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14-双曲线的简单几何性质(1)


2.2.2 双曲线的简单几何性质(1) 教材分析
本节内容是数学选修 2-1 第二章第三节《双曲线的简单几何性质》,是在学习完了椭圆基本知识和双曲 线的标准方程之后要研究的课题.它是深入研究双曲线,灵活运用双曲线的定义、方程、性质解题的基础;有 助于学生理解、体会利用代数方法研究几何问题的解析几何观念,提高学生的数学素质.本节课的重点是双曲 线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程;难点是渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关 系,以及双曲线的另一种定义的得出过程. 通过探究双曲线的简单几何性质,可以很好地培养学生分析问题、 解决问题的能力,要求学生有意识地运用数形结合思想、分类讨论思想,在解决新问题的过程中,又要自觉 的运用化归与转化思想,体现解决数学问题的一般思路与方法.

课时分配
本节内容计划用 2 课时的时间完成,本节课为第一课时,主要讲解双曲线的简单几何性质及双曲线的另 一种定义.

教学目标
重点: 双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程. 难点:渐近线的理解,离心率与双曲线形状的关系,以及双曲线的另一种定义的得出过程. 知识点:双曲线简单的几何性质. 能力点:如何运用双曲线的几何性质解决双曲线的综合问题,数形结合、分类讨论的数学思想的运用. 教育点:经历由特殊到一般的研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情. 自主探究点:双曲线的另一种定义方式. 考试点:用双曲线的简单几何性质解决简单的数学问题. 易错易混点:在运用几何性质时学生容易与椭圆的几何性质混淆出现错误. 拓展点:双曲线渐近线的深入理解及几类特殊的双曲线.

教具准备 课堂模式

多媒体课件 学案导学

一、复习引入
名 称 椭
y






y

线

图 象

O

x

O

x

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的和为 常数(大于 F1F2 )的动点的轨迹叫椭 定 义 圆.即 MF 1 ? MF2 ? 2a 当 2a ? 2c 时,轨迹是椭圆, 当 2a ? 2c 时 , 轨 迹 是 一 条 线 段

平面内到两定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值为常数 ( 小 于 F1F2 ) 的 动 点 的 轨 迹 叫 双 曲 线 . 即

MF1 ? MF 2 ? 2a
当 2a ? 2c 时,轨迹是双曲线; 当 2a ? 2c 时,轨迹是两条射线;

F1 F2 ;
当 2a ? 2c 时,轨迹不存在.

当 2a ? 2c 时,轨迹不存在.

焦点在 x 轴上时: 标 准 方 程

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

焦点在 x 轴上时:

x2 y2 ? ?1 a2 b2 y2 x2 ? ?1 a2 b2

焦点在 y 轴上时:

焦点在 y 轴上时:

注:是根据分母的大小来判断焦点在 哪一坐标轴上. 常 数

注:是根据项的正负来判断焦点所 在的位置.

2 2 2 a2 ? c2 ? b2 (符合勾股定理的结构) c ? a ? b (符合勾股定理的结构)

a, b, c
的 关 系

a ?b ? 0,

c?a?0

a 最大, c ? b, c ? b, c ? b

c 最大,可以 a ? b, a ? b, a ? b

我们已经学习过椭圆的简单几何性质,并且研究了直线与椭圆的位置关系,那么双曲线有哪些几何性质 呢?本节课我们就一起来研究一下双曲线的几何性质. 【设计意图】通过回顾椭圆与双曲线的定义及标准方程,使学生学会类比,通过类比椭圆的简单几何性质 进而引入本节课所要研究的双曲线的几何性质,通过类比熟悉的内容去学习新的内容消除了学生心理上的 恐惧,更有利于新知识的接受与理解.

二、探究新知
1.范围、对称性 由标准方程
新疆

x2 y2 ? 2 ? 1 可得 x 2 ? a 2 ,当 x ? a 时, y 才有实数值;对于 y 的任何值, x 都有实数 2 a b

值 这说明从横的方向来看,直线 x ? ? a, x ? a 之间没有图像,从纵的方向来看,随着 x 的增大, y 的绝 对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展,双曲线的图像关于 x 轴、 y 轴及坐标原点都对称,但
王新敞
奎屯

不像椭圆那样是封闭曲线.双曲线不封闭,但仍称其对称中心为双曲线的中心. 2.顶点 顶点: A1 (a,0), A2 ?? a,0? 特殊点: B1 (0, b), B2 ?0,?b?

实轴: A1 A2 长为 2 a , a 叫做半实轴长.虚轴: B1 B2 长为 2b , b 叫做虚半轴长. 结合图形,讲解顶点和轴的概念,在双曲线方程

x2 y2 ? ? 1 中,令 y ? 0 得 x ? ? a ,故它与 x 轴有两个 a2 b2

交点 A1 (a,0), A2 ?? a,0? ,且 x 轴为双曲线

x2 y2 ? ? 1 的对称轴,所以 A1 (a,0), A2 ?? a,0? 与其对称轴的交 a2 b2

点,称为双曲线的顶点(一般而言,曲线的顶点均指与其对称轴的交点),而对称轴上位于两顶点间的线段

x2 y2 x2 y2 A1 A2 叫做双曲线 2 ? 2 ? 1 的实轴长,它的长是 2a .在方程 2 ? 2 ? 1 中令 x ? 0 得 y 2 ? ?b 2 ,这个 a b a b

方程没有实数根,说明双曲线和 y 轴没有交点.但 y 轴上的两个特殊点 B1 (0, b), B2 ?0,?b? ,这两个点在双 曲线中也有非常重要的作用.把线段 B1 B2 叫做双曲线的虚轴,它的长是 2b .要特别注意不要把虚轴与椭圆 的短轴混淆.双曲线只有两个顶点,而椭圆则有四个顶点,这是两者的又一差异. 3.渐近线 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两顶点 A1 , A2 , 作 y 轴的平行线 x ? ? a , 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y ? ?b , a2 b2
b x y x( ? ? 0 ) , 这两条直线就是双曲 a a b
y Q B2 A1 O B1 A2 N M x

四条直线围成一个矩形.矩形的两条对角线所在直线方程是 y ? ? 线的渐近线. 分析: 要证明直线 y ? ?

b x y x y x ( ? ? 0 )是双曲线 2 ? 2 ? 1 a a b a b

2

2

的渐近线,即要证明随着 x 的增大,直线和曲线越来越靠拢.也即 如图所示要证曲线上的点到直线的距离 MQ 越来越短, 因此把问

题转化为计算 MQ .但因 MQ 不好直接求得, 因此又把问题转化为求 MN , 最后强调, 对圆锥曲线而言, 渐 近 线 是 双 曲 线 具 有 的 性 质 . | MQ |?| MN |? ( | MQ | ?x ? ?? 0 ). ?? 两类特殊双曲线: A.等轴双曲线 如果 a ? b 则双曲线的实轴和虚轴等长,这样的双曲线叫做等轴双曲线. 结合图形说明: a ? b 时,双曲线方程变成 x2 ? y 2 ? a 2 (或 b 2 ) ,它的实轴和都等于 2a (2b) ,这时直线围 成正方形,渐近线方程为 y ? ? x .它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角. B.共轭双曲线(共渐近线的双曲线系) 如果已知曲线的渐近线方程为 y??

b b 2 b ab x? x ? a2 ? ( x ? x2 ? a2 ) ? a a a x ? x2 ? a2

b kb x ? ? x ( k ? 0) , 那 么 此 双 曲 线 方 程 就 一 定 是 : a ka

x2 y2 x2 y2 ? ? ? .这样的一组双曲线叫做互为共轭双曲线. 或写成 ? ? ? 1 ( k ? 0 ) a2 b2 (ka) 2 (kb) 2
【设计意图】 通过这两类特殊的双曲线的介绍, 使学生对双曲线的渐近线这一特别的概念有个深入的理解, 为解决有关渐近线的综合题目做铺垫,在已知渐近线方程求双曲线标准方程式时要考虑共轭的情况. 4.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 e ?

c ,叫做双曲线的离心率. c ? a ? 0,? e ? 1 . a

b b b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e2 ? 1 .因此 e 越大, 也越大,即渐近线 y ? ? x 的斜率的绝对值越大, 2 a a a a a
这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知,双曲线的离心率越大,它的开口就越阔.

【设计意图】通过介绍双曲线的离心率的定义,类比椭圆的离心率,明确两类圆锥曲线离心率的范围. 【设计说明】 本环节为和学生一起探究新知的过程, 通过类比椭圆的简单几何性质得出双曲线的几何性质, 为接下来应用双曲线几何性质解题做了铺垫.

三、理解新知
渐近线是双曲线所特有的,注意理解无限接近,但永远也达不到的意义.渐近线是双曲线的难点,结合两 类特殊的双曲线去理解会比较简单,互为共轭双曲线的两条双曲线是有相同的渐近线的. 双曲线

b x2 y2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x ; 2 a a b

a y 2 x2 双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: y ? ? x . b a b

四、运用新知
例 1 求双曲线 9 y 2 ?16 x2 ? 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

解:把方程化为标准方程

y2 x2 ? ? 1. 由此可知实半轴长 a ? 4 , 虚半轴长 b ? 3 . 4 2 32
c 5 ? ; a 4

c ? a2 ? b2 ? 42 ? 32 ? 5 ,焦点的坐标是 (0, ?5), (0,5) ;离心率为: e ?
渐近线方程为 x ? ?

3 4 y , 即y ? ? x . 4 3

【设计意图】 本例主要是考查学生对双曲线基本概念的掌握情况, 进而可以由这些条件画出双曲线的草图. 练习: KP61 练习 1 例 2 双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为 12 m ,上 口半径为 13 m ,下口半径为 25 m ,高 55 m . 选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到 1 m ).

AA?在 在x轴上,圆 心 与 原 点 重 解 : 如 图 , 建 立 直 角 坐 标 系 xOy , 使小圆的直径
CC?、BB?平行于x轴, 合. 上、下口的直径 且 CC' ? 13? 2(m), BB' ? 25? 2(m).
设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0). a 2 b2

y
C' A' B' 13 C

令点 C 的坐标为(13, y),则点 B 的坐标为(25, y?55).

? 252 ( y ? 55) 2 ? ? 1, (1) ? ?122 b2 ∵点 B、C 在双曲线上,则 ? 2 2 ? 13 ? y ? 1 (2) ? ? 122 b 2

o 12 A x
25

B

?y?

5b (舍负值 ) 代入①, 消 y 得 19b 2 ? 275b ? 18 150 ? 0 ③ 12
∴所求方程为

解方程③,得 b≈25(m).

x2 y2 ? ? 1. 144 625

练习: KP61 练习 2,3 【设计意图】本例为实际问题,主要考查学生求解双曲线的标准方程的能力,将实际问题抽象出数学模型 来再去通过建立适当的坐标系求出双曲线的标准方程.

例 3 点 M ( x, y) 与定点 F(5,0)距离和它到定直线 l : x ?
分析:利用求轨迹方程的方法求解.

16 5 的距离之比是常数 ,求点 M 的轨迹方程. 5 4
y H

解:设 d 是点 M 到直线 l 的距离,根据题意,所求轨迹就是集合 P ? ?M

? ?

| MF | 5 ? ? ? d 4?
F1 o F2 x



( x ? 5)2 ? y 2 5 ? 16 4 x? 5

x2 y 2 化简得 ? ?1 16 9

x?

所以,点 M 的轨迹是实轴、虚轴长分别为 8、6 的双曲线. 由本例可知:定点 F(5,0)为该双曲线的焦点,定直线 l : x ? 常数为离心率 e ?

a2 c

16 a2 为x ? , 5 c

c >1. a

a2 [提出问题]: (从特殊到一般)将上题改为:点 M(x,y)与定点 F(c,0)距离和它到定直线 l : x ? 的距离之比 c
是常数 e ?

c ? 1 ,求点 M 的轨迹方程. a

| MF | 5 ? }, 解: 设 d 是点 M 到直线 l 的距离, 根据题意,所求轨迹就是集合 P={M| 即 d 4

( x ? c)2 ? y 2 x? a c
2

?

c a

x2 y 2 化简得 (c ? a ) x ? a y ? a (c ? a ) 两边同时除以 a (c ? a ) 得 2 ? 2 ? 1 (其中a ? 0, b ? 0) a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

【设计意图】通过本例引出双曲线的第二定义,为更好的理解双曲线的几何性质打下基础. [变式练习]已知 A(3,1) , F (2, 0) ,在双曲线 x ?
2

y2 ? 1 上求一 3

y

H H P

P A F2 x

点 P ,使 PA ?

1 2

PF 得值最小,并求出最小值. 1 2 PF 中的 1 2 PF 进

分析: 解本题的关键是利用第二定义将 PA ?

F1

o

行转化. 解:由题意可得 e ? 2 ,设点 P 到右准线的距离为 d ,则

PF 1 1 ? e ? 2 ,即 PF ? d ,所以要求 PA ? PF 的最小值, 2 2 d

x?

a2 c

即为 PA ? d 的最小值,由图可得最小距离为: 3 ?

a2 5 2 3 ? ,此时 P( ,1) c 2 3

五、课堂小结
教师提问:本节课我们学习了哪些知识,涉及到哪些数学思想方法? 学生作答:1、知识:双曲线的简单几何性质 2、思想:分类讨论的思想、数形结合的思想、特殊与一般的思想. 教师总结: 本节课我们学习了另一类特殊的圆锥曲线,双曲线的简单几何性质,主要是通过类比椭圆的几 何性质得出的,当然也有双曲线自己所独有的渐近线的相关性质,提醒学生: 在学习新知时,也要经常复习前 面学过的内容,“温故而知新” .在应用中增强对知识(如本节的渐近线的相关性质)的理解,及时查缺补漏,从而 更好地运用知识,解题要有目的性,加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用. [设计意图] 加强对学生学习方法的指导,做到“授人以渔” .

六、布置作业
1.阅读教材 P56—60; 2.书面作业 必做题:课本习题 2.3A 组 1、2、3、4 本节《自主学习丛书》 选做题:课本习题 2.3B 组 4 3.课外思考 如何类比直线与椭圆的位置关系来研究直线与双曲线的位置关系呢? 【设计意图】设计作业 1,2,是引导学生先复习,再作业,培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置,是 为了让学生能够运用双曲线的简单几何性质,解决简单的数学问题;课外思考的安排,是让学生加深对双曲线 几何性质的理解,通过类比、探究得出新的内容.

七、教后反思
1.本教案的亮点是变式训练.在例 3 的教学后,提出问题,由特殊到一般,得出双曲线的第二定义,变式 训练又在不知不觉中提高了难度,是对第二定义的很好的应用,提高了学生的解题能力. 2.由于各校的情况不同,建议教师在使用本教案时灵活掌握,但必须在双曲线渐近线的探寻上下足功夫. 3.本节课的弱项是由于整堂课课堂容量较大,在课堂上没有充分暴露学生的思维过程,并给予针对性地诊 断与分析.

八、板书设计
2.3.2 双曲线的简答几何性质(1) 一、复习引入 运用新知 例1 例2 二、探究新知 1、范围、对称性 2、顶点 3、渐近线 4、离心率 例3 变式训练: 课堂小结 作业


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