-2sin2A =1-2sin2B?sin2A-sin2B=0?(sinA+sinB)(sinA-sinB)=0?A-B=0, p 为真, 故 从而“非 p”为假,排除 B;C 中,p 为假,从而“非 p”为真,q 为真,从而“p 或 q”为真;D 中, p 为真,故綈 p 为假. 5.(2011·重庆模拟)下列四个命题中,其中为真命题的是( A.任意 x∈R,x +3<0 C.存在 x∈Z,使 x <1 [答案] C [解析] 由于任意 x∈R,都有 x2≥0,因而有 x2+3≥3,故 A 为假命题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2≥1 不成立,故 B 为假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5<1,故 C 为真命题; 由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有理数, 因此没有任何一个有理数的平方能等于 3,故 D 是假命题.故选 C. 6.给出下列结论: ①命题“若 p,则 q 或 r”的否命题是“若綈 p,则綈 q 且綈 r”; ②命题“若綈 p,则 q”的逆否命题是“若 p,则綈 q”; ③命题“存在 n∈N*,n2+3n 能被 10 整除”的否命题是“?n∈N*,n2+3n 不能被 10 整除”; ④命题“任意 x,x2-2x+3>0”的否命题是“?x,x2-2x+3<0”. 其中正确结论的个数是( A.1 C.3 [分析] ) B.2 D.4 根据原命题的否命题和逆否命题的规律以及对含有量词的命题进行否定的知
5 2

)

B.任意 x∈N,x ≥1 D.存在 x∈Q,x2=3

2

识对各结论逐个作出判断. [答案] B [解析] 由于否命题是把原命题的否定了的条件作条件、否定了的结论作结论得到的命 题,故①正确;由于逆否命题是把原命题的否定了的结论作条件、否定了的条件作结论得到 的命题,故②不正确;特称命题的否命题是全称命题,故③正确;虽然全称命题的否命题是

特称命题,但对结论的否定错误,故④不正确. 7.(2010·新课标)已知命题 p1:函数 y=2x-2 x 在 R 上为增函数,p2:函数 y=2x+2
- -x

在 R 为减函数.则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(綈 p1)∨p2 和 q4:p1∧(綈 p2)中,真 命题是( ) B.q2,q3 D.q2,q4

A.q1,q3 C.q1,q4 [答案] C

[解析] 本小题考查了命题的相关知识,结合指数函数的单调性,综合考查了含有逻辑 联结词“或”、“且”、“非”的命题真假. p1 是真命题,则綈 p1 为假命题;p2 是假命题,则綈 p2 为真命题;∴q1:p1∨p2 是真命 题,q2:p1∧p2 是假命题, ∴q3:(綈 p1)∨p2 为假命题,q4:p1∧(綈 p2)为真命题. ∴真命题是 q1,q4,故选 C. 8.(2009·海南理)有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1:存在 x∈R,sin2 +cos2 = 2 2 2 p2:存在 x、y∈R,sin(x-y)=sinx-siny p3:任意 x∈[0,π], π p4:sinx=cosy?x+y= 2 其中假命题的是( A.p1,p4 C.p1,p3 [答案] A [解析] 本题主要考查了命题的真假. x x p1 是假命题,∵任意 x∈R,sin2 +cos2 =1, 2 2 π p2 是真命题,例如:当 x=y= 时, 2 sin(x-y)=sinx-siny=0. p3 是真命题,∵任意 x∈[0,π],sinx>0, ∴ 1-cos2x =|sinx|=sinx. 2 ) B.p2,p4 D.p3,p4 1-cos2x =sinx 2

π 7 π p4 是假命题,例如:sin =cos π?/ x+y= . 6 3 2

二、填空题 9.(2010·安徽文)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5=0”的否定是____________. [答案] 对?x∈R,都有 x2+2x+5≠0. [解析] 该题考查命题的否定.注意特称命题的否定是全称命题. 10.命题“若 a>b,则 2a>2b-1”的否命题为________. [答案] 若 a≤b,则 2a≤2b-1. 1 11.已知命题 p:“任意 x∈[1,2], x2-lnx-a≥0”与命题 q:“存在 x∈R,x2+2ax 2 -8-6a=0”都是真命题,则实数 a 的取值范围是________. 1 [答案] (-∞,-4]∪?-2,2? ? ? 1 [解析] 命题 p:a≤ x2-lnx 在[1,2]上恒成立, 2 1 1 (x-1)(x+1) 令 f(x)= x2-lnx,f′(x)=x- = , 2 x x 1 当 1<x<2 时,f′(x)>0,∴f(x)min=f(1)= , 2 1 ?=4a2-4(-8-6a)≥0, ∴a≥-2 或 a≤-4, 综上, 的取值范围为(- a ∴a≤ .命题 q: 2 1 ∞,-4]∪?-2,2?. ? ? 三、解答题 12.写出下列命题的否定并判断真假 (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°; (4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. [解析] (1)綈 p:存在末位数字是 0 或 5 的整数但它不能被 5 整除,假命题; (2)綈 p:存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3)綈 p:任何一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4)綈 p:所有的四边形都有外接圆,假命题; (5)綈 p:任一梯形的对角线都不互相平分,真命题. 13.判断下列命题的真假. (1)对任意的 x,y 都有 x2+y2≥2xy;

(2)所有四边形的两条对角线都互相平分; (3)存在实数 a≠2 且 b≠-1,使 a2+b2-4a+2b≤-5; 4 (4)存在实数 x 使函数 f(x)=x+ (x>0)取得最小值 4. x [解析] (1)是真命题, 因为对任意实数 x, 都有 x2+y2-2xy=(x-y)2≥0, 2+y2≥2xy. y, ∴x (2)是假命题,只有平行四边形才满足两条对角线互相平分,如梯形就不满足这个条件. (3)是假命题,因为 a2+b2-4a+2b+5=(a-2)2+(b+1)2≥0,当且仅当 a=2,b=-1 时等号成立,所以不存在实数 a,b,使(a-2)2+(b+1)2<0,即不存在实数 a≠2 且 b≠-1 使 a2+b2-4a+2b≤-5. 4 (4)是真命题,因为存在实数 x=2>0,使函数 f(x)=x+ (x>0)取得最小值 4. x m-2 2 14.设 p: ≤ ,q:关于 x 的不等式 x2-4x+m2≤0 的解集是空集,试确定实数 m m-3 3 的取值范围,使得 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题. [解析] m-2 2 m ≤ 化为 ≤0,∴0≤m<3. m-3 3 m-3

∵不等式 x2-4x+m2≤0 的解集为?,∴?=16-4m2<0,∴m<-2 或 m>2. ∵p∨q 真,p∧q 假,∴p 与 q 有且仅有一个为真. 当 p 成立而 q 不成立时,0≤m≤2. 当 p 不成立而 q 成立时,m<-2 或 m≥3. 综上所述,m∈(-∞,-2)∪[0,2]∪[3,+∞). 15.已知命题 p:x1 和 x2 是方程 x2-mx-2=0 的两个实根,不等式 a2-5a-3≥|x1-x2| 对任意实数 m∈[-1,1]恒成立;命题 q:不等式 ax2+2x-1>0 有解,若命题 p 是真命题、命 题 q 是假命题,求 a 的取值范围. [解析] ∵x1,x2 是方程 x2-mx-2=0 的两个实根
? ?x1+x2=m ∴? ? ?x1x2=-2

∴|x1-x2|= (x1+x2)2-4x1x2= m2+8 ∴当 m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3. 由不等式 a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数 m∈[-1,1]恒成立,可得:a2-5a-3≥3 ∴a≥6 或 a≤-1` ∴命题 p 为真命题时 a≥6 或 a≤-1 命题 q:不等式 ax2+2x-1>0 有解 ①当 a>0 时,显然有解 ②当 a=0 时,2x-1>0 有解

③当 a<0 时,∵ax2+2x-1>0 有解 ∴?=4+4a>0,∴-1<a<0 从而命题 p:不等式 ax2+2x-1>0 有解时 a>-1 又命题 q 是假命题,∴a≤-1 故命题 p 是真命题且命题 q 是假命题时

a 的取值范围为 a≤-1.

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一、对集合的理解以及集合思想的应用 集合是高中数学的基本知识, 为历年必考内容之一, 主要考查对集合基本概念的认识和 理解, 以及作为工具, 考查集合语言和集合思想在函数与方程、 不等式中的运用. 通过复习, 考生应树立运用集合的观点,不断加深对集合概念、集合语言、集合思想的理解与应用. 集合 B={t|t 使{x|x2+2tx-2t=0}≠ [例 1] 已知集合 A={t|t 使 x2+2tx-4t-3≥0}=R}, ?},其中 x,t 均为实数. (1)求 A∩B; (2)设 m 为实数,g(m)=m2-3,求 M={m|g(m)∈A∩B}. [分析] 解答本题首先要弄懂集合概念,以便准确把握题意,集合 A 其实就是“求使不 等式 x2+2tx-4t-3≥0 恒成立的 t 的取值范围”,集合 B 就是“求使方程 x2+2tx-2t=0 有实根的 t 的取值范围”.至于集合 M,则应先把问题转化为求函数定义域问题来解决. [解析] (1)要使 x2+2tx-4t-3≥0 恒成立, 则只要使 ?1=(2t)2-4(-4t-3)≤0, 解得-3≤t≤-1,故集合 A={t|-3≤t≤-1}. 要使方程 x2+2tx-2t=0 有解, 则只要使 ?2=(2t)2-4·(-2t)≥0, 解得 t≥0 或 t≤-2,故集合 B={t|t≥0 或 t≤-2}. 所以 A∩B={t|-3≤t≤-2}. (2)设 g(m)=u,则问题(2)可转化为: 已知函数 u=g(m)的值域(u∈[-3,-2]),求其定义域.

令-3≤m2-3≤-2,可解得-1≤m≤1, 所以 M={m|-1≤m≤1}. 二、数形结合思想在集合问题中的应用 在解决一些集合问题时,求数集常用的方法为数轴法,取交、并集,如果是点集,常常 通过画出函数的图像,观察图像的交点以及位置关系来解决问题.Venn 图法在解决有限集 之间的关系时也会经常用到. [例 2] 向 50 名学生调查对 A、B 两事件的态度,有如下结果:赞成 A 的人数是全体的 五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其余的不赞成;另外,对 A、B 都 不赞成的学生数比对 A、B 都赞成的学生数的三分之一多 1 人,问:对 A、B 都赞成的学生 和都不赞成的学生各有多少人? [分析] 解答本题的关键是考生能由题目中的条件画出 Venn 图,形象地表示出各数量 关系间的联系. 3 [解析] 赞成 A 的人数为 50× =30,赞成 B 的人数为 30+3=33,如图, 5

记 50 名学生组成的集合为 U,赞成事件 A 的学生全体为集合 A,赞成事件 B 的学生全 体为集合 B. x 设对事件 A、B 都赞成的学生人数为 x,则对 A、B 都不赞成的学生人数为 +1,赞成 A 3 而不赞成 B 的人数为 30-x,赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x. x 依题意(30-x)+(33-x)+x+?3+1?=50, ? ? 解得 x=21. 所以对 A、B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人. 三、充要条件的理解与判定方法 充分条件、 必要条件和充要条件是重要的数学概念, 主要用来区分命题的条件 p 和结论 q 之间的关系,力求通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义,让考生能准确判定给定 的两个命题的逻辑关系. [例 3] (2011·日照模拟)求关于 x 的方程 ax2-(a2+a+1)x+a+1=0 至少有一个正根的 充要条件. [解析] 解法 1:若 a=0,则方程变为-x+1=0,x=1 满足条件,

?a+1=0 ? a+1 若 a≠0 , 则 方 程 至 少 有 一 个 正 根 等 价 于 <0 或 ?a2+a+1 a ? a >0 ?



? ?a+1>0 a ??=(a +a+1) -4a(a+1)≥0
2 2

a2+a+1 >0 a

?-1<a<0 或 a>0. 综上:方程至少有一正根的充要条件是 a>-1. 解法 2:若 a=0,则方程即为-x+1=0,∴x=1 满足条件; 若 a≠0,∵?=(a2+a+1)2-4a(a+1) =(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1) =(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0, ∴方程一定有两个实根. 故而当方程没有正根时,应有

?a +a+1≤0 a ?a+1 ? a ≥0

2

,解得 a≤-1.

∴至少有一正根时应满足 a>-1 且 a≠0, 综上,方程有一正根的充要条件是 a>-1. 四、逻辑用语在描述数学问题中的应用 逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科, 是人们认识和研究问题不可缺少的工具, 是 为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力而设置的.关于逻辑用语的知识较为抽象, 在高考命题中较少单独考查这一方面知识, 更多会作为一种描述数学问题的语言出现. 所以, 结合实际问题对逻辑用语进行理解是掌握这方面知识的关键. [例 4] 命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的正实数根,命题 q:方程 4x2+4(m+ 2)x+1=0 无实数根.若“p 或 q”为真命题,求 m 的取值范围. [解析] “p 或 q”为真命题,则 p 为真命题,或 q 为真命题,或 p 和 q 都是真命题.

??=m -4>0 ? (1)当 p 为真命题时,则?x1+x2=-m>0 ?x x =1>0 ? 12

2

,得 m<-2;

(2)当 q 为真命题时,则 ?=16(m+2)2-16<0, 得-3<m<-1;

综上,m 的取值范围是 m<-1. 五、利用集合关系,借助于数轴、维恩图求参数的值或参数的范围 1.集合关系转化 A∩B=B?B?A;A∪B=B?A?B 2.借助数轴、维恩图解集合问题使解答直观、简捷. 3.含参数的,常需分类讨论,或进行等价转化. [例 5] 由集合 A={x|1<ax<2},B={x|-1<x<1},求满足 A?B 的实数 a 的范围. [解析] ∵B={x|-1<x<1}. (1)当 a=0 时,A=?,∴满足 A?B. 2? ? 1 (2)当 a>0 时,A=?x|a<x<a?,
? ?

?a≥-1 ∵A?B,∴? 2 ?a≤1

1

,∴a≥2.

1? ? 2 (3)当 a<0 时,A=?x|a<x<a?.
? ?

?a≥-1 ∵A?B,∴? 1 ?a≤1

2

,∴a≤-2.

综上可知:a=0 或 a≥2 或 a≤-2. 六、等价转化思想在解题中的应用 一个命题的原命题与其逆否命题同真假; 当一个命题的真假不易判断时, 可以通过判断 它的逆否命题的真假,从而得知原命题的真假. [例 6] 已知 p:x+y≠3,q:x≠1 或 y≠2,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [分析] 当条件用否定形式表达时,最好运用原命题和其逆否命题的同真同假性来求 )

解,即 p?q 与?q??p 同真同假,q?p 与?p??q,同真同假. [解析] 选 A.因为?p:x+y=3,?q:x=1 且 y=2,则?q??p 为真,?p??q 为假,所 以 p?q 为真,q?p 为假.所以 p 是 q 的充分而不必要条件.


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