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导数基础测试题一


步步高升导数检测一
一、选择题: 1. (理科)某质点的运动方程是 S ? t? (2t ? 1) 2 ,则在 t=1s 时的瞬时速度为 A.-1 B.-3 C.7 D.13 ( ) ( )

2.下列函数中,在 x=0 处的导数不等于零的是 A. y ? x(1 ? x) C.y=ln(1-x2)
2

B. y ? x ? e ? x D. y ? x 2 ? e x ( )

3.设曲线 y ? x 在点 P 处的切线斜率为 3,则点 P 的坐标为 A. (3,9) B. (-3,9) C. (

4.函数 y ? cos 2 x在点(

?
4

3 9 , ) 2 4

D. ? (

3 9 , ) 2 4
( )

,0) 处的切线方程是
B. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 D. 4 x ? 2 y ? ? ? 0
3

A. 4 x ? 2 y ? ? ? 0 C. 4 x ? 2 y ? ? ? 0
2

5.函数 f ( x) ? ( x ? 2) ( x ? 1) 的极大值点是 A.x=2
3

( D.x=-2 )



B.x=1

C.x=-1 (

7.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 的值域为 A.[-4,4] 8.已知函数 f ( x) ? B.[-3,3] C. [?4,4)

D. (-3,3)

1 3 x ? (4m ? 1) x 2 ? (15m 2 ? 2m ? 7) x ? 2 在(-∞,+∞)上是增函 3
( B.-4<m<-2 D.m<2 或 m>4 ) )

数, 则 m 的取值范围是 A.m<-4 或 m>-2 C.2<m<4

3 2 9.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx 的图象与 x 轴切于点(1,0) ,则 f (x) 的极值为(

4 ,极小值 0 27 4 C.极小值- ,极大值 0 27
A.极大值
3 2

B.极大值 0,极小值 D.极大值-

4 27

4 ,极小值 0 27


10. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值, a 的取值范围是 则 (

A. ? 1 ? a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3或a ? 6 D. a ? ?1或a ? 2 13.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确
1

的序号是

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 15.函数 f ( x) ?

1? x ? x2 在[0,1] 上的最小值是 1? x ? x2

. ,b ?

4 16.设曲线 y ? x ? ax ? b 在 x=1 处的切线方程是 y ? x ,则 a ?

. .;

17.设函数 y ? a( x 3 ? x) 的递减区间为 (? 三、解答题:

3 3 , ) ,则 a 的取值范围是 3 3

18 . 已 知 函 数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? c在x ? ?2 处 取 得 极 值 , 并 且 它 的 图 象 与 直 线

y ? ?3x ? 3 在点(1,0)处相切,求 a、b、c 的值.

x 19.已知 x ? 0 ,求证: e ? 1 ? x .

20. 已知曲线 C : y ? x 3 ? x ? 2. (1) 求曲线 C 在点 P(1,2)处的切线方程; (2) 求经过点 P(1,2)的曲线 C 的切线方程;

21.设 a ? 0,函数f ( x) ? x ? ax 在 [1,??) 上是单调函数.
3

2

(1)求实数 a 的取值范围; (2)设 x0 ≥1, f (x) ≥1,且 f ( f ( x0 )) ? x0 ,求证: f ( x0 ) ? x0

22. (06 年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量 y (升)关于行驶速度 x (千米/小时)的函数解析式可以表示为: 1 3 y? x 3 ? x ? 8(0 ? x ? 120) .已知甲、乙两地相距 100 千米 128000 80 (Ⅰ)当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少 升? (II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多 少升?

数学测试题参考答案
3

一.择题题 1—5 ACBDD, 6—10 DBCAC CCC 二.填空题 14.

7 72

;

15.

3 ; 16 . a ? ?3, b ? 3 17. 5

a ? 0;

三.解答题 18. 由曲线 y ? f (x) 过 0) 1 ? a ? b ? c ? 0 ① 又 f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax+b 则 f ?(?2) ? 12 ? 4a ? b ? 0 解: (1, 得


f ?(1) ? 3 ? 2a ? b ? ?3 ③ ……9 分. 解①②③得 a ? 1, b ? ?8, c ? 6 .

19. 设 f ( x) ? e x ? 1 ? x, 则f (0) ? 0, f ?( x) ? e x ? 1,当x ? 0时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(0,??) 上 解:
是增函数, f ( x) ? f (0),即e x ? 1 ? x ……8 分 ? 当 x ? 0 时, 同理可证 e
x

综上所述当 x ? 0 时 ? 1? x ,

e x ? 1 ? x …………12 分


f ( x) ? e x ? 1 ? x, 则f (0) ? 0, f ?( x) ? e x ? 1,当x ? 0时, f ?( x) ? 0, 故f ( x)在(0,??) 上 是 增 函
当 x ? 0 时,同理可证 e
x

数, ? f ( x) ? f (0),即e x ? 1 ? x ……8 分

? 1 ? x ,综上所述当 x ? 0 时

e x ? 1 ? x …………12 分
20.解(1)

y? ? 3x2 ? 1.

y? |x ?1 ? 3 ? 1 ? 2. ? 在点P(1,2)处的切线方程为y ? 2 ? 2( x ? 1), 即y ? 2 x.
(2)设切点为( x0 , y0 ), 则y0 ? x03 ? x0 ? 2 切线方程为y ? y0 ? (3 x0 2 ? 1)( x ? x0 ) 代入(1, 2) : 2 ? ( x03 ? x0 ? 2) ? (3 x0 2 ? 1)(1 ? x0 ), 即 ? 2 x03 ? 3 x0 2 ? 1 ? 0, 1 解得x0 ? 1, x0 ? ? . 2 1 ? 切线斜率k ? 2, 或k ? ? . 4 1 ? 切线方程为y ? 2 ? 2( x ? 1),或y ? 2 ? ? ( x ? 1) 4 即y ? 2 x, 或x ? 4 y ? 9 ? 0.
2 21.解:(1) y? ? f ?( x) ? 3x ? a, 若 f (x) 在 ?1,??? 上是单调递减函数,则

y? ? 0,即a ? 3x 2 , 这样的实数 a 不存在.故 f (x) 在 ?1,??? 上不可能是单调递减函数.若
f (x) 在 ?1,??? 上是单调递增函数,则 a ≤ 3x 2 ,由于 x ? ?1,???, 故3x 2 ? 3 .从而 0<a≤3.

4

(2)方法 1:可知 f (x) 在 ?1,??? 上只能为单调增函数. 若 1≤ x0 ? f ( x0 ) ,则

f ( x0 ) ? f ( f ( x0 )) ? x0矛盾, 若 1≤ f ( x0 ) ? x0 , 则f ( f ( x0 )) ? f ( x0 ),即x0 ? f ( x0 ) 矛
盾,故只有 f ( x0 ) ? x0 成立.
3 (2)方法 2:设 f ( x0 ) ? u, 则f (u) ? x0 ,? x0 ? ax0 ? u, u 3 ? au ? x0 , 两式相减得 3 2 ( x0 ? u 3 ) ? a( x0 ? u) ? u ? x0 ? ( x0 ? u)(x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a) ? 0,? x0 ≥1,u≥1, 2 2 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 3, 又0 ? a ? 3 ? x0 ? x0u ? u 2 ? 1 ? a ? 0

? x0 ? u ? 0,即u ? x0 , 亦即f ( x0 ) ? x0 , 证毕.
22.解: (I)当 x ? 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了
100 ? 2.5 小时, 40

1 3 ? 403 ? ? 40 ? 8) ? 2.5 ? 17.5 (升) 要耗油 ( 。 128000 80 答:当汽车以 40 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油 17.5 升。 100 (II)当速度为 x 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油 x

量为 h( x) 升,
1 3 100 1 2 800 15 x3 ? x ? 8). ? x ? ? (0 ? x ? 120), 依题意得 h( x) ? ( 128000 80 x 1280 x 4

h '( x) ?

x 800 x3 ? 803 ? ? (0 ? x ? 120). 640 x 2 640 x 2

令 h '( x) ? 0, 得 x ? 80. 当 x ? (0,80) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是减函数; 当 x ? (80,120) 时, h '( x) ? 0, h( x) 是增函数。

? 当 x ? 80 时, h( x) 取到极小值 h(80) ? 11.25.
因为 h( x) 在 (0,120] 上只有一个极值,所以它是最小值。 答:当汽车以 80 千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最 少为 11.25 升。

5


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