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高2015届绵阳一诊理科数学试卷及答案(word版)

绵阳市高中 2012 级第一次诊断性考试

数 学(理工类)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题 卷、草稿纸上答题无效。考试结束后,将答题卡交回。

注意事项: 必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 第Ⅰ卷共 10 小题。

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合A={x ? Z|x 2 ? 1 ? 0}, B ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0}, 则A ( A) ? ( B ) {2} (C ) {0} ( D ) {?1} 2、下列说法中正确的是 ( A)命题 " ?x ? (0, ??), 2 x ? 1"的否定式 " ?x0 ? (0, ??), 2 x0 ? 1" ( B )命题 " ?x ? (0, ??), 2 x ? 1"的否定式 " ?x0 ? (0, ??), 2 x0 ? 1" (C )命题 " a ? b, 则a 2 ? b2 "的逆否否定式 " a 2 ? b2 , 则a ? b " ( D )命题 " a ? b, 则a 2 ? b2 "的逆否否定式 " a 2 ? b2 , 则a ? b "

B=

3、设个项均不为0的数列 {an }满足an ?1 ? 2an ( n ? 1), sn是其前n项和 若a2a4 =2a5,则s4 ? ( A) 4 2 ( A) ? 3 ( B) 8 2 ( B) ? 3 (C ) 3 ? 3 2 (C ) 3 ( D) 3 ( D) 6 ? 6 2 4、如图,正六边形ABCDEF的边长为1,则 AD DB ? 3 ? x ) ? , 那么sin 2 x ? 4 5 24 7 7 ( B) ? (C ) ? ( D) 25 25 25

5、已知3cos( ( A) 18 25

?

? x ? y ?1 ? 0 ? 6、已知x, y满足 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则2x ? y的最大值为 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ? ( A) 1 ( B) 2 (C )3 ( D) 4 7、已知x ? [ ?? , ? ], 则"x ? [ ? ( A) 充要条件 (C )充分不必要条件 , ]" 是" sin(sin x ) ? cos(cos x )成立"的 2 2 ( B ) 必要不充分条件 ( D )既不充分又不必要条件

? ?

8、f ( x )是定义在非零实数集上的函数,f '( x )为其导函数,且x ? 0时, f (20.2 ) f (0.2 2 ) f (log 2 5) xf '( x ) ? f ( x ) ? 0, 记a ? ,b ? ,c ? ,则 0.2 2 2 0.2 log 2 5 ( A) a ? b ? c ( B )b ? a ? c (C ) c ? a ? b ( D) c ? b ? a

? ? sin( x ) ? 1, x ? 0 ? 9、已知函数f ( x ) ? ? ,的图像上关于y轴 2 ? ?log a x (a ? 0, 且a ? 1), x ? 0 对称的点至少有3对,则实数a的取值范围是
3 5 3 5 ) ( B ) ( ,1) (C )( ,1) ( D)(0, ) 3 5 3 5 10、已知a, b ? R 且 e x ?1 ? ax ? b对恒成立,则ab的最大值是 ( A) (0, ( A) 1 3 e 2 ( B) 2 3 e 2 (C ) 3 3 e 2 ( D ) e3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
注意事项:
必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指的答题区域内作答。作图题可 先用笔绘出,确认后再用 0.5 毫米墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 第Ⅱ卷共 11 小题。 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1 3sin ? ? 2 cos ? 11.若tan? =- ,则, ? . 3 2sin ? ? cos ? 12.已知向量a ? (1, 2), b ? (2,0), 若向量? a ? b与向量c ? (1, ?2)共线,则实数? ? 1 q要使没见产品的 16

.

13.某商场销售某种商品的经验表明,该产品生产总成本C与产量q( q ? N *)的函数关系式 为C=100+4q,销售单价p与产量q的函数关系式为p=25平均利润最大,则产量q等于 ? .

3x ? 2 1 2 3 2014 , 则f ( )? f( )? f( )? ?f( )? . 2x ?1 2015 2015 2015 2015 15.定义:如果函数y ? f ( x )在定义域内给定区间[a,b]上存在x0(a<x0 <b),满足 14.已知函数f ( x ) ? f ( b) ? f ( a ) ,则称函数y ? f ( x )是[a,b]上的“平均值函数”, b?a x0是它的一个均值点,例如y ?| x | 是[-2,2]上的“平均值函数”, f ( x0 )= 0就是它的均值点,给出以下命题: ①函数f ( x ) ? cos x ? 1是[ ?2? , 2? ]上的“平均值函数”. a?b . 2 ③若函数f ( x ) ? x 2 ? mx ? 1是[-1,1]上的“平均值函数”,则实数m的取值范围 ②若y ? f ( x )是[a,b]上的“平均值函数”,则它的均值点x0 ? 是m ?(0,2). ④若f ( x ) ? ln x是区间[a,b](b>a ? 1)上的“平均值函数”,x0是它的一个均值点, 则lnx0 < 1 . ab 其中的真命题有

.(写出所有真命题的序号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m=(sinωx,cosωx),n=(cosωx,cosωx),其中 ω>0,函数 f(x)=2m· n-1 的最 小正周期为 π. (I)求 ω 的值; ? ? (II)求函数 f(x)在 [ , ] 上的最大值. 6 4 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (t ) ? log2 (2 ? t ) ? t ? 1 的定义域为 D. (I)求 D; (II)若函数 g(x)=x2+2mx-m2 在 D 上存在最小值 2,求实数 m 的值. 18.(本小题满分 12 分) 在?ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 的对边, 1 AB=5, cos ?ABC ? . 5 (I)若 BC=2,求 sin ?ACB 的值; 7 (II)若 D 是边 AC 中点,且 BD= ,求边 AC 的长. 2 19.(本小题满分 12 分) 记公差不为 0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S3=9,a3,a5,a8 成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式 an 及 Sn; (II)若 Cn ? 2n ? (
2 ? ? ), n ? 1,2,3, ???, 问是否存在实数 λ,使得数列{Cn}为单调递 an

减数列?若存在,请求出的取值范围;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=e -ax-1(e 为自然对数的底数),a>0. (I)若函数 f(x)恰有一个零点,证明:a =e ; (II)若 f ( x) ? 0对任意x ? R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 21.(本小题满分 14 分) m ln x ? n (m, n为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) , 曲 已知函数 f ( x )= ex 2 线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是 y ? . e m ln x ? n f ( x )= (m, n为常数,e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) ex (I)求 m,n 的值; (II)求 f ( x ) 的单调区间; (III) 设 g ( x ) ? f '( x )
g(x)<1+e .
-2

x

a

a-1

e x ln( x ? 1) (其中f '( x)为f ( x)的导函数) , 证 明 : 对 任 意 x>0 , 2

绵阳市高 2012 级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. DBDAC 7. sin(sinx) BACDA 上 为 cos(cosx) 下 为

9.

x ) ? 1, x ? 0与h( x ) ? log a ( ? x )(1 ? a ? 0), x ? 0 至少 2 有三个不同交点。则 h(?5) ? loga (?(?5)) ? ?2 即 loga 5 ? loga a ?2 (a>1 显然只有一个交
点) 10 题提示:由 e x ?1 ≥ ax ? b 对 x∈R 恒成立,显然 a≥0,b≤ e x ?1 -ax. 若 a=0,则 ab=0. 若 a>0 ,则 ab ≤ a e x ?1 -a2x .设函数 f ( x) ? ae x?1 ? a 2 x ,求导求出 f(x) 的最小值为

原问题等价于函数 g ( x ) ? sin(

?

f (ln a ? 1) ? 2a 2 ? a 2 ln a .
3

设 g (a) ? 2a 2 ? a 2 ln a(a ? 0) ,求导可以求出 g(a)的最大值为 g (e 2 ) ?

1 3 e , 2

1 2 e . 2 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 3 11. ? 12.-1 13.40 14.3021 5 15 题提示:①容易证明正确. ②不正确.反例: f ( x) ? x 在区间[0,6]上.
即 ab 的最大值是 e3 ,此时 a ? e 2,b ?

1 2

3

3

15.①③④

?m?m 2 得 x0 ? 1 ? ( x0 ? 1)m ? m ? x0 ? 1 , 2 2) . 又 x0 ? (?1,1) 所以实数 m 的取值范围是 m ? (0 ,
③正确.由定义: x0 ? mx0 ? 1 ?
2

ln b ? ln a . b?a 1 ln b ? ln a 1 b b?a b a ? ? ln ? ? ? 要证明 ln x0 ? ,即证明: , b?a a a b ab ab ab
④正确.理由如下:由题知 ln x0 ? 令

b 1 1 ? t ? 1 ,原式等价于 ln t 2 ? t ? ? 2 ln t ? t ? ? 0 . a t t

令 h(t ) ? 2 ln t ? t ? (t ? 1) ,则 h?(t ) ?

1 t

2 1 ? t 2 ? 2t ? 1 (t ? 1) 2 ?1? 2 ? ? ? ? 0, t t t2 t2

所以 h(t ) ? 2 ln t ? t ? ? h(1) ? 0 得证. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解:(Ⅰ ) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

1 t

?
4

) . ……………………………6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .…………………………………7 分 2?

(Ⅱ) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?

4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 6 4 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

? 2 sin
= 分

7? ? ? ? 2 sin( ? ) …………………………………10 分 12 4 3 ? ? ? ?
4 cos 3 ? 2 cos 4 sin 3
3 ?1 .…………………………………………………………12 2

?2 ? t ? 0, 2) .……………………3 分 17.解:(Ⅰ ) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
(Ⅱ) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .……4 分

2) 上单调递减,不存在最小值; ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1, ? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增, ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在;

2) 上单调递增, ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. 18.解:(Ⅰ ) AB ? 5 , cos ?ABC ? …………………………11 分 综上: m ? 1 . …………………………………………………………………12 分

1 , BC ? 2 , 5

由余弦定理: AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC =52+22-2× 5× 2× =25,

? AC ? 5 . ……………………………………………………………………3 分
又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? 由正弦定理:

1 5

2 6 , 5

AB AC , ? sin ?ACB sin ?ABC AB ? sin ?ABC 2 6 ? 得 sin ?ACB ? .………………………………………6 分 AC 5
(Ⅱ) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平 行四边形 ABCE ,如图, 则 A D C E

1 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? 5



BE=2BD=7,CE=AB=5, 在 △ BCE 中 , 由 余 弦 定 理 : B 2 BE ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE . 即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,

1 5

解得: CB ? 4 . ………………………………………………………………10 分 在△ABC 中, AC 2 ? BA2 ? BC 2 ? 2BA ? BC ? cos ?ABC ? 52 ? 42 ? 2 ? 5 ? 4 ? ? 33 , 即 AC ? 33 .…………………………………………………………………12 分 19.解:(Ⅰ ) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
2

1 5

3? 2 ? d ? 9, ?3a1 ? 2 得: ? 解得: a1 ? 2,d ? 1 . ?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? (a ? 7d ), 1 1 ? 1
n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . …………………………………5 分 2 2 2 2 (Ⅱ) 由题知 cn ? 2n ( ? ?) . n ?1 若使 {cn } 为单调递减数列,则
∴ an ? n ? 1 , S n ?

2 2 ? ? ) - 2n ( ? ?) n?2 n ?1 4 2 = 2n ( ? ? ? ) ? 0 对一切 n∈N*恒成立, …………………8 分 n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即: ? ?? ?0 ?? ?( ? )max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1 2n 2n 2 4 2 又 = ,……………………10 分 ? 2 ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 2)( n ? 1) n ? 3n ? 2 n ? 2 ? 3 n 1 4 2 当 n ? 1 或 2 时, ( ? )max = . n ? 2 n ?1 3 1 ? ? ? .………………………………………………………………………12 分 3
cn ?1 ? cn ? 2n ?1 (

20.(Ⅰ)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .…………………………1 分 由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x)min ? f (ln a) ? 0 , ………………… 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .………………………………………………………… 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ∴ a a ? e a ?1 . ………………………………………………………………… 6 分 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,……………………………………8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ……………………………13 分 21.解:(Ⅰ)由 f ( x) ?

m ln x ? n m ? nx ? mx ln x 得 f ?( x) ? ( x ? 0 ). x xe x e m?n 由已知得 f ?(1) ? ? 0 ,解得 m=n. e n 2 又 f (1) ? ? ,即 n=2, e e
∴ m=n=2.……………………………………………………………………3 分 2 (Ⅱ) 由 (Ⅰ)得 f ?( x) ? x (1 ? x ? x ln x) , xe ? ?) , 令 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 , 当 x∈(0,1)时, p( x) ? 0 ;当 x∈(1,+∞)时, p( x) ? 0 , 又 e x ? 0 ,所以当 x∈(0,1)时, f ?( x) ? 0 ; 当 x∈(1,+∞)时, f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) 的单调增区间是(0,1), f ( x) 的单调减区间是(1,+∞).……8 分 (Ⅲ) 证明:由已知有 g ( x) ?

ln(x ? 1) ? ?) , (1 ? x ? x ln x) , x ? (0 , x x (1 ? e ? 2 ) , 于是对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 等价于 1 ? x ? x ln x ? ln(x ? 1) ? ?) , 由(Ⅱ)知 p( x) ? 1 ? x ? x ln x , x ? (0 ,
? ?) . ∴ p?( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e?2 ) , x ? (0 ,
易得当 x ? (0 ,e?2 ) 时, p?( x) ? 0 ,即 p( x) 单调递增; 当 x ? (e?2 , ? ?) 时, p?( x) ? 0 ,即 p ( x) 单调递减. 所以 p( x) 的最大值为 p(e?2 ) ? 1 ? e?2 ,故 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 . 设 q( x) ? x ? ln(1 ? x) ,则 q?( x) ?

x ?0, x ?1

? ?) 时, q( x) 单调递增, q( x) ? q(0) ? 0 . 因此,当 x ? (0 ,

? ?) 时, q( x) ? x ? ln(1 ? x) ? 0 ,即 故当 x ? (0 ,
∴ 1 ? x ? x ln x ≤ 1 ? e?2 <

x ?1 . ln(x ? 1)

x (1 ? e ? 2 ) . ln(x ? 1)

∴ 对任意 x ? 0 , g ( x) ? 1 ? e?2 . ……………………………………………14 分


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