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二次函数的概念及一般形式习题


1、下列函数中,是二次函数的是( A: y ? 68x2 ? 1 B; y ? 8 x ? 1

) C: y ?

8 x

D: y ? ? )

8 ?1 x2

2、函数 y ? (m ? n) x2 ? mx ? n 是二次函数的条件是( A: m、n 为常数,且 m ≠0。 C: m、n 为常数,且 n ≠0。 3、函数 y ? (m2 ? m) xm A:2 B:-1 或 3
2

B: m、n 为常数,且 m ≠ n 。 D: m、n 可以为任何数。

?2m?1

是二次函数,那么 m 的值是( D:±1



C:3

4、下列关系中,是二次函数关系的是( ) A:当距离 S 一定时,汽车行驶的时间 t 与速度 v 之间的关系。 B:在弹性限度时,弹簧的长度 y 与所挂物体的质量 x 之间的关系。 C:圆的面积 S 与圆的半径 r 之间的关系。 D:正方形的周长 C 与边长 a 之间的关系。 5、已知 x 为矩形的一边长,其面积为 y ,且 y ? x(4 ? x), 则自变量的取值范围是( A: x ? 0 B: 0 ? x ? 4 C:0≤ x ≤4 D: x ? 4 )

6、二次函数 y ? 3x ? x2 中, a ? ______, b ? ______, c ? ______。 7、已知函数 y ? (m2 ? m) x2 ? (m ?1) x ? m ? 1 。若这个函数是二次函数,求 m 的取值范围。

2 补充:在一般形式中,只有 a ? 0 时, y ? ax ? bx ? c 才是二次函数,当 a ? 0 时, y ? bx ? c ,若 b ? 0 ,

则它是一次函数,若 b ? 0 ,则它是一个常数函数。 例,把下列二次函数化成一般形式,并指出二次项系数、一次项系数、常数项: (1) y ? x ? ( x ? 1)
2 2 2

(2) y ? (2 x ? 3)(x ? 1) ? 5 (4) y ? ( x ? 1)(x ? 1)

(3) y ? 4 x ? 12x(1 ? x)

1,在下列函数关系式中,哪些是二次函数(是二次函数的在括号内打上“√” ,不是的打“x”). (l) y ? ?2 x
2

(
2

) ) )

(2) y ? x ? x
2

2

( (

) )

(3) y ? 2( x ? 1) ? 5 (5) s ? a(8 ? a)

( (

(4) y ? 3x ? 3

第1页

2,函数 y ? ax2 ? bx ? c (a,b,c 是常数)问当 a,b,c 满足什么条件时: (l)它是二次函数 (2)它是一次函数 (3)它是正比例函数 知识点三: y=ax2 ; 常量 a 对二次函数的影响 ②y=-2x2 ; ;

引例:在同一直角坐标系中试着画出下列二次函数的图象: 第一组:①y=x2 ②y=-x2 第二组:①y=2x2

函数 y=ax (a≠0)的图象与性质: 函数 a的 符号 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 增减性 最大(小)值

2

y=ax

2

a>0

向__

( , )

x>0 时,y 随 x 增大而 x<0 时,y 随 x 增大而

y=ax

2

a<0

向__

( , )

x>0 时,y 随 x 增大而 x<0 时,y 随 x 增大而

3.a 的绝对值决定抛物线的开口_____,|a|越大抛物线开口就____;|a|越小抛物线开口就越大。) 习题: 1.函数 y=ax (a≠0)的图象与 a 的符号有关的是( A.顶点坐标 B.开口方向 C.开口大小
2

) D.对称轴

2、二次函数如右图所示,则它的关系式是________________。
第2页

3、二次函数 y ? 3x2 的图像开口向____,顶点是(__,___) ,它是抛物线的最____点,

第2题

对称轴是______,在对称轴的左侧,图像从左往右________;在对称轴的右侧,图像从左往右________; 4、二次函数 y ? ?3x 2 的图像开口向____,顶点是(__,___) ,它是抛物线的最____点,对称轴是______, 在对称轴的左侧,图像从左往右________;在对称轴的右侧,图像从左往右________; 5、已知关于 x 的二次函数 y ? mx|m| 中,当 x ? 0 时, y 随 x 的增大而增大,则 m =_______.

1 2 x 的图像经过点 (a, 4.5) 和 (?a, y1 ) ,则 y1 的值是________. 2 1 2 7、下列各组点中,两个点都在抛物线 y ? x 上的是( ) 。 2 1 A: (0,0),(1, 2) B: (2,1), ( ?1, ) C: (2, 2),(?2, 2) D: (?1, 2), (2, ?2) 2
6、已知抛物线 y ? 8、关于抛物线 y ? x2 和 y ? ? x2 ,下列说法不正确的是( A:顶点相同 B:对称轴相同 C:开口方向相反
2



D:都有最小值

9.当 m=___时,抛物线 y ? (m ? 1) xm

?m

开口向下,对称轴是____,在对称轴左侧,y 随 x 的增大而_____,

在对称轴右侧,y 随 x 的增大而_____。 10.若函数 y=ax 的图象是一条不经过一、二象限的抛物线,则 a 的符号是___。 11.函数 y=ax (a≠0)与 y=-ax+b 在同一坐标系的图象可能是图中的(
2 2



y

y

y

y

o xx

o

o x

x

o

x

A
2

B

C

D

12 已知函数 y ? ?5 x 的图像上有三个点 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),( x3 , y3 ) ,若 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , 则 y1 , y2 与 y3 的大小关系为________________________。 13、如右图所示,点 A 是抛物线 y ? ? x 上一点, AB
2

? x 轴于 B 点,若 B 点

坐标为 (?2, 0) ,则 SV AOB =_____________。 14、已知抛物线 y ? ax 经过点 (2,8) 。
2

第3页

(1)求此抛物线的函数关系式。 (2)判断点 B (1, 4) 是否在此抛物线上。 (3)求出此抛物线上纵坐标为 6 的点的坐标。

15、底面是边长为 x cm 的正方形,高为 0.5 cm 的长方体体积为 y cm 。 (1)求 y 关于 x 的函数式。 (2)列出对应值表,画出函数图像。 (3)根据图像求出 y ? 8cm3 时,底面边长 x 的值。 (4)根据图像,求出 x 为何值时, y ? 4.5cm3 ?

2

16、已知抛物线 y ? ax

2

经过点 A(2,1) 。

(1)求这个函数解析式; (2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴的对称点 B 点的坐标。 (3)求 VOAB 的面积。 (4)抛物线上是否存在点 C,使 V ABC 的面积等于 VOAB 面积 的一半,若存在,求出 C 点的坐标;若不存在,请说明理由。
第4页

知识点五:二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质 函数 a>0 二次函数 y=ax +bx+c(a,b,c 是常数,a≠0) a<0
2

图象

(1)当 a>0 时,抛物线开口向

,并向

无限 (1)当 a<0 时,抛物线开口向

,并向

无限

延伸,顶点 性质 (2)在对称轴直线 右

是它的最

点.

延伸,顶点

是它的最

点.

的左侧, 抛物线自左向 (2)在对称轴直线 . 右

的左侧,抛物线自左向 .

,在对称轴的右侧,抛物线自左右

;在对称轴右侧,抛物线自左向右

总结:抛物线 y=ax +bx+c 中 a、b、c 的作用
2

a,b,c 的代数式 作用 a c 1. 决定抛物线的开口方向; 2. 决定增减性 决定抛物线与 y 轴交点的位置, 交
第5页

字母的符号 a>0 a<0 c>0 开口向 开口向 交点在

图象的特征

点坐标为(0,c) 决定对称轴的位置, 对称轴是直线

c=0 c<0 ab>0 ab<0 b -4ac>0
2 2 2

抛物线过 交点在 对称轴在 y 轴 对称轴在 y 轴 抛物线与 x 轴有 顶点在 上 交点 抛物线与 x 轴 交点

b -4ac

2

决定抛物线与 x 轴公共点的个数

b -4ac=0 b -4ac<0

习题: 基础练习 1. 函数 y=2x2-8x+1,当 x=
2 2. 函数 y ? ?3x ? 5 2 x ?

时,函数有最

值,是

. 值,是 . ,在对称轴的左侧,y 随 x 的

1 ,当 x= 3

时,函数有最

3. 函数 y=x2-3x-4 的图象开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 增大而 ,当 x 时,函数 y 有最 值,是 .

提高训练 4. 把 40 表示成两个正数的和,使这两个正数的乘积最大,则这两个数分别是 . 5. 如图,用长 20m 的篱笆,一面靠墙围成一个长方形的园子,怎么围才能使园子的面积最大?最大面积是 多少?

1. 抛物线 y=2x -5x+3 与坐标轴的交点共有 A . 1个 B. 2 个 2. 二次函数 y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 A.x=3
2

2

基础练习 ( ) C. 3 个 ( ) C.x=-

D. 4 个

B.x=-2

1 2

D.x=

1 2

3. 二次函数 y=-2x +4x-9 的最大值是 A.7 B.-7 C.9

D.-9

提高训练 4. 己知直角三角形的两直角边的和为 2,求斜边长的最小值,以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的 长.

课后练习: (2011 广东广州市,5,3 分)下列函数中,当 x>0 时 y 值随 x 值增大而减小的是(
第6页

) .

A.y = x2

B.y = x-1

C. y =

3 x 4 -4 3 D.-27

D.y =

1 x -2 3

(2011 山东泰安,20 ,3 分)若二次函数 y=ax2+bx+c 的 x 与 y 的部分对应值如下表: X y -7 -27 -6 -13 -5 -3 C.-13 -3 5

则当 x=1 时,y 的值为 A.5 B.-3

(2011 山东威海,7,3 分)二次函数 y ? x2 ? 2x ? 3 的图象如图所示.当 y<0 时, 自变量 x 的取值范围是( A.-1<x<3 ) . C. x>3 D.x<-1 或 x>3

B.x<-1

(2011 浙江温州,9,4 分)已知二次函数的图象(0≤x≤3)如图所示. 关于该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是( ) A.有最小值 0,有最大值 3 B.有最小值-1,有最大值 0 C.有最小值-1,有最大值 3 D.有最小值-1,无最大值

(2011 四川重庆,7,4 分)已知抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示, 则下列结论中正确的是( ) y A. a>0 B. b<0 C. c<0 D. a+b+c>0 1 -1 O 1 x

(2011 江苏宿迁,8,3 分)已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( A.a>0 B.当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大 C.c<0 D.3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根 (2011 安徽芜湖,10,4 分)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示,则反比例函数 y ?



a 与一次函数 x

y ? bx ? c 在同一坐标系中的大致图象是(

).

(2011 湖南永州,13,3 分)由二次函数 y ? 2( x ? 3) 2 ? 1 ,可知(
第7页



A.其图象的开口向下 C.其最小值为 1

B.其图象的对称轴为直线 x ? ?3 D.当 x ? 3 时,y 随 x 的增大而增大

第8页


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