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3.1.4-3.1.5空间向量的正交分解及其坐标表示及坐标运算


3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
设 i, j, k 是空间三个两两垂直的向量,

p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z
P

p ? xi ? y j ? z k

i
x

k
o

j
y Q

一:空间向量的基本定理
如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间 任一向量 p ,存在有序实数组{x,y,z},使得

p ? x a ? yb ? z c
{a, b, c}叫做空间一个基底 (base) a, b, c都叫做基向量 (base vectors ).

二:空间向量的基本定理应用
1..如图,M,N分别是四面体OABC的边OA, BC的中点,P,Q是MN的三等分点.用向量

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OA, OB, OC表示OP和OQ.

O
??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? OP ? OA ? OB ? OC 6 3 3 ???? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ???? OQ ? OA ? OB ? OC 3 6 6

M Q A C

P N B

二:空间向量的基本定理应用
2.已知平行六面体OABC-O’A’B’C’,点 ??? ? ? ??? ? ? ???? ? ? G是
OA ? a, OC ? b, OO ' ? c

侧面BB’C’C的中心,且

a , b, c

用 (1)OB'
(2) BA' (3)OG

? ? ? 表示下列向量 : a ?b?c ? ? ?b ? c
A'

O' C' B' G O C

1? ? 1? a?b? c 2 2

A

B

巩固性训练1
1.已知向量{a, b, c}是空间的一个基底 , 从a, b, c中选哪一个向量 , 一定可以与 向量 p ? a ? b, q ? a ? b构成空间的另一个 基底.
?? C

2.已知O,A,B,C为空间四个点,且向量
OA, OB, OC 不构成空间的一个基底,那么

O,A,B,C是否共面?

共面

3.1.5空间向量运算的坐标表示

三:单位正交基底
设 e1 , e2 , e3 是空间三个单位正交基底,

p 是空间中任一向量,则存在一个有序
实数对{x,y,z},使得
z

p ? xe1 ? y e2 ? z e3
e1, e2 , e3叫做单位正交基底
e3

e1

e2

P y

o

x

四:向量的坐标表示
以 e1 , e2 , e3 方向建立直角坐标系,则

p ? xe1 ? y e2 ? z e3
把x,y,z称作向量 p在正交基底 e1 , e2 , e3

下的坐标,记为 p ? ( x, y, z )
e3

z

e1

e2

P y

o

x

四:向量的坐标表示
在直角坐标系中,A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2),则
??? ? (x -x ,y -y ,z -z ) 2 1 2 1 2 1 AB ? _______________, ??? ? (x1-x2,y1-y2,z1-z2) BA ? _______________ .

练习.如图,边长为1的正方体OABCO’A’B’C’中, AB’的中点为M,BC’的中点为N,z求下列向量
1 1 ???? ? (1, , ) 的坐标: 2 2 (1)OM ? _________ 1 1 ???? ( ,1, ) (2)ON ? __________ 2 2 1 1 ???? ? ( ? , ,0) (3) MN ? __________ 2 2 ????? ? 1 1 (1, ? ,? ) (4)C ' M ? __________ 2 2
O' C' A' O

B'

N

M
A B

C

y

五:向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1, b2 , b3 )则
a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

a ? b ? (a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 );

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

六:距离和夹角公式
1.距离公式 (1)向量的长度(模)公式

?2 ? ? | a | ? a ? a ? a12 ? a22 ? a32 ?2 ? ? | b | ? b ? b ? b12 ? b22 ? b32
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。

(2)空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,已知 A( x1 , y1 , z1 ) 、
B( x2 , y2 , z2 ),则

???? AB ?

( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 )

???? ???? ???? 2 2 2 ( x ? x ) ? ( y ? y ) ? ( z ? z ) 2 1 2 1 2 1 ?| AB |? AB?AB ?

d A, B ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2 2

2

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, a 与 b 同向;

? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。 ? ? ? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 ?1 ? cos ? a , b ?? 0 时,
的夹角在什么范围内?

? ? ? ? a 与 b 反向; (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时,

练习一:
1.求下列两个向量的夹角的余弦:
(1) a ? (2 , ? 3 , 3) , b ? (1, 0 , 0) ;
(2) a ? (?1, ? 1,1) , b ? (?1, 0 ,1) ;

2.求下列两点间的距离:
(1) A(1,1, 0) , B (1,1,1) ;
(2) C (?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .

三、应用举例
A 例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 B(1, 0 , 5) ,求:

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则

M

B
O

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ? 3 ? OM ? (OA ? OB) ? ? (3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ?? ? ? 2 , , 3? , ? ? 2 2 ? 2 ?

d A, B ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1)2 ? 29 .

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? ( z ? 1) 2 ? ( x ? 1) 2 ? ( y ? 0) 2 ? ( z ? 5) 2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0

例2

B1 E1 ? 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,

A1B1 ? D1F1 ? 4

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 3 ? B(1,1, 0) , E1 ?1, ,1? , ? 4 ?
C

D

O
B

y

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1? . ? 4 ?

A

x

???? ? ? 3 ? 1 ? ? BE1 ? ?1, ,1? ? (1,1, 0) ? ? 0 , ? ,1? , 4 ? ? 4 ? ?

例2

B1 E1 ? 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中,
A1B1 4

? D1F1 ?

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
???? ? ? 1 ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1?? (0 , 0 , 0) ? ? 0 , ,1? . ? 4 ? ? 4 ?
???? ? ???? ? 15 ? 1? 1 BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? , 16 ? 4? 4

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O

A

x

???? ? ? 17 ???? 17 C y | BE1 |? , | DF1 |? . 4 4 15 ???? ? ???? ? B ???? ? ???? ? BE1 ?DF1 15 16 ???? ? ???? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 4 4

练习1
如图:直三棱柱ABC ? A1 B1C1 , 底面?ABC 中, CA=CB=1,?BCA=90o,棱AA1=2,M、 N分别为A1B1、AA1的中点, 1)求BN的长; 2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值; 3)求证:A1B ? C1M。
A A1 M C1 B1

N C

B

练习2
已知A(0,2,3)、B( ? 2,1,6), C (1,?1,5), 用向量 方法求?ABC 的面积S。

四、课堂小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题

时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或

证明。


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