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9.2双曲线 (4课时)


9.2 双曲线

知识梳理

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t

1.双曲线的定义: 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的 绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的 轨迹.
2.双曲线的标准方程:
x y 焦点在x轴上: 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) ; a b y x 焦点在y轴上: a 2 ? b2 ? 1(a, b ? 0) .
2 2 2 2

3.双曲线的几何性质:
x y 2 2 ? ? 1( a , b ? 0) 对于双曲线 2 2 ,设 c ? a ? b a b
2 2

则 (1)范围:x≥a或x≤-a,y∈R. (3)顶点:(±a,0). (4)焦点:(±c,0). b y= x. (5)渐近线: a
c e? (6)离心率: a

(2)对称性:关于两坐标轴和原点对称.

.

拓展延伸

1.双曲线定义用集合语言可表述为: P={M|||MF1|-|MF2||=2a,2a<|F1F2|} 若2a=|F1F2|,则点M的轨迹是以F1,F2 为端点的两条射线;若2a>|F1F2|,则 点M的轨迹不存在;若a=0,则点M的轨 迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.设点O为双曲线的中心,点A、B分别 为双曲线实轴和虚轴的一个端点,点F为 双曲线的一个焦点,则|OA|=a,|OB|= b,|AB|=|OF|=c. 3.双曲线方程的一般形式为
x2 y 2 ? ? 1(mn ? 0) 或Ax2+By2=1(AB<0), m n

双曲线的标准方程由两个独立条件所确 定.

4.双曲线



x2 y 2 ? 2 ?0 2 a b

x y 的渐近线方程 ? ? ? ( ? ? 0) a 2 b2

2

2

,双曲线的一个焦点到渐近

线的距离等于虚半轴长,与渐近线平行 的直线与双曲线只有一个公共点.
c b 2 5.双曲线的离心率 e ? ? 1 ? ( ) ? 1 , a a

e越大,双曲线的开口越大.

6.实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做 等轴双曲线,等轴双曲线方程的一般形 式为x2-y2=m,其渐近线方程是 y=±x,离心率为 2 .
x y 7.设点M(x0,y0)为双曲线 2 ? 2 ? 1 上 a b
2 2

一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦 点,则 |MF1|=|a+ex0|,|MF2|=|a-ex0|.

8.过双曲线焦点且垂直于长轴的弦是
2b 最短的焦点弦,其弦长为 . a
2

9.设点P为双曲线上一点,F1、F2为双 曲线的两焦点,∠F1PF2=θ ,则
2b | PF1 | ? | PF2 |? 1 ? cos ?
2

考点分析

考点1 求双曲线的标准方程
a 点为F(c,0),直线 x ? 分别与两渐近 c
x y 例1 设双曲线 2 ? 2 ? 1(a, b ? 0)的右焦 a b 2
2 2

线交于P,Q两点,若△PQF为正三角形, 且双曲线经过点A(1,0),求双曲线的方 程.

例2 已知双曲线的焦点在x轴上,两 渐近线方程为 y = 3x ,点A、B在双曲 线上,且关于直线x+y+2=0对称, |AB|= 3 2 ,求这双曲线的方程.
【解题要点】 用适当形式设双曲线方程→将已知条件 转化为系数关系→求出待定系数.

考点2双曲线背景下的定值、最值与范围问题

例3 已知点P在双曲线

y x ? ? 1 上,点 3
2

2

M、N分别为双曲线的左、右焦点,设点P 1 到直线 x ? 的距离为d,若|PM|= 2 | PM | 2 2|PN| ,求 的值.
d

x y 例4 设点F1、F2分别为双曲线 2 ? 2 ? 1 a b

2

2

(a,b>0)的左、右焦点,点P为双曲线 右支上横坐标大于2a的一点,点M为 △PF1F2的内心,直线PM交x轴于点A,且 |AF1|=|PF2|. (1)求双曲线的离心率 e 的取值范围; uuur uuu r (2)设 PM ? ? MA,求λ 的取值范围.

y 2 例5 设点P在双曲线 ? x ? 1 上,点 4

2

A,B在双曲线的两条渐近线上,且分别 位于第一,二象限,O为原点.若 uu u r uur 1 ,求△AOB面积的最大 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] 值和最小值. 3

【解题要点】 利用公式或方程思想求值→利用数形结 合,不等式或函数法求范围与最值→利 用平几性质分析数量关系.

考点3 证明或探究双曲线的性质 1 例6 设点M ( m , 0) ,过点P(m,y0)作双 曲线 x2-y2=1的两条切线,切点分别 为A,B. (1)过点A作直线x-y=0的垂线,垂足 为N,试求△AMN的重心G所在的曲线方程; (2)求证:A,M,B三点共线. 【解题要点】 用代入法求轨迹方程→用对应法求直线 方程.


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