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2015-2016年海安县七校联考八年级下期中数学试卷含答案解析


2015-2016 学年江苏省南通市海安县七校联考八年级(下)期中 数学试卷
一、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 1.下列根式中是最简二次根式的是( A. B. ) C. ) C. D.

2.下列式子中正确的是( A. B. D.

3.已知 a=3,b=4,若 a,b,c 能组成直角三角形,则 c=( A.5 B. C .5 或

) D.5 或 6

4.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 长不可 能是( )

A.3.5

B.4.2

C.5.8 )

D.7

5.有下列四个命题,其中正确的个数为(

①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; ②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形; ③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形; ④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形. A.4 B.3 C .2 D.1

6.如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1、S2, 则 S1+S2 的值为( )

A.16

B.17

C.18

D.19

7.若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得四边形是矩形,则四边形 ABCD 必然是(



A.菱形 C.正方形

B.对角线相互垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

8.已知点(x1,y1),(x2,y2)都在直线 y=﹣ x﹣6 上,如 x1>x2,则 y1 和 y2 大小关 系是( A.y1>y2 ) B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能比较 )

9.若点 A(2,4)在函数 y=kx﹣2 的图象上,则下列各点在函数图象上的是(

A.(0,﹣2)

B.( ,0)

C.(8,20)

D.( , )

10.在同一平面直角坐标系中,若一次函数 y=﹣x+3 与 y=3x﹣5 的图象交于点 M,则点 M 的坐标为( A. ) C.

二、填空(每小题 3 分,共 24 分) 11.要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 .

12.如右图,Rt△ABC 的面积为 20cm2,在 AB 的同侧,分别以 AB,BC,AC 为直径作三 个半圆,则阴影部分的面积为 .

13.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为



14.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,则∠AEB=



15.当直线 y=kx+b 与直线 y=﹣2x+1 平行,且 y=kx+b 与 y=x+4 和 x 轴交于一点,则 y=kx+b 的解析式为 . ,E 为 AB 上一点,若 EF⊥AC 于 F,EG⊥BD

16.如图,正方形 ABCD 的对角线长为 8 于 G,则 EF+EG= .

17.如图,已知函数 y1=k1x+b1 和 y2=k2x+b2 交于点(﹣3,1),k1>0,k2<0,如 k1x+b1 <k2x+b2,则 x 的范围为 .

18.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.连结对角线 AC,以 AC 为边作第二个 菱形 ACEF,使∠FAC=60°.连结 AE,再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使∠HAE=60°… 按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 .

三、解答(第 19 题 9 分,第 20 题,24 题每题 6 分,第 21 题 5 分,第 22 题和第 23 题,25 题每题 7 分,第 26 题 9 分,共计 56 分) 19.计算 (1)(2 (2)2 ﹣3 +3 ﹣ ,y= )÷ ﹣ ,求 x2+y2.

(3)已知 x=

20.如图所示,矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,沿 EF 折叠,点 B 恰好与点 D 重合,点 C 落在点 G 处,求折痕 EF 的长度.

21.如图,E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AE=CF.求证:四边形 DEBF 是平行四边形.

22.如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 为菱形; (2)如 AB=2,AC 与 BD 所夹锐角为 60°,求四边形 OCED 的面积.

23.如图,△ABC 中,CE 和 CF 分别平分∠ACB 和△ABC 的外角∠ACD,一动点 O 在 AC 上运动,过点 O 作 BD 的平行线与∠ACB 和∠ACD 的角平分线分别交于点 E 和点 F.

(1)求证:当点 O 运动到什么位置时,四边形 AECF 为矩形,说明理由; (2)在第(1)题的基础上,当△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 为正方形,说明理 由.

24.已知 y 与 x﹣1 成一次函数关系,且当﹣2<x<3 时,2<y<4,求 y 与 x 的函数解析式.

25.将直线 y=﹣ x+2 先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,所得新的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,另有一条直线 y=x+1. (1)求 l 的解析式; (2)求点 A 和点 B 的坐标; (3)求直线 y=x+1 与直线 l 以及 y 轴所围成的三角形的面积. 26.甲乙两工程队同时修路,两队所修路的长度相等,甲队施工速度一直没变,乙队在修了 3 小时后加快了修路速度,在修了 5 小时后,乙又因故施工速度减少到每小时 5 米,如图所 示是两队所修公路长度 y(米)与所修时间 x(小时)的图象,请回答下列问题.

(1)直接写出甲队在 0≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数关系式为 乙队在 3≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数关系式为 (2)求开修多长时间后,乙队修的长度超过甲队 10 米; (3)如最后两队同时完成任务,求乙队从开修到完工所修长度为多少米. ;

;直接写出

2015-2016 学年江苏省南通市海安县七校联考八年级 (下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、单项选择题(每小题 2 分,共 20 分) 1.下列根式中是最简二次根式的是( A. B. ) C. D.

【考点】最简二次根式. 【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行, 或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数 2,且被开方数中不含 有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察. 【解答】解:A、符合最简二次根式的定义,故 A 选项正确; B、二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故 B 选项错误; C、二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数,故 C 选项错误; D、被开方数中含有分母,故 D 选项错误; 故选:A. 【点评】此题考查最简根式问题,在判断最简二次根式的过程中要注意: (1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;

(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数等于或大于 2,也 不是最简二次根式.

2.下列式子中正确的是( A. B. D. 【考点】二次根式的加减法.

) C.

【分析】根据二次根式的运算法则分别计算,再作判断. 【解答】解:A、不是同类二次根式,不能合并,故错误;

B、D、开平方是错误的; C、符合合并同类二次根式的法则,正确. 故选 C. 【点评】 同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后, 被开方数相同的二次根式.

二次根式的加减运算,先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并.

3.已知 a=3,b=4,若 a,b,c 能组成直角三角形,则 c=( A.5 B. C .5 或

) D.5 或 6

【考点】勾股定理的逆定理. 【分析】注意有两种情况一是所求边为斜边,二所求边位短边. 【解答】解:分两种情况: 当 c 为斜边时,c= 当长 4 的边为斜边时,c= 故选 C. 【点评】本题利用了勾股定理求解,注意要讨论 c 为斜边或是直角边的情况. =5; = (根据勾股定理列出算式).

4.如图,△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点 P 是 BC 边上的动点,则 AP 长不可 能是( )

A.3.5

B.4.2

C.5.8

D.7

【考点】含 30 度角的直角三角形;垂线段最短. 【分析】 利用垂线段最短分析 AP 最小不能小于 3; 利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AB=6,可知 AP 最大不能大于 6.此题可解. 【解答】解:根据垂线段最短,可知 AP 的长不可小于 3; ∵△ABC 中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,

∴AB=6, ∴AP 的长不能大于 6. 故选:D. 【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含 30 度角的直角三角形的理解和掌握,解 答此题的关键是利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AB=6.

5.有下列四个命题,其中正确的个数为(



①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; ②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形; ③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形; ④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形. A.4 【考点】命题与定理. 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法逐一判定即可. B.3 C .2 D.1

【解答】解:①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;正确; ②一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形;正确; ③两条对角线互相垂直的平行四边形是矩形;错误; ④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形;错误; 正确的个数为 2 个; 故选:C. 【点评】本题考查了命题与定理、平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法;熟记 平行四边形、矩形、菱形、以及正方形的判定方法是解决问题的关键.

6.如图,边长为 6 的大正方形中有两个小正方形,若两个小正方形的面积分别为 S1、S2, 则 S1+S2 的值为( )

A.16 【考点】勾股定理.

B.17

C.18

D.19

【分析】由图可得,S2 的边长为 3,由 AC= EC=2

BC,BC=CE=

CD,可得 AC=2CD,CD=2,

;然后,分别算出 S1、S2 的面积,即可解答.

【解答】解:如图, 设正方形 S1 的边长为 x, ∵△ABC 和△CDE 都为等腰直角三角形, ∴AB=BC,DE=DC,∠ABC=∠D=90°, ∴sin∠CAB=sin45°= ∴AC= BC=2CD, = ,即 AC= BC,同理可得:BC=CE= CD,

又∵AD=AC+CD=6, ∴CD= =2, ∴EC2=22+22,即 EC=2 ∴S1 的面积为 EC2=2 ; ×2 =8;

∵∠MAO=∠MOA=45°, ∴AM=MO, ∵MO=MN, ∴AM=MN, ∴M 为 AN 的中点, ∴S2 的边长为 3, ∴S2 的面积为 3×3=9, ∴S1+S2=8+9=17. 故选 B.

【点评】本题考查了勾股定理,要充分利用正方形的性质,找到相等的量,再结合三角函数 进行解答.

7.若顺次连接四边形 ABCD 各边中点所得四边形是矩形,则四边形 ABCD 必然是(



A.菱形 C.正方形

B.对角线相互垂直的四边形 D.对角线相等的四边形

【考点】矩形的判定;三角形中位线定理. 【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解;首先根据三角形中位线定理知: 所得四边形的对边都平行且相等,那么其必为平行四边形,若所得四边形是矩形,那么邻边 互相垂直,故原四边形的对角线必互相垂直,由此得解. 【解答】解:已知:如右图,四边形 EFGH 是矩形,且 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、 AD 的中点,求证:四边形 ABCD 是对角线垂直的四边形. 证明:由于 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点, 根据三角形中位线定理得:EH∥FG∥BD,EF∥AC∥HG; ∵四边形 EFGH 是矩形,即 EF⊥FG, ∴AC⊥BD;故选 B.

【点评】本题主要利用了矩形的性质和三角形中位线定理来求解.

8.已知点(x1,y1),(x2,y2)都在直线 y=﹣ x﹣6 上,如 x1>x2,则 y1 和 y2 大小关 系是( A.y1>y2 ) B.y1=y2 C.y1<y2 D.不能比较

【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】根据一次函数中,当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小可以解答本题. 【解答】解:∵y=﹣ x﹣6,k=﹣ <0, ∴在 y=﹣ x﹣6 的图象上 y 随 x 的增大而减小,

∵点(x1,y1),(x2,y2)都在直线 y=﹣ x﹣6 上,x1>x2, ∴y1<y2. 故选 C. 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确一次函数中,当 k<0 时,y 随 x 的增大而减小.

9.若点 A(2,4)在函数 y=kx﹣2 的图象上,则下列各点在函数图象上的是(



A.(0,﹣2)

B.( ,0)

C.(8,20)

D.( , )

【考点】一次函数图象上点的坐标特征. 【分析】将点 A(2,4)代入函数解析式求 k,再把点的坐标代入解析式,逐一检验.

【解答】解:把点 A(2,4)代入 y=kx﹣2 中, 得 2k﹣2=4,解得 k=3; 所以,y=3x﹣2, 四个选项中,只有 A 符合 y=3×0﹣2=﹣2. 故选 A. 【点评】用待定系数法求函数解析式是确定解析式常用的方法.

10.在同一平面直角坐标系中,若一次函数 y=﹣x+3 与 y=3x﹣5 的图象交于点 M,则点 M 的坐标为( A. ) C.

【考点】两条直线相交或平行问题. 【分析】联立两直线解析式,解方程组即可. 【解答】解:联立 ,

解得



所以,点 M 的坐标为(2,1). 故选 D.

【点评】 本题考查了两条直线的交点问题, 通常利用联立两直线解析式解方程组求交点坐标, 需要熟练掌握.

二、填空(每小题 3 分,共 24 分) 11.要使代数式 有意义,则 x 的取值范围是 x .

【考点】二次根式有意义的条件;分式有意义的条件. 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于 0,分母不等于 0,就可以 求解. 【解答】解:根据题意得: 解得:x≥ . 故答案是:x≥ . 【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为 0;二次根式的被开方数是非负数. ,

12.如右图,Rt△ABC 的面积为 20cm2,在 AB 的同侧,分别以 AB,BC,AC 为直径作三 个半圆,则阴影部分的面积为 20cm2 .

【考点】勾股定理. 【分析】根据阴影部分的面积等于以 AC、CB 为直径的两个半圆的面积加上△ABC 的面积 再减去以 AB 为直径的半圆的面积列式并整理,再利用勾股定理解答. 【解答】解:由图可知,阴影部分的面积= π( AC)2+ π( BC)2+S△ ABC﹣ π( AB)
2

, (AC2+BC2﹣AB2)+S△ ABC,

=

在 Rt△ABC 中,AC2+BC2=AB2, ∴阴影部分的面积=S△ ABC=20cm2.

故答案为:20cm2. 【点评】本题考查了勾股定理,阴影部分的面积表示,观察图形,准确表示出阴影部分的面 积是解题的关键.

13.直角三角形两直角边长分别为 5 和 12,则它斜边上的高为 【考点】勾股定理.



【分析】 本题可先用勾股定理求出斜边长, 然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可.

【解答】解:由勾股定理可得:斜边长 2=52+122, 则斜边长=13, 直角三角形面积 S= ×5×12= ×13×斜边的高, 可得:斜边的高= 故答案为: . .

【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用,看清题中条件即可.

14.如图,在正方形 ABCD 的外侧,作等边△ADE,则∠AEB= 15° .

【考点】正方形的性质;等边三角形的性质. 【分析】由四边形 ABCD 为正方形,三角形 ADE 为等比三角形,可得出正方形的四条边相 等, 三角形的三边相等, 进而得到 AB=AE, 且得到∠BAD 为直角, ∠DAE 为 60°, 由∠BAD+ ∠DAE 求出∠BAE 的度数,进而利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求出∠ AEB 的度数. 【解答】解:∵四边形 ABCD 为正方形,△ADE 为等边三角形, ∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=90°,∠DAE=60°,

∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=150°, 又∵AB=AE, ∴∠AEB= 故答案为:15°. 【点评】此题考查了正方形的性质,以及等边三角形的性质,利用了等量代换的思想,熟练 掌握性质是解本题的关键. =15°.

15.当直线 y=kx+b 与直线 y=﹣2x+1 平行,且 y=kx+b 与 y=x+4 和 x 轴交于一点,则 y=kx+b 的解析式为 y=﹣2x﹣8 . 【考点】两条直线相交或平行问题. 【分析】根据平行 k 相同可以求出 k,求出直线 y=x+4 和 x 轴交点代入 y=kx+b 可以求出 b, 由此即可解决问题. 【解答】解:∵直线 y=kx+b 与直线 y=﹣2x+1 平行, ∴k=﹣2, ∵y=kx+b 与 y=x+4 和 x 轴交于一点, ∴经过点(﹣4,0), ∴0=﹣2×(﹣4)+b, ∴b=﹣8, ∴y=kx+b 的解析式为 y=﹣2x﹣8, 故答案为 y=﹣2x﹣8. 【点评】本题考查两直线平行或相交问题,记住两直线平行 k 相同,灵活应用待定系数法求 函数解析式,属于中考常考题型.

16.如图,正方形 ABCD 的对角线长为 8 于 G,则 EF+EG= 4 .

,E 为 AB 上一点,若 EF⊥AC 于 F,EG⊥BD

【考点】正方形的性质. 【分析】正方形 ABCD 的对角线交于点 O,连接 0E,由正方形的性质和对角线长为 8 得出 OA=OB=4 ;进一步利用 S△ ABO=S△ AEO+S△ EBO,整理得出答案解决问题. ,

【解答】解:如图:

∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OB=4 ,

又∵S△ ABO=S△ AEO+S△ EBO, ∴ OAOB= OAEF+ OBEG, 即 ×4 ×4 . . = ×4 ×(EF+EG)

∴EF+EG=4 故答案为:4

【点评】此题考查正方形的性质,三角形的面积计算公式;利用三角形的面积巧妙建立所求 线段与已知线段的关系,进一步解决问题.

17.如图,已知函数 y1=k1x+b1 和 y2=k2x+b2 交于点(﹣3,1),k1>0,k2<0,如 k1x+b1 <k2x+b2,则 x 的范围为 x<﹣3 .

【考点】一次函数与一元一次不等式. k1x+b1<k2x+b2 就是 y1=k1x+b1 的图象在 y2=k2x+b2 的图象的下边时对应的 x 的范围, 【分析】 根据图象即可判断.

【解答】解:根据图象可得 x 的范围是 x<﹣3. 故答案是:x<﹣3. 【点评】 本题考查了利用一次函数图象解不等式以及一次函数的性质, 确定两个函数的解析 式与图象的对应关系是关键.

18.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°.连结对角线 AC,以 AC 为边作第二个 菱形 ACEF,使∠FAC=60°.连结 AE,再以 AE 为边作第三个菱形 AEGH 使∠HAE=60°… 按此规律所作的第 n 个菱形的边长是 ( )n﹣1 .

【考点】菱形的性质. 【分析】连接 DB 于 AC 相交于 M,根据已知和菱形的性质可分别求得 AC,AE,AG 的长, 从而可发现规律根据规律不难求得第 n 个菱形的边长. 【解答】解:连接 DB, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AD=AB.AC⊥DB, ∵∠DAB=60°, ∴△ADB 是等边三角形, ∴DB=AD=1, ∴BM= , ∴AM= ∴AC= , , AC=( )2,AG= AE=3 =( )3,

同理可得 AE=

按此规律所作的第 n 个菱形的边长为(

)n﹣1,

故答案为(

)n﹣1.

【点评】此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力.

三、解答(第 19 题 9 分,第 20 题,24 题每题 6 分,第 21 题 5 分,第 22 题和第 23 题,25 题每题 7 分,第 26 题 9 分,共计 56 分) 19.计算 (1)(2 (2)2 ﹣3 +3 ﹣ ,y= )÷ ﹣ ,求 x2+y2.

(3)已知 x=

【考点】二次根式的混合运算. 【分析】(1)先把括号内的各二次根式化为最简二次根式,然后合并后进行二次根式的除 法运算; (2)先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可; (3)先利用分母有理化化简 x 和 y,再计算 x+y 与 xy 的值,然后利用完全平方公式把原式 变形为(x+y)2﹣2xy,再利用整体代入的方法计算. 【解答】解:(1)原式=(8 =﹣ =﹣ =﹣ ; +2 ﹣ ﹣ ÷ ﹣9 )÷

(2)原式=4

=2

; ﹣1,y=﹣( +1)=﹣ ﹣1,

(3)x=

所以 x+y=﹣2,xy=﹣2, 所以原式=(x+y)2﹣2xy =(﹣2)2﹣2×(﹣2) =8. 【点评】本题考查了二次根式的计算:先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式 的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活 运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.

20.如图所示,矩形 ABCD 中,AB=8,AD=6,沿 EF 折叠,点 B 恰好与点 D 重合,点 C 落在点 G 处,求折痕 EF 的长度.

【考点】矩形的性质;翻折变换(折叠问题). 【分析】作 EM⊥CD,垂足为点 M 设 DE=x,由折叠的性质得出∠DEF=∠BEF,BE=DE=x, 得出 AE=8﹣x,再由矩形的性质得出∠DEF=∠DFE,证出 DE=DF,在 Rt△ADE 中,由勾 股定理得出方程,解方程求出 DE,得出 AE、MF,由勾股定理求出 EF 即可.

【解答】解:作 EM⊥CD,垂足为点 M,如图所示: 设 DE=x, 由折叠的性质得:∠DEF=∠BEF,BE=DE=x, ∴AE=8﹣x, ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠A=90°,AB∥CD, ∴∠DFE=∠BEF, ∴∠DEF=∠DFE, ∴DE=DF,

在 Rt△ADE 中,由勾股定理得:(8﹣x)2+62=x2, 解得:x= , = , , ﹣ = ,

∴AE=DM=8﹣ 又∵DF=DE=

∴MF=DF﹣DM= 又∵ME=AD=6, ∴EF= =

=



【点评】此题主要考查了翻折变换的性质矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定;熟练 掌握翻折变换和矩形的性质,由勾股定理得出方程求出 BE 是解决问题的关键.

21.如图,E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点,AE=CF.求证:四边形 DEBF 是平行四边形.

【考点】平行四边形的判定与性质;全等三角形的性质. 【分析】首先连接 BD,交 AC 于点 O,由四边形 ABCD 是平行四边形,根据平行四边形的 对角线互相平分,即可求得 OA=OC,OB=OD,又由 AE=CF,可得 OE=OF,然后根据对角 线互相相平分的四边形是平行四边形. 【解答】证明:连接 BD,交 AC 于点 O, ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵AE=CF,

∴OA﹣AE=OC﹣CF, 即 OE=OF, ∴四边形 DEBF 是平行四边形.

【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注 意数形结合思想的应用.

22.如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,DE∥AC,CE∥BD. (1)求证:四边形 OCED 为菱形; (2)如 AB=2,AC 与 BD 所夹锐角为 60°,求四边形 OCED 的面积.

【考点】矩形的性质;菱形的判定. 【分析】(1)先根据 DE∥AC、CE∥BD 判定四边形 ODEC 是平行四边形,然后根据矩形 的性质:矩形的对角线相等且互相平分,可得 OC=OD,由此可判定四边形 OCED 是菱形.

(2)作 DM⊥OC,垂足为点 M,证明△COD 为等边三角形,得出 OC=CD=OD=2,得出 CM=1,DM= CM= ,菱形 OCED 面积=OCDM,即可得出结果.

【解答】(1)证明:∵DE∥AC,CE∥BD, ∴四边形 OCED 为平行四边形, ∵四边形 ABCD 为矩形, ∴AC=BD,OC= AC,OD= BD, ∴OC=OD, ∴四边形 OCED 为菱形; (2)解:作 DM⊥OC,垂足为点 M, ∵OC=OD,∠COD=60°,

∴△COD 为等边三角形, ∴OC=CD=OD, ∵AB=2,四边形 ABCD 是矩形, ∴CD=AB=2, ∴OC=CD=OD=2, ∵DM⊥OC, ∴CM=1, ∴DM= CM= , .

∴菱形 OCED 面积=OCDM=2

【点评】本题主要考查矩形的性质,平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与 性质;熟练掌握矩形的性质和菱形的判定,证明三角形是等边三角形是解决问题(2)的关 键.

23.如图,△ABC 中,CE 和 CF 分别平分∠ACB 和△ABC 的外角∠ACD,一动点 O 在 AC 上运动,过点 O 作 BD 的平行线与∠ACB 和∠ACD 的角平分线分别交于点 E 和点 F.

(1)求证:当点 O 运动到什么位置时,四边形 AECF 为矩形,说明理由; (2)在第(1)题的基础上,当△ABC 满足什么条件时,四边形 AECF 为正方形,说明理 由.

【考点】正方形的判定;矩形的判定. 【分析】(1)利用角平分线的性质以及平行线的性质得出 OE=OF,即可得出结论;

(2)证出 EF⊥AC,即可得出结论. 【解答】(1)证明:当点 O 运动到 AC 的中点位置时,四边形 AECF 为矩形;理由如下:

∵O 为 AC 中点, ∴OA=OC, ∵EF∥BD, ∴∠CEO=∠ECB, ∵CE 平分∠ACB, ∴∠BCE=∠ACE, ∴∠CEO=∠ECO, ∴OE=OC, 同理可证,OC=OF, ∴OE=OF, ∴四边形 AECF 为平行四边形, 又∵EF=2OE,AC=2OC, ∴EF=AC, ∴四边形 AECF 为矩形; (2)解:当∠ACB=90°时,四边形 AECF 为正方形; 理由如下:∵EF∥BD,∠ACB=90°, ∴∠AOE=90°, ∴EF⊥AC, ∵四边形 AECF 为矩形, ∴四边形 AECF 为正方形. 【点评】本题考查了正方形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的判定; 熟练掌握平行四边形的判定方法,证出 OE=OF 是解决问题的关键.

24.已知 y 与 x﹣1 成一次函数关系,且当﹣2<x<3 时,2<y<4,求 y 与 x 的函数解析式.

【考点】待定系数法求一次函数解析式.

【分析】进行分类讨论 k 大于 0 还是小于 0,列出二元一次方程组求出 k 和 b 的值即可.

【解答】解:设 y=k(x﹣1)+b(k≠0),依题意得: 当 k>0 时,2=﹣3k+b①,4=2k+b②, 由①②得:k= ,B= ,∴y= x+ ;

当 k<0 时,4=﹣3k+b①,2=2k+b②, 由①②得:k=﹣ ,b= ,∴y=﹣ x+ ; 或 y=﹣ x+ .

综上所述:y 与 x 的函数解析式为 y= x+

【点评】 本题主要考查待定系数法求一次函数的解析式的知识, 解答本题的关键是熟练掌握 一次函数的性质,注意分类讨论.

25.将直线 y=﹣ x+2 先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度,所得新的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,另有一条直线 y=x+1. (1)求 l 的解析式; (2)求点 A 和点 B 的坐标; (3)求直线 y=x+1 与直线 l 以及 y 轴所围成的三角形的面积. 【考点】一次函数图象与几何变换. 【分析】(1)根据图象平移的规律:左加右减,上加下减,可得答案; (2)根据自变量与函数值的对应关系,可得答案; (3)根据解方程组,可得交点坐标,根据三角形的面积公式,可得答案. 【解答】解:(1)直线 y=﹣ x+2 先向右平移一个单位长度,再向上平移一个单位长度得

y=﹣ (x﹣1)+2+1,化简得 y=﹣ x+ . (2)当 y=0 时,0=﹣ x+ .解得 x=7,即 A(7,0); 当 x=0 时,y= ,B(0, );

(3)将 y=﹣ x+ 和 y=x+1 联成方程组解得两直线交点为( , ). 再求出两直线与 y 轴交点分别为(0, )和(0,1), 所以三角形面积为 × ×( ﹣1)= .

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换,利用图象平移的规律是解题关键.

26.甲乙两工程队同时修路,两队所修路的长度相等,甲队施工速度一直没变,乙队在修了 3 小时后加快了修路速度,在修了 5 小时后,乙又因故施工速度减少到每小时 5 米,如图所 示是两队所修公路长度 y(米)与所修时间 x(小时)的图象,请回答下列问题.

(1)直接写出甲队在 0≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数关系式为 y=14x 在 3≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数关系式为 y=35x﹣85 ; (2)求开修多长时间后,乙队修的长度超过甲队 10 米; (3)如最后两队同时完成任务,求乙队从开修到完工所修长度为多少米.

;直接写出乙队

【考点】一次函数的应用. 【分析】(1)甲的图象是过原点的直线,过(5,70),乙队在 3≤x≤5 的时间段内是一次 函数,可以利用待定系数法求得函数的解析式; (2)根据图象,可分两种情况:①3≤x≤5;②x>5.分别根据乙队修的长度超过甲队 10 米列出方程,求解即可;

(3)设乙队从开修到完工所修水渠的长度为 m 米,乙队在修筑 5 小时后,甲剩余(m﹣70) 米,乙剩余(m﹣90)米,根据两队同时完成任务,即时间相等,即可列方程求解.

【解答】解:(1)设甲队在 0≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数的解析式是 y=kx,

根据题意得:5k=70,解得:k=14, 则甲的函数解析式是:y=14x. ②设乙队在 3≤x≤5 时间段内,y 与 x 的函数的解析式是:y=mx+b, 根据题意得: 解得: . ,

则函数解析式是:y=35x﹣85. 故答案为 y=14x;y=35x﹣85;

(2)分两种情况: ①当 3≤x≤5 时,由题意得 35x﹣85﹣14x=10, 解得 x= ;

②当 x>5 时, 乙队 y 与 x 的函数的解析式是:y=5(x﹣5)+90. 由题意得 5(x﹣5)+90﹣14x=10, 解得 x= 答:开修 . 或 小时后,乙队修的长度超过甲队 10 米;

(3)由图象得,甲队的速度是 70÷5=14(米/时). 设乙队从开修到完工所修长度为 m 米. 根据题意得: 解得 m= . 米. = ,

答:乙队从开修到完工所修的长度为

【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题,待定系数法求函数的解析式,以及列方程 解应用题,此类题是近年中考中的热点问题.


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