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2.3.1


离散性随机变量的均值

引入
前面,我们认识了随机变量的分布列.

? 取每一个值 x i ( i
?

设离散型随机变量? 可能取的值为 x 1 , x 2 , ? , x i , ? ,
? 1, 2 , ? ) 的概率 P ( ? ? x i ) ? p i 则称表

x1

x2

P

p1 p 2

? ?

xi

pi

? ?

为随机变量? 的概率分布列,简称为? 的分布列. 对于离散型随机变量,确定了它的分布列,就掌握 了随机变量取值的统计规律.但在实际应用中,我们还 常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特 征,最常用的有期望与方差.

算术平均数
? 如果你期中考试各门成绩为: 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少?

x?

x1 ? x 2 ? ... ? x n n

引入:某商场为满足市场需求要将单价分别为18元 /kg ,24元/kg ,36元/kg 的3种糖果按3:2:1的 比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质量 都相等,如何对混合糖果定价才合理? 定价为
18+24+36 3 ? 26

可以吗?
假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 , 记 X为 这 颗 糖果所属种类的单价(元 kg ) ,你 能 写 出 X的 分 布 列 吗 ?

假 如 从 这 种 混 合 糖 果 中 随 机 选 取 一 颗 , 记 X为 这 颗

如果你买了1kg这种混合

糖果所属种类的单价(元

) ,你 能 写 出 X的 分 布 列 吗 ? kg 糖果,你要付多少钱?

而你买的糖果的实际价值 解 : 随 机 变 量 X 可 取 值 为 18 , 和 36 24 刚好是23元吗? 1 1
而 P ( X ? 18) ? , P ( X ? 24) ? 2 所 以 X分 布 列 为 3

, P ( 样本平均值 X ? 36) ?

1 6

x p

18 1/2

24 1/3

权数 36 1/6 加权平均

18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

思考 思考下面的问题:
某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?

P

4 5 6 0.02 0.04 0.06

7 8 9 10 0.09 0.28 0.29 0.22

在100次射击之前,试估计该射手100次射击的平均环数.

分析:平均环数=总环数?100

由概率可知,在 100 次射击之前,估计得 i 环的次数为 P (?

? i ) ? 100

.

所以,总环数约等于 (4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22)× 100.
故100次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+ …+10×0.22=8.32. 一般地

定义
一般地: 对任一射手,若已知他的所得环数 ? 的分布列,即已 知 P ( ? ? i )( i ? 0, 1, 2, ? , 10 ), 则可以预计他任意n次射击的

平均环数是 0 ? P (?

? 0 ) ? 1 ? P ( ? ? 1) ? ? ? 10 ? P ( ? ? 10 )

记为E ?

我们称 E ? 为此射手射击所得环数的期望,它刻

划了所得环数随机变量 ? 所取的平均值.

更一般地

定义
一般地,随机变量 ? 的概率分布列为

?

P

x1 x 2 p1 p 2

?

xn ? pi ? p n
xi

?

则称 E ? ? x 1 p 1 ? x 2 p 2 ? ? ? x i p i ? ? ? x n p n
它反映了离散型随 为? 的数学期望或均值,简称为期望. 机变量取值的平均水平.

例题1
随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子的点数 X的期望. 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为 X 1 2 3 4 5 6
1/6 1/6 你能理解3.5 1/6 1/6 1/6 的含义吗? 所以随机变量X的均值为E(X)=1× 1/6+2× 1/6 P 1/6

+3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5
归纳求离散型随机变量均值的步骤
①确定所有可能取值;②写出分布列;③求出均值

例2、

某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

4

5

6

7

8

9

10

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

求n次射击的平均环数。
如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1,试求随机变量η的期望。

?

9

11

13 15 17 19 21

P

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

结论1
结论1: ? ? a ? ? b , 则 E ? 若
? 所以, 的分布列为
? aE ? ? b

? P (? ? ax i ? b ) ? P ( ? ? x i ), i ? 1, 2, 3 ?

?
P

ax1 ? b

ax2 ? b

p1

p2

? ax ? b ? ? pi ?
i

axn ? b

pn

E ? ? ( ax 1 ? b ) p 1 ? ( ax 2 ? b ) p 2 ? ? ? ( ax n ? b ) p n ? a ( x 1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x n p n ) ? b ( p1 ? p 2 ? ? ? p n ) ? aE ? ? b 即 E ( a ? ? b ) ? aE ? ? b

(巩固练习)

练习1
1、随机变量ξ的分布列是 ξ P 1 0.5 3 0.3 5 0.2

(1)则Eξ=

2.4

.
5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2、随机变量ξ的分布列是

ξ P

4 0.3

7 a
0.1 b=

9 b
0.4.

10 0.2

Eξ=7.5,则a=

例3:在篮球比赛中,如果某运动员罚球命中的概率为 0.7,那么他罚球一次得分设为X,X的均值是多少? X 0 1 p 0.3 0.7
解:该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以:EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7

ξ p

1 p

0 1-p

如果随机变量X服从两点分布, 那么 EX= p

练习2
1.一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球,从 中同时取2个,则其中含红球个数的数学期望是 1.2 . 2.(1)若 E(ξ)=4.5,则 E(-ξ)= (2)E(ξ-Eξ)= 0 . -4.5 .

3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,罚不中得0
分.已知某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球1次

的得分ξ的期望为 0.7 .
这是一个特殊的二项分布的随机变量的期望,那 么一般地 ,若ξ~B(n,p),则Eξ=?

结论2:若ξ~B(n,p),则Eξ= np
ξ 0 1 … k … n P Cn0p0qn Cn1p1qn-1 … Cnkpkqn-k … Cnnpnq0

证明:∵P(ξ=k)= Cnkpkqn-k (∵ k Cnk =n Cn-1k-1) ∴E ξ =0×Cn0p0qn+ 1×Cn1p1qn-1+ 2×Cn2p2qn-2 +
…+ k×Cnkpkqn-k+…+ n×Cnnpnq0 =np(Cn-10p0qn-1+ Cn-11p1qn-2+ … + Cn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1pn-1q0) =np(p+q)n-1=np

例4.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选 项,其中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选 错不得分,满分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生 乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个.求 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值. 解:设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题个 数分别是ξ和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), 所以Eξ=20×0.9=18, Eη=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次测验中 的成绩分别是5ξ和5η.这样,他们在测验中的成绩的期望 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, 分别是 E(5η)=5Eη=5×5=25. 思考:学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗?他的 均值为90分的含义是什么?
不一定,其含义是在多次类似的测试中,他的平均成绩大约是90分

练习: 一个袋子里装有大小相同的3 个红
球和2个黄球,从中有放回地取5次,则取到

红球次数的数学期望是 3

.

1、离散型随机变量均值的定义 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 x1 x2 … xi … xn X p1 p2 … pi … pn P

小结

则称 E ( X ) ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? x i p i ? ? x n p n 为随机 变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。 2、离散型随机变量均值的性质 (1)随机变量均值的线性性质 E (aX ? b) ? aE ( X ) ? b (2)服从两点分布的均值 若X~B(1,p), 则E(X)= p (3)服从二项分布的均值 若X~B(n,p), 则E(X)= np 3、归纳求离散型随机变量均值的步骤
①确定所有可能取值;②写出分布列;③求出均值

课本第64页 练习2,3,4,5

69页B组第1题。


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