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江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2015届高三第四次模拟考试


江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学

2015 届高三第四次模拟考试
数学Ⅰ
注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页, 包含填空题(第 1 题~第 14 题)、 解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。 本试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题纸一并交 回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔填写 在试卷及答题纸上。 3.作答时必须用书写黑色字迹的 0.5 毫米签字笔写在答题纸上的指定位置,在其它位 置作答一律无效。 4.如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚。 参考公式: 棱柱的体积公式: V ? Sh , 其中 S 是棱柱的底面积, h 是高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题卡相应 ..... 位置上 . ... 1.已知集合 A ? {?1,0,2}, B ? {x x ? 2n ?1, n ? Z}, 则 A ? B ? ▲ .

2.已知复数 z1 ? 1 ? 2i, z2 ? a ? 2i (其中 i 是虚数单位, a ? R ) ,若 z1 ? z2 是纯虚数,则 a 的值为 ▲ . 3.从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为 a ,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为 b ,则 a ? b 的概率为▲ . 4.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样 本容量为 400,右图为检测结果的频率分布直方图, 根据产品标准,单件产品长度在区间 [25,30) 的为一 等品,在区间 [20, 25) 和 [30,35) 的为二等品,其余 均为三等品,则样本中三等品的件数为 ▲ . 5. 右 面 是 一 个 算 法 的 伪 代 码 , 其 输 出 的 结 果 为 ▲ .

S?0 For i From 1 To 10 Step 1 1 S ?S? i(i ? 1) End For Pr int S

6. 若函数 f ( x) ? sin(wx)(w ? 0) 在区间 [0,

?

] 上单调递增,在区间 [ , ] 单调递减,则 3 3 2

? ?

w 的值为



.

7.在平面直角坐标系 xoy 中,若双曲线 C : 双曲线 C 的渐近线方程为 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 10 ,则 a 2 b2

? x ? y ? 1 ? 0, ? 8.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 3 ? 0, 则当 2 x ? y 取得最小值时, x 2 ? y 2 的值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0, ?



.

9.在平面直角坐标系 xoy 中,P 是曲线 C : y ? ex 上的一点, 直线 l : x ? 2 y ? c ? 0 经过点

P ,且与曲线 C 在 P 点处的切线垂直,则实数 c 的值为 ▲

. ▲ .

10.设 x ? 0, y ? 0, 向量 a ? (1 ? x,4), b ? ( x, ? y), 若 a // b ,则 x ? y 的最小值为

r

r

r

r

11.以知 f ( x ) 是定义在区间 [?1,1] 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) , 则关于 m 的 不等式 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 的解集为 ▲ .

12.设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若 Sn ? nan ? 3n(n ?1)(n ? N * ) ,且 a2 ? 11 ,则 S20 的 值为 13. 在 ▲ .

?ABC







知 ▲ .

s iA ? n

1 B 3 s Ci ? n

As i n

B ,则 c o C s

tan A ? tan B ? tan C 的值为

14. 在平面直角坐标系 xoy 中,设 A, B 为函数 f ( x) ? 1 ? x 2 的图象与 x 轴的两个交点,

uuu r uuu r C , D 为函数 f ( x) 的图象上的两个动点,且 C , D 在 x 轴上方(不含 x 轴) ,则 AC ? BD 的
取值范围为 ▲ .

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域 内作答. 解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

△ ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的所对边的长,若 a cos B ? 1 , b sin A ?

2 ,且

A? B ?

?
4



(1)求 a 的值; (2)求 tan A 的值.

16. (本小题满分 14 分)
0 如图, 在四面体 ABCD 中,AD ? BD ,?ABC ? 90 ,

A

点 E , F 分别为棱 AB, AC 上的点,点 G 为棱 AD 的中 点,且平面 EFG // 平面 BCD .求证: B

E F

G D

1 BC ; 2 (2)平面 EFD ? 平面 ABC
(1) EF ?

C

17. (本小题满分 14 分) 某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐(上下底面及侧面的厚度不计) ,易拉罐的体 积为 108? ml .设圆柱的高度为 hcm, 底面半径半径为 rcm, 且 h ? 4r , 假设该易拉罐的制造 费用仅与其表面积有关,已知易拉罐侧面制造费用为 m 元/ cm ,易拉罐上下底面的制造费 用均为 n 元/ cm ( m, n 为常数) (1)写出易拉罐的制造费用 y (元)关于 r (cm) 的函数表达式,并求其定义域; (2)求易拉罐制造费用最低时 r (cm) 的值.
h 2r
2

2

18. (本小题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,设椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F ,左准线为 a 2 b2

l . P 为椭圆 C 上任意一点,直线 OQ ? FP, 垂足为 Q ,直线 OQ 与 l 交于点 A . 5 (1)若 b ? 1, 且 b ? c, 直线 l 的方程为 x ? ? 2 (i)求椭圆 C 的方程 FP 1 ? ? ,若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。 (ii)是否存在点 P ,使得 FQ 10 (2)设直线 FP 与圆 O : x2 ? y 2 ? a 2 交于 M , N 两点,求证:直线 AM , AN 均与圆 O 相
切.
l M y



P F N

Q O x

19. (本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x ? x ? a, a ? R. (1)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间;

(2)若 a ? 0, 试判断函数 f ( x ) 在区间 (e?2 , e2 ) 内的极值点的个数,并说明理由; (3)求证:对任意的正数 a, 都存在实数 t ,满足:对任意的 x ? (t , t ? a), f ( x) ? a ? 1.

20. (本小题满分 16 分) 定义:从一个数列 {an } 中抽取若干项(不少于三项)按其在 {an } 中的次序排列的一列数叫 做 {an } 的子数列,成等差(比)的子数列叫做 {an } 的等差(比)子列. (1)求数列 1, , , ,

1 1 1 1 的等比子列; 2 3 4 5

(2)设数列 {an } 是各项均为实数的等比数列,且公比 q ? 1 . (i)试给出一个 {an } ,使其存在无穷项的等差子列(不必写出过程) ; (ii)若 {an } 存在无穷项的等差子列,求 q 的所有可能值.

数学参考答案及评分标准
说明:

2015.05

1.本解答给出的解法供参考.如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内

容比照评分标准制订相应的评分细则. 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,填空题不给中间分数. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.{-1} 3 6.2 11.[0,1) 【解析】 : 1.答案:{-1}. 2.因为 z1·z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i,所以 a+4=0,a=-4. 1 1 8 3.a>b 的取法只有一种:a=3,b=2,所以 a>b 的概率是9,a≤b 的概率是 1-9=9. 4.根据频率分布直方图可知,三等品的数量是[(0.0125+0.025+0.0125)×5]×400=100(件). 1 1 1 1 1 1 5.S=0+1×2+2×3+…+10×11=(1-2)+(2-3)+…+
4

2.-4 7.y=±3x 12.1240

8 3.9 8.5 13.196

4.100 9.-4-ln2

10 5.11 10.9

3 3 9 14.(-4, - ] 2 4

1 1 1 10 (10-11)=1-11=11. 4π 2? 6. 由已知条件得 f(x)=sin(?x)的周期 T 为 3 , 所以?= T 3 =2. c b b 7.因为(a)2=1+(a)2=10,所以a=3,所以渐近线方程
4 2

y x-y+1=0 A 3x-y-3=0

3

2

1

O
2 x x+y-3=0 1 4

为 y=±3x. 8.令 z=2x-y,如图,则当直线 z=2x-y 经过直线 x-y+1=0 和直线 x+y-3=0 的交点 A 时,z 取得最小值.此时 A 的坐标为(1,2), x2+y2=5.

9.由题意 y'=ex,所求切线的斜率为 2,设切点为(x0,y0),则 e =2,所 以 x0=ln2,y0=eln2=2.所以直线 x+2y+c=0 经过点 A(ln2,2),所以 c=-4-ln2. 1 4 1 4 10.因为 a∥b,所以 4x+(1-x)y=0,又 x>0,y>0,所以x +y =1,故 x+y=(x +y )(x y 4x +y)=5+x+ y ≥9. y 4x 1 4 当x= y , x +y =1 同时成立,即 x=3,y=6 时,等号成立.(x+y)min=9. 11.由题意,奇函数 f(x)是定义在[-1,1]上的减函数,不等式 f(1-m)+f(1-m2)<0,即 f(1-m)< 1, ? ?-1≤1-m≤ 2 - 1 ≤ 1 - m ≤ 1,解得 m∈[0,1). ? f(m -1),所以 2 ? ?1-m>m -1,
2

x0

12.由 S2=a1+a2=2a2-3×2(2-1)和 a2=11,可得 a1=5. 解法 1:当 n≥2 时,由 an=Sn-Sn-1,得 an=nan-3n(n-1)-[(n-1)an-1-3(n-1)(n -2)],所以(n-1)an-(n-1)an-1=6(n-1),即 an-an-1=6(n≥2,n∈N*),所以数列 20×19 {an}是首项 a1=5,公差为 6 的等差数列,所以 S20=20×5+ 2 ×6=1240. 解法 2:当 n≥2 时,由 Sn=nan-3n(n-1)=n(Sn-Sn-1)-3n(n-1),可得(n-1)Sn-nSn
-1

Sn Sn-1 Sn S1 =3n(n-1),所以 - =3,所以数列{ }是首项 =5,公差为 3 的等差数列,所 n n-1 n 1 S20 =5+3×19=62,即 S20=1240. 20



13.由题意 cosA,cosB,cosC 均不为 0,由 sinA=13sinBsinC,cosA=13cosBcosC,两式相 减得 tanA=tanBtanC, 又由 cosA=13cosBcosC,且 cosA=-cos(B+C)=sinAsinB-cosAcosB,所以 sinAsinB= 14cosAcosB,所以 tanBtanC=14.又 tanB+tanC=tan(B+C)(1-tanBtanC)=-tanA(1- tanBtanC),所以 tanA+tanB+tanC =tanAtanBtanC=196. →→ 14.由题意 A(-1,0),B(1,0),设 C(x1,1-x12),D(x1,1-x12),-1<x1,x2<1,则 AC ·BD =(x1+1)(x2-1)+(1-x12)(1-x22)=(x2-1)[(x2+1)x12+x1-x2].记 f(x)=(x2+1)x2+x-x2,

-1<x<1. 1 1 (1)当-1<x2≤-2时,则 0<2(x2+1)≤1,- ≤-1,又 x2+1>0,所以 f(x)在(- 2(x2+1) 1,1)上单调递增,因为 f(-1)=0,f(1)=2,所以 0<f(x)<2.又 x2-1<0,所以 2(x2-1) →→ →→ 1 < AC ·BD <0.根据-1<x2≤-2,则-4< AC ·BD <0. 1 1 1 (2)当-2<x2<1 时,则 1<2(x2+1)<1,-1<- <-4.又 x2+1>0,所以 f(x) 2(x2+1) 1 1 1 在(-1,1)上先减后增,x=- 时取的最小值 f(- )=-[x2+ ],又 f(1) 2(x2+1) 2(x2+1) 4(x2+1) →→ 1 1 =2,所以 x2+ <f(x)<2.又 x2-1<0,所以 2(x2-1)< AC ·BD ≤[x2+ ](1- 4(x2+1) 4(x2+1) x2). 令 g(x) = x(1 - x) +
3 2

1 -x 1 1 1 ,则 g(x) =- x2+ x -4 + , g'(x) = 1 - 2x - =- 4(x+1) 2(x+1) 2 (x+1)2

3-1 3+1 (2x+1)(x- 2 )(x+ 2 ) 4x +6x -1 3-1 3-1 1 =- ,当-2<x< 2 时,g'(x)>0; 2 <x 2(x+1)2 2(x+1)2 3-1 3 3 9 1 <1 时 g'(x)<0;所以 g(x)在(-2,1)上先增后减,所以 g(x)max≤g( 2 )= - . 2 4 →→ 3 3 9 →→ 3 3 9 又 2(x2-1)>-3, 所以-3< AC ·BD ≤ - . 综上,AC ·BD 的取值范围是(-4, - ]. 2 4 2 4 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15.解: (1)由正弦定理知,bsinA=asinB= 2,①………………… 2 分 又 acosB=1, ② ①,②两式平方相加,得(asinB)2+(acosB)2=3,……………… 4 分 因为 sin2B+cos2B=1, 所以 a= 3(负值已舍) ;…………………………… 6 分 sinB (2)①,②两式相除,得 = 2,即 tanB= 2,…………………………………………………8 cosB π 因为 A-B= , 4

π tanB+tan 4 π 所以 tanA=tan(B+ )= ……………………12 分 4 π 1-tanBtan 4 1+ 2 = =-3-2 2.………………………14 分 1- 2 16.证明: (1)因为平面 EFG∥平面 BCD, 平面 ABD∩平面 EFG=EG,平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 EG//BD,………………………………… 4 分 又 G 为 AD 的中点, 故 E 为 AB 的中点, 同理可得,F 为 AC 的中点, 1 所以 EF= BC.………………………… 7 分 2 (2)因为 AD=BD, 由(1)知,E 为 AB 的中点, 所以 AB⊥DE, 又∠ABC=90°,即 AB⊥BC, 由(1)知,EF//BC,所以 AB⊥EF, 又 DE∩EF=E,DE,EF?平面 EFD, 所以 AB⊥平面 EFD,……………………………………… 12 分 又 AB?平面 ABC, 故平面 EFD⊥平面 ABC.……………………………14 分 C B E F G D A

17.解: (1)由题意,体积 V=?r2h,得 h=

V 108 = 2 . ?r2 r

108m y=2?rh×m+2?r2×n=2? ( r +nr2).…………………………………4 分 108 因为 h≥4r,即 r2 ≥4r,所以 r≤3,即所求函数定义域为(0,3].…………6 分

108m 108m (2)令 f(r)= r +nr2,则 f'(r)=- r2 +2nr.
h

由 f'(r)=0,解得 r=3

3

2m n.
3

2r

①若

3

2m n <1,当 n>2m 时,3
3

2m n ∈(0,3],由
3

R f'(r) f(r)
3

(0,3 - 减

2m n)

3 0

2m n

3

(3 + 增

2m n ,3]

得,当 r=3

2m n 时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.…………10 分

②若

3

2m n ≥1,即 n≤2m 时,由 f'(r)≤0 知 f(r)在(0,3]上单调递减,

当 r=3 时,f(r)有最小值,此时易拉罐制造费用最低.……………………14 分 a2 5 18.解: (1) (i)由题意,b=1, c =2,又 a2=b2+c2, 1 所以 2c2-5c+2=0,解得 c=2,或 c=2(舍去).故 a2=5. x2 2 所求椭圆的方程为 5 +y =1.……………………………………………3 分 m2 m2 (ii)设 P(m,n),则 5 +n2=1,即 n2=1- 5 . 当 m=-2,或 n=0 时,均不符合题意; n 当 m≠-2,n≠0 时,直线 FP 的斜率为 , m+2 n 直线 FP 的方程为 y= (x+2). m+2 m+2 故直线 AO 的方程为 y=- n x, 2n(m+2) Q 点的纵坐标 yQ= .…………………………………………5 分 (m+2)2+n2

l M P F N Q O x y

m2 (m+2)2+1- 5 (m+2) +n 4m2+20m+25 FP n 所以FQ=|y |=| |=| |=| |. 2(m+2) 2(m+2) 10(m+2) P
2 2

FP 1 令FQ=10,得 4m2+21m+27=0 ①,或 4m2+19m+23=0 ② .………………7 分 9 由 4m2+21m+27=0,解得 m=-3,m=-4,又- 5≤m≤ 5,所以方程①无解. 由于△=192-4×4×23<0,所以方程②无解, FP 1 故不存在点 P 使FQ=10.…………………………………………………………10 分 → → a2 a2 (3)设 M(x0,y0),A(- c ,t),则FM=(x0+c,y0), OA =(- c ,t). →→ a2 因为 OA⊥FM,所以FM· OA =0,即(x0+c)(- c )+ty0=0, x0+c a2 由题意 y0≠0,所以 t= y ·c .
0

a x0+c a 所以 A(- c , y ·c ).…………………………………………………12 分
0

2

2

→ x0+c a2 → a 因为AM=(x0+ c ,y0- y ·c ),OM=(x0,y0),
0

2

→→ x0+c a2 x0+c a2 a a2 所以AM· OM=(x0+ c )x0+(y0- y ·c )y0=x02+y02+ c x0- y ·c y0
0 0

2

a a =x02+y02+ c x0- c x0-a2 =x02+y02-a2. →→ 因为 M(x0,y0)在圆 O 上,所以AM· OM=0.………………………………………15 分 即 AM⊥OM,所以直线 AM 与圆 O 相切. 同理可证直线 AN 与圆 O 相切.……………………………………………………16 分 19.解: (1)当 a=0 时,f(x)=xlnx-x,f’(x)=lnx, 令 f’(x)=0,x=1,列表分析 x f’(x) f(x) (0,1) - 单调递减 1 0 (1,+∞) + 单调递增

2

2

故 f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+∞).………………………3 分

a (2)f(x)=(x-a)lnx-x+a,f ’(x)=lnx- x ,其中 x>0, 1 令 g(x)=xlnx-a,分析 g(x)的零点情况.g’(x)=lnx+1,令 g’(x)=0,x=e,列表分析 x g’(x) g(x) 1 (0,e) - 单调递减 1 e 0 1 (e,+∞) + 单调递增

1 1 g(x)min=g(e)=-e-a,…………………………5 分 1 1 a 1 - 而 f’(e)=lne-ae=-1-ae,f’(e 2)=-2-ae2=-(2+ae2),f’(e2)=2-e2=e2(2e2-a), 1 a ①若 a≤-e,则 f’(x)=lnx- x ≥0, 故 f(x)在(e 2,e2)内没有极值点; 1 2 1 1 1 - ②若-e<a<-e2,则 f’(e)=lne-ae<0,f’(e 2)=-(2+ae2)>0,f’(e2)=e2(2e2-a)>0, 因此 f’(x)在(e 2,e2)有两个零点,f(x)在(e 2,e2)内有两个极值点; 2 1 1 1 - ③若-e2≤a<0,则 f’(e)=lne-ae<0,f’(e 2)=-(2+ae2)≤0,f’(e2)=e2(2e2-a)>0, 因此 f’(x)在(e 2,e2)有一个零点,f(x)在(e 2,e2)内有一个极值点; 1 - 综上所述,当 a∈(-∞,-e]时,f(x)在(e 2,e2)内没有极值点; 1 2 - 当 a∈(-e,-e2)时,f(x)在(e 2,e2)内有两个极值点; 2 - 当 a∈[-e2,0)时,f(x)在(e 2,e2)内有一个极值点..………………………10 分 (3)猜想:x∈(1,1+a),f(x)<a-1 恒成立.…………………………………11 分 证明如下: 1 由(2)得 g(x)在(e,+∞)上单调递增,且 g(1)=-a<0,g(1+a)=(1+a)ln(1+a)-a. 1 1 因为当 x>1 时,lnx>1-x (*),所以 g(1+a)>(1+a)(1- )-a=0. a+1 故 g(x)在(1,1+a)上存在唯一的零点,设为 x0.
- - - - -



x f’(x) f(x)

(1,x0) - 单调递减

x0 0

(x0,1+a) + 单调递增

知,x∈(1,1+a),f(x)<max{f(1),f(1+a)}.…………………………………………13 分 又 f(1+a)=ln(1+a)-1,而 x>1 时,lnx<x-1(**), 所以 f(1+a)<(a+1)-1-1=a-1=f(1). 即 x∈(1,1+a),f(x)<a-1. 所以对任意的正数 a,都存在实数 t=1,使对任意的 x∈(t,t+a),使 f(x)<a-1. ……………………………………………15 分 补充证明(*) : 1 1 1 x-1 令 F(x)=lnx+x -1,x≥1.F’(x)=x -x2= x2 ≥0,所以 F(x)在[1,+∞)上单调递增. 1 所以 x>1 时,F(x)>F(1)=0,即 lnx>1-x . 补充证明(**) 1 令 G(x)=lnx-x+1,x≥1.G’(x)=x -1≤0,所以 G(x)在[1,+∞)上单调递减. 所以 x>1 时,G(x)<G(1)=0,即 lnx<x-1.…………………………………16 分 20.解: (1)设所求等比子数列含原数列中的连续项的个数为 k(1≤k≤3,k∈N*) , 1 1 1 1 1 1 1 当 k=2 时,①设 , , 成等比数列,则 2= × ,即 m=n+ +2, n n+1 m n m n (n+1) 1 1 当且仅当 n=1 时,m∈N*,此时 m=4,所求等比子数列为 1, , ; 2 4 1 1 1 1 1 1 1 ②设 , , 成等比数列,则 2= × ,即 m=n+1+ -2?N*;…… 3 分 m n n+1 n n+1 m n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 k=3 时,数列 1, , ; , , ; , , 均不成等比, 2 3 2 3 4 3 4 5

1 1 当 k=1 时,显然数列 1, , 不成等比; 3 5 1 1 综上,所求等比子数列为 1, , .………………………………………………………5 分 2 4 (2) (i)形如:a1,-a1,a1,-a1,a1,-a1,…(a1≠0,q=-1)均存在无穷项 等差子数列: a1,a1,a1,… 或-a1,-a1,-a1,……………………………………7 分 (ii)设{an }(k∈N ,nk∈N )为{an}的等差子数列,公差为 d,
k

*

*

当|q|>1 时,|q|n>1,取 nk>1+log|q| 故|an -an |=|a1q
k+1 k

|d| |d| n -1 ,从而|q| > , |a1|(|q|-1) |a1|(|q|-1)
k

nk+1-1

-a1q

nk-1

|=|a1||q|

nk-1

· |q

nk+1-nk

-1|≥|a1||q|

nk-1

(|q|-1)>|d|,

这与|an -an |=|d|矛盾,故舍去;………………………………………………………12 分
k+1 k

当|q|<1 时,|q|n<1,取 nk>1+log|q| 故|an -an |=|a1||q|
k+1 k

|d| |d| n -1 ,从而|q| < , 2|a1| 2|a1|
k

nk-1

|q

nk+1-nk

-1|≤|a1||q|

nk-1

||q|

nk+1-nk

+1|<2|a1||q|

nk-1

<|d|,

这与|an -an |=|d|矛盾,故舍去;
k+1 k

又 q≠1,故只可能 q=-1, 结合(i)知,q 的所有可能值为-1.……………………………………………………16 分

数学附加题参考答案及评分标准
2015.05
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲 解:延长 AO? AD,分别交圆 O 于点 E? F,连接 EF? BF. 因为 AE 为圆 O 的直径,所以∠AFE=90°, 又 AD⊥BC,所以 EF//BC,所以∠CBF=∠BFE, 又∠CBF=∠CAF,∠BAE=∠BFE, 所以∠CAF=∠BAE,∠CAO=∠BAD. 在△ABC 中,AB=4,AD=2,AD⊥BC, 所以∠BAD=60°,所以∠CAO=60°.
E F

……………………………………………… 10 分

B.选修 4—2:矩阵与变换

0 -1 ? 1 0? ?cosθ -sinθ ? ? ? ?, …………………………………… 5 分 ? 解:依题意,BA=?0 k ? = 1 cosθ? ? 0? ?sinθ ?2 ? cosθ=0 ? ?-sinθ=-1, 1 从而? ksinθ= , 2 ? ?kcosθ=0.

?θ=2 , 因为 0<θ<2π,所以? 1 ?k=2.
π C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 解:易得线段 AB 的中点坐标为(5, ), 3

…………………………………………………… 10 分

……………………………………………………2 分

设点 P(ρ,θ)为直线 l 上任意一点, π 在直角三角形 OMP 中,ρcos(θ- )=5, 3

π 所以,l 的极坐标方程为 ρcos(θ- )=5, ……………………………………………………6 分 3 令 θ=0,得 ρ=10,即 C(10,0).

…………………………………………………… 8 分

1 π 所以,△ABC 的面积为: ×(9-1)×10×sin =20 3. 2 3 D.选修 4—5:不等式选讲 证明:因为|a+b|≤2,所以 |a2+2a-b2+2b|=|a+b||a-b+2| =|a+b||2a-(a+b)+2| ≤|a+b|(|2a|+|a+b|+2) ≤4(|a|+2).

……………………………………10 分

……………………………………10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共 20 分. 22.解:依题意,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系 A -xyz(如图) , 则 B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), → → 因为 DC =λ AB ,所以 C(λ,2,0), → → (1)从而 PC =(λ,2,-2), BD =(-1,2,0), → → → → PC · BD 4-λ 15 则 cos< PC , BD >= = 2 = , → → 15 λ + 8× 5 | PC |·| BD | 解得 λ=2; → → (2)易得 PC =(2,2,-2), PD =(0,2,-2), 设平面 PCD 的法向量 n=(x,y,z), → → 则 n· PC =0,且 n· PD =0,

……………………………………2 分

…………………………………… 5分 z

P

A B
x
C
(第 22 题)

D

y

即 x+y-z=0,且 y-z=0, 所以 x=0,不妨取 y=z=1, 则平面 PCD 的一个法向量 n=(0,1,1), → 又易得 PB =(1,0,-2), → → PB ·n -2 10 故 cos< PB ,n>= = =- , → 5 2× 5 | PB |·|n| 所以直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 10 . 5

…………………………………… 8 分

……………………………………10 分

23.解: (1)S1=C1f1=1,S2=C2f1+C2f2=3. 1+ 5 1- 5 (2)记?= 2 ,?= 2 . 则 Sn=

1

1

2

……………………………………2 分

n 1 n i i 1 n i 1 n i i ∑ Cn(α -βi)= ∑ Cn(αi-βi)= ( ∑ Cnαi- ∑ Cnβi) = = = = 5i 1 5i 0 5i 0 i 0



3- 5 1 1 3+ 5 [(1+?)n-(1+?)n]= [( 2 )n-( 2 )n]. 5 5

……………………………………6 分

3+ 5 3- 5 注意到( 2 )×( 2 )=1. 3- 5 + 3+ 5 3- 5 3+ 5 1 3+ 5 n + 1 {[( 2 ) - ( 2 )n 1][ ( 2 ) + ( 2 )] - [( 2 )n - 5

故 Sn + 2 = 3- 5 n 2 ) ]}

(

=3Sn+1-Sn. 因此,Sn+2 除以 8 的余数完全由 Sn+1,Sn 除以 8 的余数确定. 由(1)可以算出{Sn}各项除以 8 的余数依次是 1,3,0,5,7,0,1,3,…, 这是一个以 6 为周期的周期数列.从而 Sn 能被 8 整除,当且仅当 n 能被 3 整 除.

……………………10 分


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