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【成才之路】高中数学 3-1-4空间向量的正交分解及其坐标表示课件 新人教A版选修2-1

1.知识与技能 理解空间向量基本定理. 了解基向量、基底的概念. 2.过程与方法 会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量. 重点:空间向量基本定理. 难点:基底概念的理解和用基底表示空间任一向量. 1.用空间三个不共面的已知向量a,b,c可以线性表 示出空间任意一个向量,而且表示的结果是唯一的. 2.空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向 量的一个基底. 3.由于0可看作是与任意一个非零向量共线,与任意 两个非零向量共面,所以三个向量不共面,就隐含它们都 不是0. 要明确:一个基底是一个向量组,一个基向量是指基 底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念. 4.用基底中的基向量表示向量(即向量的分解),关键 是结合图形,运用三角形法则、平行四边形法则及多边形 法则,逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”. 5.空间向量基本定理的证明 → =a,OB → =b,OC →= 设 a、b、c 不共面,过点 O 作OA → =p;过点 P 作直线 PP′平行于 OC,交平面 OAB c,OP 于点 P′; 在平面 OAB 内, 过点 P′作直线 P′A′∥OB, P′B′∥OA,分别与直线 OA,OB 相交于点 A′,B′. → → =xa,OB → 于是存在三个实数 x,y,z,使OA ′=xOA ′= → =yb,P→ → =zc, yOB ′P=zOC → =OA → → → +yOB → +zOC →. OP ′+OB ′+P→ ′P=xOA ∴p=xa+yb+zc. 1.空间向量基本定理 (1) 如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向 量p,存在有序实数组{x,y,z},使得 p= xa+yb+zc . (2) 如果三个向量 a , b , c 不共面,那么所有空间向量 组成的集合就是 {p|p = xa +yb +zc ,x ,y ,z∈R} ,这个集 合可看作是由向量a,b,c生成的,我们把{a,b,c} 叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做 基向量 , 空 间任何三个 不共面 的向量都可构成空间的一个基底. 2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 设e1,e2,e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向 量(我们称它们为 单位正交基底 ) (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的 公共起点O 为原点,分别以 e1,e2,e3 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直 角坐标系O-xyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p一定可以把它 平移 ,使它的 =p,由空间向量基本 定理可知,存在有序实数组{x,y,z},使得 p=xe1+ ye2+ze3 . 我们把 x、y、z 称作向量 p 在单位正交基底 e1 , e2 , e3 . 起点 与原点O重合,得到向量 下的坐标,记作p= (x,y,z) [例1] 若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b, b+c,c+a}能否作为该空间的一个基底. [分析] 由题目可获取以下主要信息: ①{a,b,c}是空间的一个基底; ②判断 {a+b, b +c, c +a} 是否也可作为该空间的一 个基底.解答本题可先用反证法,判断a+ b,b +c,c+a 是否共面,若不共面,则可作为一个基底,否则,不能作 为一个基底. [解析] 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ、μ 使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a),∴a+b=λb+μa+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}为基底.∴a,b,c不共面. ∴a+b,b+c,c+a不共面. ∴{a+b,b+c,c+a}可以作为空间的一个基底. [点评] 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作 为基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面难以入 手,常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判 断. 设 x = a + b, y = b+ c , z = c +a,且 {a , b , c} 是空间 的一个基底,给出下列向量组: ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z}, ④{x,y,a+b+c}, 其中可以作为空间的基底的向量组有________个. [答案] 3 [ 解析 ] ②③④都可以作为空间的一组基底,对于①, x=a+b,显然{a,b,x}不能作为空间的一个基底. [ 例 2] 如 图 所 示 , 在 平 行 六 面 体 ABCD - → =a,AD → =b,AA → A′B′C′D′中,AB ′=c,P 是 CA′ 的中点,M 是 CD′的中点,N 是 C′D′的中点,点 Q 在 CA′上,且 CQ?QA′=4?1,用基底{a,b,c}表示 以下向量. → ;(2)AM → ;(3)AN → ;(4)AQ →. (1)AP [解析] 连结 AC,AD′. 1 → 1 → → → → (1)AP= (AC+AA′)= (AB+A→ D +AA ′) 2 2 1 =2(a+b+c) 1 → 1 → → (2)AM=2(AC+AD′)=2(a+2b+c) 1 1 =2a+b+2c. 1 → 1 → → → → → → (3)AN=2(AC′+AD′)=2[(AB+AD+AA ′)+(AD 1 → +AA′)]=2a+b+c. 4 → 4 → → → → → → →) (4)AQ=AC+CQ=AC+5CA′=AC+5(AA′-AC 1→ 4 → 1 → → 4 → = AC+ AA′= (AB+AD)+ AA′ 5 5 5 5 1 1 4 = a+ b+ c. 5 5 5 [点评] 用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、 减法、数乘的运算法则,及加法的平行四边形法则,加法、 减法的三角形法则.逐步向基向量过渡,直到全部用基向 量表示. [例 3] 如图所示,空间四边形 OABC 中,G、H 分别 → =a,OB → =b,OC