江西省余江县第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题

余江一中 2015-2016 学年高二(上)期中考试(文)数学试卷
时间:120 分钟 总分:150 分 命题人:舒张晗疑 祝翠华

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知直线 l1 : x+my+6=0, l2 : (m-2)x+3y+2m=0,若 l1 ∥ l2 ,则实数 m 的值是( A.3 B. ?1,3 C. ?1 D. ? 3 )

2.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的离心率为 2 ,一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦 a 2 b2
) C. y ? ?

点相同,则双曲线的渐近线方程为( A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ? 3x
2 2

3 x 3

D. y ? ?

3 x 2
) .

3. 过点 P ? a,5? 作圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 4 的切线,切线长为 2 3 ,则 a 等于(

A.-1 B.-2 C.-3 D.0 2 2 x y 4.椭圆 + =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此 4 3 弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0
2

) B.4x+6y-7=0
2 2

C.3x-2y-2=0

D.4x-6y-1=0

5. 方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图可能 是( )

6.点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点, 则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离和 的最小值是( A. 5 ) B. 3 C.2
2 2

D.

2

2 7.已知抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 )与椭圆

x y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )有相同的焦点 F ,点 2 a b
) D.

A 是两曲线的一个公共点,且 AF ? x 轴,则椭圆的离心率为(
A. 3 ?1 B. 2 ? 1 C.

5 ?1 2

2 2 ?1 2

8.设抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,垂足为 A, 如果△APF 为正三角形,那么|PF|等于( A.4 3 B.6 3
2 2

) C.6 D.12

x y 9.P 是长轴在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 上的点,F1、F2 分别为椭圆的两个焦点,椭圆的 a b 半焦距为 c,则|PF1|· |PF2|的最大值与最小值之差一定是( ) 2 2 A.1 B.a C.b D.c2
10.已知点 P 是椭圆 轨迹方程是(
2

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点, A(4, 0) ,若 M 为线段 PA 中点,则点 M 的 4
B. ( x ? 4) ? 4 y ? 1
2 2

)
2

A. ( x ? 2) ? 4 y ? 1 C. ( x ? 2) ? 4 y ? 1
2 2

D. ( x ? 4) ? 4 y ? 1
2 2

x2 y2 11.已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲 a b 线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞) D.(2,+∞) 12.已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与圆 C2 : x2 ? y 2 ? b2 ,若在椭圆 C1 上存在点 P, 2 a b

过 P 作圆的切线 PA,PB,切点为 A,B 使得 ?BPA ? ( A. [ )

?
3

,则椭圆 C1 的离心率的取值范围是

3 ,1) 2

B. [

2 3 , ] 2 2

C. [

2 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

x2 y2 ? 1 的离心率为 5 , 则 m 的值 13 .在平面直角坐标系 xOy 中 , 若双曲线 m m2 ? 4
为 .

? y ? 1≥ 0, ? 14.点 P(x,y)在 不等式组 ? x ? y ? 1 ≥ 0, 表示的平面区域内, P 到 原 点 的 距 离 的 最 大 值 ? x ≤ a(a ? 0) ?
为 5,则 a 的值为 .

15 . 点 P(8,1) 平 分 双 曲 线 x2 - 4y2 = 4 的 一 条 弦 , 则 这 条 弦 所 在 直 线 的 方 程 是 ______________.
16.设 F1,F2 为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,点 P 在双曲线的左支上,且 a 2 b2

PF2 PF1

2

的最小值为 8a,则双曲线的离心率的取值范围是



三、解答题:本大题共 6 小题、共 70 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题 10 分)已知平面区域 D 由以 P(1,2) 、R(3,5) 、Q(-3,4)为顶点的 三角形内部和边界组成 (1)设点(x,y)在区域 D 内变动,求目标函数 z=2x+y 的最小值; (2)若在区域 D 内有无穷多个点(x,y)可使目标函数

z ? mx ? y(m ? 0) 取得最小值,求 m 的值.

18.(本小题 12 分)已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程.

19.(本小题 12 分)已知抛物线 E: x ? 4 y ,过 M(1,4)作抛物线 E 的弦 AB,使弦 AB
2

以 M 为中点, (1)求弦 AB 所在直线的方程. (2) 若直线 l:y=x+b 与抛物线 E 相切于点 P,求以点 P 为圆心, 且与抛物线 E 的准线相切的 圆的方程.

20.(本小题 12 分)如图所示, F1、F2 分别为椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右两个焦点, a2 b2

? 3? A 、 B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点 ?1, ? 到 F1、F2 两点的距离之和为 4. ? 2?

(1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P、Q 两点,求△ F1PQ 的面积.

x2 y2 3 21. (本小题 12 分)已知椭圆 2 + 2 =1( a > b > 0 )的离心率为 ,且过点 2 a b
( 2,

2 ). 2

(1)求椭圆方程; (2)设不过原点 O 的直线 l : y ? kx ? m (k ? 0) ,与该椭圆交于 P 、 Q 两点,直线 OP 、

OQ 的斜率依次为 k1 、 k2 ,满足 4k ? k1 ? k2 ,试问:当 k 变化时, m 2 是否为定值?若是,
求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.

22. ( 本 小 题 12 分 ) 如 图 , 曲 线 ? 由 曲 线 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和 曲 线 a 2 b2

C2 :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点, 点 a 2 b2

F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点,
(1)若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2)如图,作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线,交曲线 C1 于点 A、B,求证:弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上;

y

F3

F1 O

F2 B

F4

x

A

(3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C、D,求△ CDF1 面积的最大 值.


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