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2014高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件 专题4 第2课时 点、直线、平面之间的位置关系


第2课时 点、直线、平面之间的位置关



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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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高频考点

考情解读

此类问题多以多面体为载体,考查线线平 线线、线面 行、线面平行及线线垂直、线面垂直的相互 平行与垂直 转化,试题以解答题为主. 此类问题多以多面体为载体,结合线线、线 面面平行与 面的位置关系,涉及的知识点多,综合性 垂直 强,通常考查面面位置关系的判定及性质.

此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何 平面图形的 体,并以此为载体考查线线、线面、面面的 折叠问题 位置关系及有关计算.

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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明析线、面平行、垂直判定的六种方法 a∥b? ? α∥β? ? ??a∥α, b?α??a∥α, a?β ? ? ? a ?α ?

(1)线面平行

α⊥β? ? a⊥β??a∥α. a?α ? ?

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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(2)线线平行

a∥α ? ? a⊥α? ? ??a∥b, a?β ??a∥b, b⊥α? ? ? α∩β=b?

α∥β ? ? a∥b? ? ??c∥b. α∩γ=a??a∥b, a∥c ? ? ? β∩γ=b?

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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(3)面面平行

a?α,b?α? ? a⊥α? ? ??α∥β, a∩b=O ??α∥β, a⊥β? ? ? a∥β,b∥β ?

α∥β? ? ??α∥γ. γ∥β ? ? (4)线线垂直 a⊥α? ? ??a⊥b. b?α? ?

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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(5)线面垂直 ⊥β,

a?α,b?α? ? a∩b=O ? ?l⊥α, l⊥a,l⊥b ? ?

α⊥β ? ? α∩β=l ? ?a a?α,a⊥l? ?

α∥β? a∥b? ? ? ??a⊥β, ??b⊥α. a⊥α? a⊥α? ? ? (6)面面垂直 a?β? a∥β? ? ? ??α⊥β, ??α⊥β. a⊥α? a⊥α? ? ?

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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空间点、线、平面之间的位置关系

(2013· 全国大纲卷 ) 设 l 为直线, α , β 是两个不同
的平面.下列命题中正确的是( A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥β C.若l⊥α,l∥β,则α∥β )

D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β

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解析:

选项A,若l∥α,l∥β,则α和β可能平行也可能相

交,故错误;
选项B,若l⊥α,l⊥β,则α∥β,故正确; 选项C,若l⊥α,l∥β,则α⊥β,故错误; 选项 D ,若 α⊥β , l∥α ,则 l 与 β 的位置关系有三种可能: l⊥β,l∥β,l?β,故错误.故选B.

答案: B

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判断空间线面位置关系的两大思路 (1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的 判定定理和性质定理逐项判断.

(2)借助空间几何模型,如从长方体模型、四面体模型等模
型中观察线面位置关系,结合有关定理,肯定或否定某些选 项,并作出选择.

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1 . (2013· 河北教学质量监测 ) 已知 α , β 是两个不同的平

面,给出下列四个条件:①存在一条直线a,a⊥α,a⊥β;②
存在一个平面 γ , γ⊥α , γ⊥β ;③存在两条平行直线 a , b , a?α,b?β, a∥β ,b∥α ;④存在两条异面直线 a,b ,a?α , b?β,a∥β,b∥α.可以推出α∥β的是( A.①③ ) B.②④

C.①④

D.②③

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解析:
故选C.

对于②,平面α与β还可以相交;对于③,当a∥b

时,不一定能推出α∥β,所以②③是错误的,易知①④正确, 答案: C

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线线、线面的平行与垂直
已知在如图的多面体中,AE⊥底面BEFC,AD∥ 1 EF∥BC,BE=AD=EF=2BC,G是BC的中点.

(1)求证:AB∥平面DEG; (2)求证:EG⊥平面BDF.

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证明: (1)∵AD∥BC,BC=2AD,G是BC的中点,

∴AD綊BG,
∴AB∥DG.

∴四边形ADGB是平行四边形, ∵AB?平面DEG,DG?平面DEG, ∴AB∥平面DEG.

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(2)连接GF,易知四边形ADFE是矩形,

∵DF∥AE,AE⊥底面BEFC,
∴DF⊥平面BCFE,又EG?平面BCFE,∴DF⊥EG. ∵EF綊BG,EF=BE, ∴四边形BGFE为菱形,∴BF⊥EG, 又BF∩DF=F,BF?平面BDF,DF?平面BDF,

∴EG⊥平面BDF.

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(1)证线面平行常用的两种方法:一是利用线 面平行的判定定理,把证线面平行转化为证线线平行;二是 利用面面平行的性质,把证线面平行转化为证面面平行. (2)证线面垂直常用的方法:一是利用线面垂直的判定定 理,把证线面垂直转化为证线线垂直;二是利用面面垂直的 性质定理,把面面垂直转化为线面垂直;另外还要注意利用 教材中的一些结论,如:两条平行线中的一条垂直于一个平 面,则另一条也垂直于这个平面等等.

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2 .如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中, E,F分别为DD1,DB的中点.求证:

(1)EF∥平面ABC1D1;
(2)EF⊥B1C.

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证明:

(1) 连接BD1. 在△DD1B 中, E,F 分别为 D1D , DB

的中点,则EF∥D1B.

又D1B?平面ABC1D1,EF?平面ABC1D1,
∴EF∥平面ABC1D1. (2)由题意易得AB⊥B1C,B1C⊥BC1. 又AB,BC1?平面ABC1D1,AB∩BC1=B, ∴B1C⊥平面ABC1D1.

又BD1?平面ABC1D1,∴B1C⊥BD1.
而EF∥BD1,∴EF⊥B1C.

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面面平行与垂直
(2013· 合肥市质量检测)如图,在几何体ABCDE 中,AB=AD=2,AB⊥AD,AE⊥平面ABD,M为线段BD 的中点,MC∥AE,且AE=MC= 2. (1)求证:平面BCD⊥平面CDE; (2)若N为线段DE的中点,求证:平面AMN∥平面BEC.

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证明: 中点,

(1)∵AB=AD=2,AB⊥AD,M为线段BD的

1 ∴AM=2BD= 2,AM⊥BD, ∵AE=MC= 2, 1 ∴AE=MC=2BD= 2, ∴BC⊥CD,BD⊥CM. ∵AE⊥平面ABD,MC∥AE,∴MC⊥平面ABD, ∴MC⊥AM,∴AM⊥平面CBD.
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又MC∥AE,AE=MC=, ∴四边形AMCE为平行四边形,∴EC∥AM,

∴EC⊥平面CBD.
∵EC?平面CDE,∴平面BCD⊥平面CDE. (2)∵M为BD的中点,N为DE的中点, ∴MN∥BE. 由(1)知EC∥AM且AM∩MN=M,

又BE∩EC=E,
∴平面AMN∥平面BEC.

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(1)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即 证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证 明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的 直线,则借助中点、高线或添加辅助线解决. (2)证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条 相交直线与另一个平面平行即可.从而将证面面平行转化为证 线面平行,再转化为证线线平行.

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3. 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥

平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点.

(1)求证:平面EFG∥平面PMA; (2)求证:平面EFG⊥平面PDC.
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证明: (1)∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点, ∴EG∥PM,GF∥BC.

又∵四边形ABCD是正方形,
∴BC∥AD,∴GF∥AD. ∵EG、GF在平面PMA外,PM、AD在平面PMA内, ∴EG∥平面PMA,GF∥平面PMA. 又∵EG、GF都在平面FEG内且相交,

∴平面EFG∥平面PMA.

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(2)由已知MA⊥平面ABCD. PD∥MA,∴PD⊥平面ABCD, 又BC?平面ABCD. ∴PD⊥BC.

∵四边形ABCD为正方形,
∴BC⊥DC. 又PD∩DC=D, ∴BC⊥平面PDC.

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在△PBC中,∵G、F分别为PB、PC的中点, ∴GF∥BC, ∴GF⊥平面PDC. 又GF?平面EFG, ∴平面EFG⊥平面PDC.

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思想诠释 平行与垂直问题

转化与化归思想——解决空间中的线、面

(2013· 北京卷 ) 如图,在四棱锥 P - ABCD 中, AB∥CD , AB⊥AD , CD = 2AB , 平 面 PAD⊥ 底 面 ABCD ,

PA⊥AD,E和F分别是CD和PC的中点.求证:
(1)PA⊥底面ABCD; (2)BE∥平面PAD; (3)平面BEF⊥平面PCD.

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证明:

(1) 因为平面 PAD⊥ 底面 ABCD ,且 PA 垂直于这

两个平面的交线AD,所以PA⊥底面ABCD.

(2)因为AB∥CD,CD=2AB,E为CD的中点,
所以AB∥DE,且AB=DE. 所以四边形ABED为平行四边形. 所以BE∥AD, 又因为BE?平面PAD,AD?平面PAD,

所以BE∥平面PAD.

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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(3)因为AB⊥AD,而且四边形ABED为平行四边形,
所以BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点, 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因为CD⊥BE,EF∩BE=E, 所以CD⊥平面BEF.

又因为CD?平面PCD,所以平面BEF⊥平面PCD.
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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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1. 本题第 (1) 问由面面垂直转化为线面垂
直,第 (2) 问要证线面平行,应证线线平行,即 BE∥AD?BE∥ 平面PAD,第(3)问多次利用线面垂直判定和性质,最后利用线 面垂直转化面面垂直. 2 .线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下列

形式转化.

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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3 .垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类 型.

(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证 明线线垂直.

(5)平行与垂直关系间的转化.
(6)平面图形与空间图形通过折叠进行的转化.

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题四

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如图所示,正三棱柱A1B1C1-ABC中,点D是BC的中 点,BC= 2BB1,设B1D∩BC1=F.求证: (1)A1C∥平面AB1D; (2)BC1⊥平面AB1D.

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证明:

(1)连接A1B,设A1B与AB1交于E,连接DE.

∵点D是BC中点,点E是A1B中点,

∴DE∥A1C,∵A1C?平面AB1D,
DE?平面AB1D, ∴A1C∥平面AB1D. (2)∵△ABC是正三角形,点D是BC的中点,∴AD⊥BC. ∵平面ABC⊥平面B1BCC1,

平面ABC∩平面B1BCC1=BC,AD?平面ABC,
∴AD⊥平面B1BCC1, ∵BC1?平面B1BCC1,∴AD⊥BC1.
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2 ∵点D是BC的中点,BC= 2BB1,∴BD= 2 BB1. 2 BD CC1 ∵BB = BC = 2 ,∴Rt△B1BD∽Rt△BCC1. 1 ∴∠BDB1=∠BC1C. ∴∠FBD+∠BDF=∠C1BC+∠BC1C=90° . ∴BC1⊥B1D.因为B1D∩AD=D, ∴BC1⊥平面AB1D.

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