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《教师参考》北师大版(高中数学) 必修4 :1.9 三角函数的简单应用 同课异构课件1


第一章 三角函数

§9 三角函数的简单应用

学习要求
1、通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学

生初步学会由图象求解析式的方法;

2、体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; 3、体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型。 4、分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基 本的数学关系来建立数学模型,并调动相关学科的知 识来解决问题。

自学导引
1.函数y=Asin()中的参数A、、 对图象有什么影响 ?三角函数的性质包括哪些基本内容? 2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,其 中周期性是三角函数的一个显著性质.在现实生活中 ,如果某种变化着的现象具有周期性,那么它就可以 借助三角函数来描述,并利用三角函数的图象和性质

解决相应的实际问题.

探究一:根据图象建立三角函数关系
【背景材料】如图,某地一天从6~14时

的温度变化曲线近似满足函数:

T /℃ 30 20 10 o 6 10 14 t/h

y ? A sin(? x ? ? ) ? b
思考1:这一天6~14时的最大温差 是多少? 30°- 10°= 20°

思考2:函数式中A、b的值分别是多少?

A=10,b=20

y ? A sin(? x ? ? ) ? b
思考3:如何确定函数式中和b 的值?
? 3? ? ? ,? ? 8 4

T /℃ 30 20 10 6 10 14
t/h

o 思考4:这段曲线对应的函数是什么?
? 3? y ? 10sin( x ? ) ? 20, x ? [6,14]. 8 4

思考5:这一天12时的温度大概是多少 (℃)? 27.07℃.

探究二:根据相关数据进行三角函数拟合
【背景材料】 海水受日月的引力,在一定的时候 发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮叫 汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码 头;卸货后,在落潮时返回海洋.下面是某港口在 某季节每天的时间与水深关系表:
时刻 水深/ 米

0

3

6

9

12

15

18

21

24

5.0 7.5 5.0 2.5

5.0 7.5 5.0

2.5 5.0

时刻 水深/ 米

0

3

6 5.0

9 2.5

12

15

18 5.0

21 2.5

24 5.0

5.0 7.5

5.0 7.5

思考1:观察表格中的数据,每天水深的变 化具有什么规律性? 呈周期性变化规律.

时刻 水深/ 米

0
5.0

3
7.5

6
5.0

9
2.5

12
5.0 8 6 4

15
7.5 y

18
5.0

21
2.5

24
5.0

思考2:设想水深y是时间x的 函数,作出表中的数据对应的

散点图,你认为可以用哪个类 2

型的函数来拟合这些数据?

o

6

12 18

24 x

思考3: 用一条光滑曲线连结这些点,得到一个函数图 象,该图象对应的函数解析式可以是哪种形式?
y 8 6 4 2 o 6 12 18 24 x

y ? A sin(? x ? ? ) ? h

8 6 4 2 o

y

6

12

18

24

x

思考4:用函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 来刻画水 深和时间之间的对应关系,如何确定解析式中

的参数值?

A ? 2.5, h ? 5, T ? 12, ? ? 0,

? ?? 6

思考5:这个港口的水深与时间的关系可用函数 ? y ? 2.5sin x ? 5 近似描述,你能根据这个函数模型 6 , 求出各整点时水深的近似值吗?(精确到0.001)

时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深

0:00 5.000 6:00 5.000

1:00 6.250 7:00 3.754

2:00 7.165 8:00 2.835

3:00 7.500 9:00 2.500

4:00 7.165

5:00 6.250

10:00 11:00 2.835 3.754

12:00 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250

18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754

思考6:一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为8

米,安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙(船底与
洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久


8 6 4 2 o

y

B C

A

D

5

10

15

x

y 8 6 4 2 o 5

B

A

C

D

10

15

x

货船可以在0时30分左右进港,早晨5时30分左右出 港;或在中午12时30分左右进港,下午17时30分左右 出港.每次可以在港口停留5小时左右.

思考7:若某船的吃水深度为8米,安全间隙为1.5米,该

船在5:00开始卸货,吃水深度以每小时0.3米的速度减
少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深

的水域?
y 8 6 4 2 o 2 4 6 8 10 12

y ? 2.5sin

?
6

货船最好在6.5时之前
x?5

停止卸货,将船驶向

y = - 0.3x + 6.1
x

较深的水域.

思考8:右图中,设点P(x0,y0),有人认为,由于P点是 两个图象的交点,说明在x0时,货船的安全水深正好与 港口水深相等,因此在这时停止卸货将船驶向较深水域 就可以了,你认为对吗?
y

8
6 4 2

.

p y = 2.5sin x + 5 6
P

y=-0.3x+6.1
x

o 2 4 6 8 10 12

典例剖析
1.有一冲击波,其波形为函数 y= 的图象,若其 区间 [0 , t] 上至少有 2 个波峰 ( 图象的最高点 ) ,则正整

数t的最小值是(C)
A.5 B.6 C.7 D.8

解析:选C. 由 y= 的图像知,要想在区间[0,t]上
至 少 有 2 个 波 峰 , 必 须 使 区 间 [0 , t] 的 长 度 不 小 于
T 7T 2T ? ? 4 4

,即 7 2? 7 2? t? ? ? ? ?7 4 ? 4 ? 2

,故选C

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在

商店销售价格时发现:该商品的出厂价格是在6元基
础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最

高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的
销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动

的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低
为6元.假设某商店每月购进这种商品m件,且当月能

售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

解:设为售价,则
3? ? ?? x? y 2 ? 8 ? 2sin ? ? 4 ? ?4
3? ?? y ? m ?8 ? 2sin ? x ? 4 ?4

?? ?? x? ? y1 ? 6 ? 2sin ? 4? ?4

,利润

? ?? ? ? ? ?? ? ? ?6 ? 2sin ? x ? ? ?} ? 2m(1 ? 2 sin x) 4 ?? 4 ? ? ?4

所以当 x=6 时取到最大值 2m 1 ? 2 即估计是六
月份月盈利最大.

?

?

同步练习
1、健康成年人的收缩压和舒张压一般为120~140 mmHg和60~ 90 mmHg.心脏跳动时,血压在增加或减小.血压的最大值、最小

值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张
压,读数120/80 mmHg为标准值. 设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin(160πt),其中p(t)为血 压(mmHg),t为时间(min),试回答下列问题: (1)求函数p(t)的周期;

(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)求出此人的血压在血压计上的读数,并与正常值比较.

同步练习
2? 2? 1 ? ? min 解(1)T ? | ? | 160? 80
1 (2) f ? ? 80 T

(3) p(t )

max

? 115 ? 25 ? 140mmHg

p(t )

min

? 115 ? 25 ? 90mmHg

收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg,比 正常值高。

课堂总结
1、三角函数模型应用基本步骤:

(1)根据图象建立解析式;
(2)根据解析式作出图象; (3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型. 2、利用收集到的数据作出散点图,并根据散点图进行 函数拟合,从而得到函数模型.


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