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高一无锡一中2012-2013学年高一下学期期中考试数学试题


2012-2013 学年江苏省无锡一中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题(每小题 5 分) 1. 分)函数 (5 的定义域是 (0,3) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 根据函数的解析式可得 3x﹣x >0,由此解得 x 的范围,即为所求. 2 解答: 解:由于函数 ,可得 3x﹣x >0,解得 0<x<3, 故答案为 (0,3) . 点评: 本题主要考查求函数的定义域,对数的性质应用,属于基础题.

2. 分)数列 (5

的一个通项公式为 an=



考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 分别考察每一项的符号和绝对值即可得出. n+1 解答: 解:通过观察可以发现:每一项的符号为(﹣1) ,其绝对值为 公式为 故答案为 . .

,故其一个通项

点评: 把每一项的符号和绝对值分别考察设解题的关键. 3. 分)已知直线方程为 (5 ,则直线的倾斜角为 150° .

考点: 直线的倾斜角. 专题: 直线与圆. 分析: 根据直线的斜截式方程求得直线的斜率为﹣ 斜角的值. 解答: 解:∵直线方程为 角的正切值等于﹣ ,

,再根据倾斜角和斜率的关系求得倾

,即 y=﹣

x﹣ ,则直线的斜率为﹣

,故倾斜

结合倾斜角的范围可得倾斜角为 150°, 故答案为 150°. 点评: 本题主要考查由直线的一般式方程求斜截式方程,直线的倾斜角和斜率的关系,属于
1

基础题.

4. 分) (5 (2008?安徽)若 A 为不等式组

表示的平面区域,则当 a 从﹣2 连续变

化到 1 时,动直线 x+y=a 扫过 A 中的那部分区域的面积为



考点: 二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 压轴题. 分析: 先由不等式组画出其表示的平面区域,再确定动直线 x+y=a 的变化范围,最后由三角 形面积公式解之即可. 解答: 解:如图,不等式组 表示的平面区域是△ AOB,

动直线 x+y=a(即 y=﹣x+a)在 y 轴上的截距从﹣2 变化到 1. 知△ ACD 是斜边为 3 的等腰直角三角形,△ OEC 是直角边为 1 等腰直角三角形, 所以区域的面积 S 阴影=S△ ACD﹣S△ OEC= 故答案为 .

点评: 本题考查二元一次不等式组与其平面区域及直线方程的斜截式. 5. 分)已知数列{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3+a11=50,又 S5=45,则 a2 等 (5 于 5 . 考点: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 设出等差数列{an}的首项和公差,由 a3+a11=50,S5=45 列方程组联立可解的首项和公 差,则 a2 可求. 解答: 解:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由 a3+a11=50,S5=45,得:

2

,即



①﹣②得 4d=16,所以 d=4,把 d=4 代入②得,a1=1. 则 a2=a1+d=1+4=5. 故答案为 5. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式,考查了方程组的解法,是基础的计 算题. 6. 分)若等比数列{an}满足 (5 ,则公比为 4 .

考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 在给出的递推式中分别取 n=1 和 n=2 得到两式, 作比后再根据数列中相邻两项之积同 号得到公比的值. 解答: 解:在等比数列{a }中,由 ,
n

取 n=1 得:a1a2=16① 取 n=2 得:
2



②÷①得:q =16.所以 q=±4. 因为 a1a2=16,所以 q>0,则 q=4. 故答案为 4. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了特值化思想,是基础题. 7. 分)在△ ABC 中,∠A=60°,AB+AC=10,面积 (5 ,则 BC= .

考点: 余弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 2 2 2 分析: 由正弦定理的面积公式,结合题中数据算出 bc=16,利用配方可得 b +c =(b+c) ﹣ 2 2 2 2bc=68.最后根据余弦定理加以计算,即可得到 a =b +c ﹣2bccosA=52,从而得到 a=BC=2 . 解答: 解:设 AB=c,BC=a,AC=b,则 ∵∠A=60°,△ ABC 面积 , ∴ bcsinA=4 ,即 bc×
2

=4
2

,解之得 bc=16
2

又∵AB+AC=b+c=10,∴b +c =(b+c) ﹣2bc=100﹣32=68 根据余弦定理,得 2 2 2 a =b +c ﹣2bccosA=68﹣2×16×cos60°=52 由此可得:a= =2 ,即 BC=2 故答案为:2 点评: 本题给出△ ABC 中两边的长度之和与夹角大小,并且在知道三角形面积的情况下求
3

第三边的大小.着重考查了面积正弦定理公式和利用正余弦定理解三角形的知识,属 于基础题. 8. 分)一家饮料厂生产甲乙两种果汁饮料,甲种饮料每 3 份苹果汁加 1 份橙汁,乙种饮 (5 料每 2 份苹果汁加 2 份橙汁,该厂每天能获得的原料是苹果汁 200 升,橙汁 100 升,又厂方 的利润是每生产 1 升甲种饮料得 3 元, 生产 1 升乙种饮料得 4 元, 则该厂能获得的最大利润 是 250 元. 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: 根据题意,先确定可行域,建立利润函数,再综合比较,我们可以确定怎样安排生产 才能获利最大. 解答: 解:设生产 x 升甲种饮料,y 升乙种饮料,





该厂能获得的利润 W=3x+4y,画出可行域,如图. 当直线 W=3x+4y 经过点 A(50,25)的时候 W 值最大,所以应该是 x=50,y=25 时, 最大利润 W=3×50+4×25=250 所以,则该厂能获得的最大利润是 250 元. 故答案为:250.

点评: 以实际问题为素材,考查生产的最优化,关键在于建立不等式组,同时注意应使实际 问题有意义. 9. 分)已知方程(x ﹣mx﹣8) ﹣nx﹣8)=0 的四个根组成一个首项为 1 的等比数列, (5 (x 则 mn= ﹣14 . 考点: 根的存在性及根的个数判断;等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列.
4
2 2

分析: 根据一元二次方程根与系数的关系和等比数列性质分析, 四个根组成的首项为 1 的等 比数列的首项与末项的积等于第二项与第三项的积等于﹣8, 从而确定数列的每一项, 再由两根之和分别为 m、n,即可求出结果. 2 2 2 2 解答: 解:∵方程(x ﹣mx﹣8) ﹣nx﹣8)=0?x ﹣mx﹣8=0 ①或 x ﹣nx﹣8=0 ② (x 设方程①两根为 x1,x4,方程②两根为 x2,x3,则,x1x4=﹣8,x1+x4=m x2x3=﹣8, x2+x3=n 2 2 ∵方程(x ﹣mx﹣8) ﹣nx﹣8)=0 的四个根组成一个首项为 1 的等比数列 (x ∴x1,x2,x3,x4 分别为这个数列的前四项,且 x1=1,x4=﹣8,公比为﹣2, ∴x2=﹣2,x3=4, ∴m=x1+x4=1﹣8=﹣7,n=x2+x3=﹣2+4=2, 故则 mn=﹣14. 故答案为:﹣14. 点评: 本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和等比数列的性质,解题时要认真观 察,熟练运用性质. 10. 分)隔河可以看到两个目标 A、B,但不能到达,在岸边选取相距 km 的 C、D 两 (5 点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°.A、B、C、D 在同一个平 面内,则两目标 A、B 间的距离为 km. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用△ ACD 的边角关系,算出出 ACCD= BC= =

;在△ BCD 中,由正弦定理算出

.最后在△ ACB 中利用余弦定理加以计算,即可得出目标

A、B 间的距离. 解答: 解:∵在△ ACD 中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°, ∴∠CAD=30°,可得∠CAD=∠ADC 根据等角对等边,得 AC=CD= . 又∵在△ BDC 中,∠CBD=180°﹣(45°+75°)=60°. ∴由正弦定理,得 BC= 在△ ABC 中,由余弦定理,得 AB =AC +BC ﹣2AC?BC?cos∠BCA= ( ∴AB= ,即两目标 A、B 之间的距离为 故答案为:
2 2 2

=



)+ ( km.

2

) ﹣2×

2

×

cos75°=5

点评: 本题给出不能到达的两点 A、B,叫我们利用解三角形的知识求 A、B 之间的距离.着 重考查了特殊三角函数的值、利用正余弦定理解三角形等知识,属于中档题.

5

11. 分) (5 (2010?辽宁)已知数列{an}满足 a1=33,an+1﹣an=2n,则

的最小值为



考点: 数列递推式;基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 2 由累加法求出 an=33+n ﹣n,所以 ,设 f(n)= n=5 或 6 时 f(n)有最小值.借此能得到 的最小值.

,由此能导出

2 解答: 解:an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=2[1+2+…+(n﹣1)]+33=33+n ﹣n

所以 设 f(n)= ,令 f′(n)= , 上是递减的,

则 f(n)在 上是单调递增,在 因为 n∈N+,所以当 n=5 或 6 时 f(n)有最小值. 又因为 所以 , 的最小值为 ,

点评: 本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性, 考查 了同学们综合运用知识解决问题的能力. 12. 分)已知三个不等式①x ﹣4x+3<0②x ﹣6x+8<0③2x ﹣9x+m<0 要使同时满足① (5 和②的所有 x 的值都满足③,则实数 m 的取值范围是 m≤9 . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 2 2 分析: 可分别求得不等式①x ﹣4x+3<0 与②x ﹣6x+8<0 的解集 A 与 B 及其交集 A∩B, 2 设不等式③2x ﹣9x+m<0 为 C,由 A∩B?C 即可求得实数 m 的取值范围. 2 解答: 解:∵x ﹣4x+3<0, ∴1<x<3, 2 ∴x ﹣4x+3<0 的解集 A={x|1<x<3}; 2 同理可得,x ﹣6x+8<0 的解集 B={x|2<x<4}; ∴A∩B={x|2<x<3}; 2 设不等式③2x ﹣9x+m<0 为 C, ∵同时满足①和②的所有 x 的值都满足③, 2 ∴A∩B?C,令 g(x)=2x ﹣9x+m, 则: 解得:m≤9.
6
2 2 2

,即



∴实数 m 的取值范围是 m≤9. 故答案为:m≤9. 点评: 本题考查一元二次不等式的解法及集合的交集运算,考查解不等式及不等式组的能 力,属于中档题. 13.5 分)2008?长宁区二模) ( ( 三位同学合作学习, 对问题“已知不等式 xy≤ax +2y 对于 x∈[1, 2],y∈[2,3]恒成立,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说:“可视 x 为变量,y 为常量来分析”. 2 乙说:“不等式两边同除以 x ,再作分析”. 丙说:“把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 [﹣1,+∞) . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;压轴题;开放型;转化思想. 分析: 利用丙的方法,将字母 a 分离出来,然后将 求出
2 2

看成整体,转化成关于

的二次函数,

的范围,只需研究二次函数在闭区间上的最大值即可.

解答: 解:采用丙的方法: ,









=﹣1,

故答案为:[﹣1,+∞) . 点评: 本题主要考查了函数恒成立的问题,以及参数分离法的运用和转化的数学思想,属于 基础题. 14. 分)已知:f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对任意 a、b∈R,满足:f(a?b) (5 =af(b)+bf(a) ,且 ,则数列{an}的通项公式 an= .

考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣n ﹣n 分析: a=2 n,b=2,得 f(2 n+1)=2 nf(2)+2f(2 n) 令 ,设 An=f(2 ) ,可得 An﹣1=2
﹣1

+2An, 从而可知数列{

}是以﹣1 为, ﹣1 为首项的等差数列, 故可求数列{An}

的通项公式,从而得出数列{an}的通项公式.
7

解答: 解:令 a=1,b=1,得 f(1)=f(1)+f(1) ,∴f(1)=0, 令 a=2,b= ,得 f(1)=2f( )+ f(2) ,且 f(2)=2,∴f( )=﹣ , 令 a=2 ,b=2,得 f(2 ﹣n 设 An=f(2 ) ﹣n﹣1 ∴An﹣1=2 +2An,
﹣n ﹣n+1

)=2 f(2)+2f(2 )

﹣n

﹣n



=1+

,即



=﹣1,且

=

=﹣1

即数列{

}是以﹣1 为,﹣1 为首项的等差数列



=﹣n,
﹣n

∴An=﹣n?2 ∴ 故答案为: .



点评: 本题考查数列的函数特性、等差数列的定义,涉及抽象函数的应用,属中档题. 二.解答题 15. (13 分)求经过直线 l1:3x+2y﹣1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点, (1)且平行于直线 l3:3x﹣5y+6=0 的直线 l 的方程; (2)且垂直于直线 l3:3x﹣5y+6=0 的直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系;直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1) 解方程组求得两条直线的交点坐标, 根据两条直线平行的条件设出直线 l 的方程 为 3x﹣5y+m=0,把交点(﹣1,2)代入,求得 m 的值,即可得到直线 l 的方程. (2)设垂直于直线 l3:3x﹣5y+6=0 的直线 l 的方程为 5x+3y+n=0,把点(﹣1,2) 代入,求得 n 的值,即可得到 l 的方程. 解答: 解: (1)由 求得 ,故直线 l1:3x+2y﹣1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点为(﹣1,2) . 设平行于直线 l3:3x﹣5y+6=0 的直线 l 的方程为 3x﹣5y+m=0,把交点(﹣1,2)代 入可得﹣3﹣10+m=0,求得 m=13, 故所求的直线方程为 3x﹣5y+13=0. (2)设垂直于直线 l3:3x﹣5y+6=0 的直线 l 的方程为 5x+3y+n=0,把点(﹣1,2) 带入可得﹣5+6+n=0,解得 n=﹣1, 故所求的直线方程为 5x+3y﹣1=0. 点评: 本题主要考查求两条直线的交点坐标,两条直线平行和垂直的条件,属于基础题.
8

16. (15 分)已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,并且满足 a1+a2=5,a5+a6=29,以 及 b7=a22 (1)求 a22 的值; (2)设 b8=64m(m≠0) ,求数列{bn}的子数列 b7,b8,b9,b10,b11,…的前 n 项和 Sn. (3)在(2)的条件下,若 m=2,求数列 的前 n 项和 Tn.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)设等差数列{an}的公差为 d,依题意,列出关于其首项与公差的方程组,解之即 可得 an,从而可求 a22 的值; (2)依题意可求得{bn}的公比 q=m(m≠0) ,对 m 分类讨论,可得数列{bn}的子数列 b7,b8,b9,b10,b11,…的前 n 项和 Sn. n﹣1 1 2 n﹣1 (3)可求得 bn=2 ,从而可得 Tn=1+2×2 +3×2 +…+n×2 ,利用错位相减法即可求 得 Tn. 解答: 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 ,解得 d=3,a1=1,…3 分 ∴an=1+(n﹣1)×3=3n﹣2, ∴a22=64…5 分 (2)∵{bn}为等比数列,b7=a22=64,b8=64m(m≠0) , ∴{bn}的公比 q= =m(m≠0) ,

∴Sn=
6

…10 分

(3)∵m=2,b7=64=b1?2 , n﹣1 ∴b1=1,故 bn=2 . ∴Tn= [(a1+2)b1+(a2+2)b2+…+(an+2)bn] = (3×1+6×2 +…+3n×2
1 2 1 n﹣1



=1+2×2 +3×2 +…+n×2 ①…12 分 1 2 n ﹣1 n 2Tn=1×2 +2×2 +…+(n﹣1)×2 +n×2 ② ﹣1 2 n n ①﹣②得:﹣Tn=1+2+2 +…+2 ﹣n×2 = ﹣n×2
n n

n﹣1

=(1﹣n)×2 ﹣1,…14 分 n ∴Tn=1+(n﹣1)×2 …15 分 点评: 本题考查等差数列与等比数列的综合, 突出考查等差数列的通项公式与等比数列的通

9

项公式,着重考查错位相减法求和,属于难题. 17. (15 分)△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +c ﹣a +bc=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= ,求 bc 的最大值; (3)求 的值.
2 2 2

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: (1)根据题中等式,结合余弦定理算出 cosA= ,而 A∈(0,π) ,可得 A=
2 2



(2) a= 代入已知等式得 b +c =3﹣bc, 由 再用基本不等式即可得到当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1. (3)根据正弦定理,将 sinB=sin(A+C)和 A= 即可得到 化简为 .再由

,将分子、分母展开化简,然后将分子分母约去公因式, 的值.

解答: (1)∵△ABC 中,b2+c2=a2+bc 解: ∴根据余弦定理,得 cosA= ∵A∈(0,π) ,∴A=
2

= (2 分)

. 分) (4
2

(2)由 a= ,得 b +c =3﹣bc, 分) (6 2 2 又∵b +c ≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号)(8 分) , ∴3﹣bc≥2bc,可得当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1. (10 分) (3)由正弦定理,得 =2R, ∴ (11 分)

= ∵sin(60°﹣C)﹣sinC=

= cosC﹣ sinC﹣sinC=

(13 分) cosC﹣ sinC



=

= . (15 分)

点评: 本题给出三角形边之间的平方关系,求角 A 的大小并求 bc 的最大值,着重考查了特
10

殊三角函数的值、两角和与差的正弦公式和用正、余弦定理解三角形等知识,属于中 档题. 18. (15 分)如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN,要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=3 米,AD=2 米. (1)要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方米,则 AN 的长应在什么范围内? (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积; (3)若 AN 的长度不少于 6 米,则当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求 出最小面积.

考点: 基本不等式在最值问题中的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)如图,由题设令 AN=x 米,然后用 x 表示出边长 ,从中求出 x 的范围,即为 AN 的取值范围.

,由题意得出

(2) 矩形的面积可以表示为

, 化简后

用基本不等式求出最小值. (3)由(2)的求解知,当 AN 的长度不少于 6 米时,基本不等式取到最小值时等号 成立的条件不足备,故不宜用基本不等式求矩形 AMPN 的面积最小值,可以用函数 的单调性求面积的最小值. 解答: (1)设 AN=x 米, 解: (x>2) ,则 ND=x﹣2 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴3x ﹣32x+64>0(4 分) ∴(3x﹣8) (x﹣8)>0 ∴2<x< 或 x>8(5 分)
2

(2 分)

11

(2)

(7 分)

=

此时 x=4(10 分) (3)∵ 令 x﹣2=t(t≥4) , ∵ 当 t≥4 时,f'(t)>0 ∴ ∴f(t)min=f(4)=27 此时 x=6. (14 分) 答: (1) 或 AN>8 在[4,+∞)上递增(13 分) (x≥6) (11 分)

(2)当 AN 的长度是 4 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 24 平方米; (3)当 AN 的长度是 6 米时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 27 平方米. (15 分) 点评: 本题是个应用题,第一问要求根据题设关系列出函数关系式,并求出处变量的取值范 围;第二问考查了基本不等式求最值;第三问问题更深一层,重点考查基本不等式等 号成立的条件不足备时,怎么来求相应解析式的最小值,本题考查全面,是少见的知 识性与技能性都较强的题.
x

19. (16 分)已知点(1, )是函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的图象上一点,等比数列 an 的前 n 项和为 f(n)﹣c,数列 bn(bn>0)的首项为 c,且前 n 项和 Sn 满足 Sn﹣Sn﹣
1=

+

(n≥2) .

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若数列{ 前 n 项和为 Tn,问:Tn> 的最小正整数 n 是多少?

考点: 数列与不等式的综合;等差关系的确定;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由条件先求出 f(x) ,再求出数列的前三项,由前三项成等比数列求出 c 的值, 则通项{an}可求;判断数列{ }构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,求出其

通项后则可求数列{bn}的通项公式;
12

(2)利用裂项法求出数列的和,代入不等式可求最小正整数 n. 解答: x x 解: (1)因为 f(x)=a ,且 f(1)= ,所以 a= ,所以 f(x)=( ) . 所以 a1=f(1)﹣c= ﹣c,a2=[f(2)﹣c]﹣[f(1)﹣c]=﹣ ,a3=[f(3)﹣c]﹣[f(2) ﹣c]=﹣ .

又数列{an}成等比数列,所以 a1=

=

=﹣ = ﹣c,所以 c=1,

又公比 q=

= ,所以 an=﹣ ( ) ) ( ﹣

n﹣1

=﹣2?( ) (n∈N ) ,

n

*

所以 Sn﹣Sn﹣1=( 又 bn>0, ∴数列{ ∴

+

﹣ )=1,

)=

+

(n≥2) .

>0,所以

}构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列,
2

=1+(n﹣1)×1=n,∴Sn=n ,
2 2

当 n≥2,bn=Sn﹣Sn﹣1=n ﹣(n﹣1) =2n﹣1,又其满足 b1=c=1, 所以 bn=2n﹣1; (2) = +…+ = )= =

∴Tn= (1﹣ + ∵Tn> ∴ ∴满足 Tn> ,∴

的最小正整数 n 是 77.

点评: 本题考查了数列与不等式的综合,考查数列的通项与求和,考查裂项相消法,考查学 生的计算能力,属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R. (1)若存在 x∈[﹣1,1],使得 成立,求实数 a 的取值范围;
x

(2)解关于 x 的不等式 f(2x)+(a﹣1)f(x)>a; (3)若 f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2) ,f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3) , 求 x3 的最大值.

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考点: 其他不等式的解法;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由于存在 x∈[﹣1,1],令
2

,可得 a>﹣t +2t.再根据函数 y=

2

﹣t +2t 的最小值为 0,求得 a 的范围. 2x x (2)不等式即 2 +(a﹣1)x>a.令 t=2 ∈(0,+∞) ,不等式即(t﹣1) (t+a)>0.结 合 t 的范围,分 a=﹣1、a<﹣1、a>﹣1 三种情况,分别求得 x 的范围. (3)令 ,则 a+b=ab,a+b+c=abc,利用基本不等式求得 ab

的范围,可得 c 的范围,从而求得 x3 的最大值. 解答: 解: (1)∵存在 x∈[﹣1,1],令 ,即
2 2

成立. (1 分)

∴a>﹣t +2t.由于函数 y=﹣t +2t 的最小值为 0,此时,t=2, 分) (4 ∴a>0,即实数 a 的取值范围为(0,+∞)(5 分) . (2)不等式 f(2x)+(a﹣1)f(x)>a,即 2 +(a﹣1)x>a. x 令 t=2 ∈(0,+∞) ,不等式即(t﹣1) (t+a)>0. 分) (6 ①当﹣a=1,即 a=﹣1,可得 t>0 且 t≠1,∴x≠0. 分) (7 ②当﹣a>1,即 a<﹣1,可得 t>﹣a,或 0<t<1,∴x>log2(﹣a) ,或 x<0. (8 分) ③当﹣a<1,即 a>﹣1,可得 t<﹣a,或 t>1. 若﹣a≤0,即 a≥0,由不等式可得 t>1,∴x>0. 分) (9 若 0<﹣a<1,即﹣1<a<0,由不等式可得 0<t<﹣a,或 t>1, ∴x<log2(﹣a) ,或 x>0. (10 分) 综上,当 a=﹣1 时,不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a<﹣1 时,不等式的解集为{x|x>log2(﹣a) ,或 x<0 }; 当 a≥0 时,不等式的解集为{x|x>0}; 当﹣1<a<0 时,不等式的解集为{x|x<log2(﹣a) ,或 x>0}. (11 分) (3)令 由 ,则 a+b=ab,a+b+c=abc, (a,b,c>0) . . (13 分) (15 分) ∴ ,故 x3 的最大值为 . (16 分)
2x

点评: 本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法,不等式的性质以及基本不等式的 应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.

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