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2.2.1 椭圆及其标准方程习题


椭圆的标准方程
定 义 |MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)

y
M

y
F 2 M

图 形

F1

o

F2

x

o
F1

x

方 程 焦 点
a,b,c的关系

x2 y2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(±c,0)

y2 x2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 a b
F(0,±c)

c2=a2-b2

求法: 一定焦点位置;二设椭圆方程;三求a、b的值.

例题讲解
例1、填空:

x2 y2 ? ? 1,则 (1)已知椭圆的方程为: 25 16 5 4 3 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐标 (3,0)、(-3,0) 6 为:____________焦距等于______;若CD为过 20 左焦点F1的弦,则 F2CD的周长为________
C

F1

F2

D

x y ? ? 1 ,则 4 5 2 5 1 a=_____,b=_______,c=_______,焦点坐
(2)已知椭圆的方程为:
2 (0,-1)、(0,1) 标为:___________焦距等于__________;曲

2

2

线上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到 另一个焦点F2的距离等于_________。 2 5 ?3

例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)满足a=4,b=1,焦点在X轴上的椭圆的

x2 2 ? y ?1 16 标准方程为__________
(2)满足a=4,c= 15 ,焦点在Y轴上的椭圆 2 y 2 ? x ?1 的标准方程为____________ 16

(3)两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0),

椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10;
解:∵ 椭圆的焦点在x轴上

x y ∴ 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4
2 2 2

2

2

?b ? a ? c ? 5 ? 4 ? 9
2 2

x2 y 2 ? ?1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 25 9

(4)两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2),
? 3 5? 并且椭圆经过点 ? ? , ? ? 2 2?

解:∵ 椭圆的焦点在y轴上, y2 x2 ∴ 设它的标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 由椭圆的定义知,
? 3? ?5 ? ? 3? ?5 ? 2a ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2? ?2 ? ? 2? ?2 ?
2 2 2 2

? 2 10

? a ? 10
2 2 2

又 ∵ c=2

y2 x2 ? ?1 ∴ 所求的椭圆的标准方程为 10 6

?b ? a ? c ? 10 ? 4 ? 6

求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1)a+b=10,c= 2 5

(2)过点

6 A( , 3

2 2 3), B( ,1) 3

求椭圆的标准方程 法一:(1)首先要判断焦点位置, (2)用待定系数法求 a, b

法二:(1)设椭圆方程为

mx ? ny ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n)
2 2

(2)用待定系数法求 m,n 其中a2=b2+c2


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