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《三维设计》2016级数学一轮复习基础讲解两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)


《三维设计》2014 届高考数学一轮复习教学案+复习技法

第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[知识能否忆起] 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α-β):cos(α-β)=cos_αcos_β+sin_αsin_β; (2)C(α+β):cos(α+β)=cos_αcos_β-sin_αsin_β; (3)S(α+β):sin(α+β)=sin_αcos_β+cos_αsin_β; (4)S(α-β):sin(α-β)=sin_αcos_β-cos_αsin_β; tan α+tan β (5)T(α+β):tan(α+β)= ; 1-tan αtan β tan α-tan β (6)T(α-β):tan(α-β)= . 1+tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α:sin 2α=2sin_αcos_α; (2)C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; 2tan α (3)T2α:tan 2α= . 1-tan2α 3.常用的公式变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan αtan β); 1+cos 2α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2, 1-sin 2α=(sin α-cos α)2, π? sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± [小题能否全取] sin 2α 1.(2011· 福建高考)若 tan α=3,则 2 的值等于( cos α A.2 C.4 解析:选 D B.3 D.6 sin 2α 2sin αcos α = =2tan α=2×3=6. cos2α cos2α )

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2.sin 68° sin 67° -sin 23° cos 68° 的值为( A.- C. 3 2 2 2 B. 2 2

)

D.1 2 . 2

解析:选 B 原式=sin 68° cos 23° -cos 68° sin 23° =sin(68° -23° )=sin 45° = 2 3.已知 sin α= ,则 cos(π-2α)等于( 3 A.- 1 C. 9 解析:选 B 5 3 )

1 B.- 9 D. 5 3

4 1 cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2× -1=- . 9 9

π? 4 4.(教材习题改编)若 cos α=- ,α 是第三象限角,则 sin? ?α+4?=________ 5 解析:由已知条件 sin α=- 3 1-cos2α=- , 5

π? 2 2 7 2 sin? ?α+4?= 2 sin α+ 2 cos α=- 10 . 7 2 答案:- 10 π 2 α+ ?= ,则 tan α=________. 5.若 tan? ? 4? 5 π? tan α+1 2 解析:tan? ?α+4?=1-tan α=5, 即 5tan α+5=2-2tan α. 3 则 7tan α=-3,故 tan α=- . 7 3 答案:- 7

1.两角和与差的三角函数公式的理解: (1)正弦公式概括为“正余,余正符号同”.“符号同”指的是前面是两角和,则 后面中间为“+”号;前面是两角差,则后面中间为“-”号. (2)余弦公式概括为“余余,正正符号异”. (3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令 β=α 所得.特别地,对于余弦:cos 2α

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=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,这三个公式各有用处,同等重要,特别是逆用即为 “降幂公式”,在考题中常有体现. 2.重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式”;变角为:对 角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角;变名:尽可能减少函数名称;变式:对式子 变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是 观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等 变形.

三角函数公式的应用

典题导入 1 π? [例 1] (2011· 广东高考)已知函数 f(x)=2sin? ?3x-6?,x∈R. 5π? (1)求 f? ? 4 ?的值; π? ? π? 10 6 (2)设 α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5,求 cos(α+β)的值. 1 π? [自主解答] (1)∵f(x)=2sin? ?3x-6?, 5π? π ?5π π? ∴f? ? 4 ?=2sin?12-6?=2sin4= 2. π? ? π? 10 6 (2)∵α,β∈? ?0,2?,f?3α+2?=13,f(3β+2π)=5, π? 6 10 ∴2sin α= ,2sin? ?β+2?=5. 13 5 3 即 sin α= ,cos β= . 13 5 12 4 ∴cos α= ,sin β= . 13 5 ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β = 12 3 5 4 16 × - × = . 13 5 13 5 65 由题悟法 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用 α、β 的三角函数表示 α± β

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的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统 一角和角与角转换的目的. 以题试法 π ? 3 1.(1)已知 sin α= ,α∈? ?2,π?,则 5 =________. π α+ ? 2sin? ? 4? π 5 ? ,则 tan? ?4+2α?=( 5 ) cos 2α

(2)(2012· 济南模拟)已知 α 为锐角,cos α= A.-3 4 C.- 3 解析:(1) cos 2α 1 B.- 7 D.-7

= =cos α-sin α, π ? 2sin α+ 2cos α? α+ ? 2sin? 2 ? 4? 2 ?2 ?

cos2α-sin2α

π ? 3 4 ∵sin α= ,α∈? ?2,π?,∴cos α=-5. 5 7 ∴原式=- . 5 4 1- 3 2×2 π 2 5 4 ? (2)依题意得,sin α= ,故 tan α=2,tan 2α= =- ,所以 tan? ?4+2α?= 4= 5 3 1-4 1+ 3 1 - . 7 7 答案:(1)- 5 (2)B

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入 x [例 2] (2013· 德州一模)已知函数 f(x)=2cos2 - 3sin x. 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; π? 1 cos 2α (2)若 α 为第二象限角,且 f? ?α-3?=3,求1+cos 2α-sin 2α的值. π x x+ ?, [自主解答] (1)∵f(x)=2cos2 - 3sin x=1+cos x- 3sin x=1+2cos? ? 3? 2 ∴周期 T=2π,f(x)的值域为[-1,3].

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π? 1 1 1 (2)∵f? ?α-3?=3,∴1+2cos α=3,即 cos α=-3. ∵α 为第二象限角,∴sin α= cos 2α 2 2 . 3

∴ = 1+cos 2α-sin 2α 2cos2α-2sin αcos α 1 2 2 cos α+sin α -3+ 3 1-2 2 = = = . 2cos α 2 2 - 3 由题悟法 运用两角和与差的三角函数公式时, 不但要熟练、 准确, 而且要熟悉公式的逆用及变形, 如 tan α+tan β=tan(α+β)· (1-tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等. 以题试法 π? 4 3 ? π? 2.(1)(2012· 赣州模拟)已知 sin? ?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为( 4 A. 5 C. 3 2 3 B. 5 D. 3 5 )

cos2α-sin2α

3π (2)若 α+β= ,则(1-tan α)(1-tan β)的值是________. 4 解析:(1)由条件得 3 3 4 3 sin α+ cos α= , 2 2 5

1 3 4 即 sin α+ cos α= . 2 2 5 π? 4 ∴sin? ?α+3?=5. tan α+tan β 3π (2)-1=tan =tan(α+β)= , 4 1-tan αtan β ∴tan αtan β-1=tan α+tan β. ∴1-tan α-tan β+tan αtan β=2, 即(1-tan α)(1-tan β)=2. 答案:(1)A (2)2 角 的 变 换

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典题导入 [例 3] (1)(2012· 温州模拟)若 sin α+cos α =3,tan(α-β)=2,则 tan(β-2α)=________. sin α-cos α

π? 4 π? ? (2)(2012· 江苏高考)设 α 为锐角,若 cos? ?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. sin α+cos α tan α+1 [自主解答] (1)由条件知 = =3, sin α-cos α tan α-1 则 tan α=2. 故 tan(β-2α)=tan [(β-α)-α] = -2-2 4 = = . 1+tan?β-α?tan α 1+?-2?×2 3 tan?β-α?-tan α

π 4 α+ ?= , (2)因为 α 为锐角,cos? ? 6? 5 π? 3 ? π? 24 所以 sin? ?α+6?=5,sin 2?α+6?=25, π? 7 cos 2? ?α+6?=25, π? ? ? π? π? 所以 sin? ?2α+12?=sin 2?α+6?-4

?

?



24 2 7 2 17 2 × - × = . 25 2 25 2 50 17 2 (2) 50 由题悟法

4 [答案] (1) 3

1. 当“已知角”有两个时, 一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式; 2.当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系, 然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. 3.常见的配角技巧: α α=2· ;α=(α+β)-β; 2 α=β-(β-α); 1 α= [(α+β)+(α-β)]; 2 1 β= [(α+β)-(α-β)]; 2 π π π ? π π -α ;α= -? -α?. +α= -? ? 4 2 ?4 4 ?4 ?

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以题试法 π 1 π 2 β- ?= ,则 tan?α+ ?=( 3.设 tan(α+β)= ,tan? ? 4? 4 ? 4? 5 13 A. 18 3 C. 22 解析:选 C 13 B. 22 1 D. 6 π? ? ? π?? tan? ?α+4?=tan??α+β?-?β-4?? )



3 = . π 22 ? 1+tan?α+β?tan? ?β-4?

π? tan?α+β?-tan? ?β-4?

1. (2012· 重庆高考)设 tan α, tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根, 则 tan (α+β)的值为( A.-3 C.1 B.-1 D.3

)

解析:选 A 由题意可知 tan α+tan β=3,tan α· tan β=2, tan α+tan β tan(α+β)= =-3. 1-tan αtan β π π 3 x- ?=- ,则 cos x+cos?x- ?的值是( 2.(2012· 南昌二模)已知 cos? ? 6? ? 3? 3 2 3 A.- 3 C.-1 解析: 选 C 2 3 B.± 3 D.± 1 π 1 3 3 3 x- ? = cos x + cos x + sin x = cos x + sin x = 3 cos x + cos ? ? 3? 2 2 2 2 )

? 3cos x+1sin x?= 3cos?x-π?=-1. ? 6? 2 ?2 ?
π 1 ? ?π ? 3. (2012· 乌鲁木齐诊断性测验)已知 α 满足 sin α= ,那么 sin? ?4+α?sin?4-α?的值为 2 ( ) 1 A. 4 1 C. 2 1 B.- 4 1 D.- 2

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π ? ?π ? ?π ? cos?π+α?=1sin?π+2α?=1cos 解析:选 A 依题意得,sin? ?4+α?sin?4-α?=sin?4+α?· ?4 ? 2 ?2 ? 2 1 1 2α= (1-2sin2α)= . 2 4 4. 已知函数 f(x)=x3+bx 的图象在点 A(1, f(1))处的切线的斜率为 4, 则函数 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x 的最大值和最小正周期为( A.1,π C. 2,2π )

B.2,π D. 3,2π

解析:选 B 由题意得 f′(x)=3x2+b, f′(1)=3+b=4,b=1. 所以 g(x)= 3sin 2x+bcos 2x π? = 3sin 2x+cos 2x=2sin? ?2x+6?, 故函数的最大值为 2,最小正周期为 π. 5. (2012· 东北三校联考)设 α、 β 都是锐角, 且 cos α= 2 5 A. 25 2 5 2 5 C. 或 25 5 2 5 B. 5 D. 5 5 或 5 25 2 5 , 5 5 3 , sin(α+β)= , 则 cos β=( 5 5 )

解析:选 A 依题意得 sin α= 1-cos2α= 4 cos(α+β)=± 1-sin2?α+β?=± . 5 又 α、β 均为锐角,因此 0<α<α+β<π, 4 5 4 cos α>cos(α+β),注意到 > >- , 5 5 5 4 所以 cos(α+β)=- . 5

4 5 3 2 5 2 5 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=- × + × = . 5 5 5 5 25 6.已知 α 为第二象限角,sin α+cos α= A.- C. 5 9 5 3 B.- D. 5 3 3 1 2 两边平方,可得 1+sin 2α= ,sin 2α=- ,所以(- 3 3 3 5 9 3 ,则 cos 2α=( 3 )

解析:选 A 将 sin α+cos α=

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5 sin α+cos α)2=1-sin 2α= .因为 α 是第二象限角,所以 sin α>0,cos α<0,所以-sin α+ 3 cos α=- 15 5 ,所以 cos 2α=(-sin α+cos α)· (cos α+sin α)=- . 3 3

π 4π 1 7.(2012· 苏锡常镇调研)满足 sin sin x+cos cos x= 的锐角 x=________. 5 5 2 解析:由已知可得 4π 4π 1 cos cos x+sin sin x= , 5 5 2 4π ? 1 即 cos? ? 5 -x?=2, 4π π 7π 又 x 是锐角,所以 -x= ,即 x= . 5 3 15 7π 答案: 15 2tan?45° -α? sin αcos α 8.化简 · =________. 2 1-tan ?45° -α? cos2α-sin2α 1 sin 2α 2 解析:原式=tan(90° -2α)· cos 2α 1 sin?90° -2α? 2sin 2α = · cos?90° -2α? cos 2α = cos 2α 1 sin 2α 1 · = . sin 2α 2cos 2α 2

1 答案: 2 9.(2013· 烟台模拟)已知角 α,β 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴的正半轴重合,α,β 1 ∈(0,π),角 β 的终边与单位圆交点的横坐标是- ,角 α+β 的终边与单位圆交点的纵坐标 3 4 是 ,则 cos α=________. 5 解析:依题设及三角函数的定义得: 1 4 cos β=- ,sin(α+β)= . 3 5 π π 2 2 3 又∵0<β<π,∴ <β<π, <α+β<π,sin β= ,cos(α+β)=- . 2 2 3 5 ∴cos α=cos[(α+β)-β] =cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β

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1 4 2 2 3 - ?+ × =- ×? 5 ? 3? 5 3 = 3+8 2 . 15

3+8 2 答案: 15 π? π? 1 ? 10.已知 α∈? ?0,2?,tan α=2,求 tan 2α 和 sin?2α+3?的值. 1 2× 2 4 1 2tan α 解:∵tan α= ,∴tan 2α= = = , 2 2 1-tan α 1-1 3 4 且 sin α 1 = ,即 cos α=2sin α, cos α 2

又 sin2α+cos2α=1, π 0, ?, ∴5sin2α=1,而 α∈? 2 ? ? ∴sin α= 5 2 5 ,cos α= . 5 5 5 2 5 4 × = , 5 5 5

∴sin 2α=2sin αcos α=2×

4 1 3 cos 2α=cos2α-sin2α= - = , 5 5 5 π π π 4 1 3 3 4+3 3 2α+ ?=sin 2αcos +cos 2αsin = × + × = ∴sin? . 3? ? 3 3 5 2 5 2 10 π? 4 π 11.已知:0<α< <β<π,cos? ?β-4?=5. 2 (1)求 sin 2β 的值; π? (2)求 cos? ?α+4?的值. π? π 2 2 1 解:(1)法一:∵cos? ?β-4?=cos4cos β+sin β= 2 cos β+ 2 sin β=3, ∴cos β+sin β= 2 2 7 ,∴1+sin 2β= ,∴sin 2β=- . 3 9 9

π π? 7 2? ? 法二:sin 2β=cos? ?2-2β?=2cos ?β-4?-1=-9. π (2)∵0<α< <β<π, 2

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π π 3 π 3π ∴ <β<- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2 π β- ?>0,cos(α+β)<0. ∴sin? ? 4? π? 1 4 ∵cos? ?β-4?=3,sin(α+β)=5, π? 2 2 ∴sin? ?β-4?= 3 , 3 cos(α+β)=- . 5 π? ? ? π?? ∴cos? ?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? π? =cos(α+β)cos? ?β-4? 3 1 4 2 2 8 2-3 =- × + × = . 5 3 5 3 15 x? ? x? 12.(2012· 衡阳模拟) 函数 f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?,x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期; π? 2 10 ? π? (2)若 f(α)= ,α∈? ?0,2?,求 tan?α+4?的值. 5 x? x x ? x? ?x π? 解:(1)f(x)=cos? ?-2?+sin?π-2?=sin2+cos2= 2sin?2+4?, 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 2 10 α α 2 10 (2)由 f(α)= ,得 sin +cos = , 5 2 2 5 α α?2 ?2 10?2 则? ?sin2+cos2? =? 5 ? , 8 3 即 1+sin α= ,解得 sin α= , 5 5 π? 又 α∈? ?0,2?,则 cos α= 故 tan α= sin α 3 = , cos α 4 1-sin2α= 9 4 1- = , 25 5

π 3 tan α+tan +1 4 4 π α+ ?= 所以 tan? = =7. ? 4? π 3 1-tan αtan 1- 4 4

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1? π 1.若 tan α=lg(10a),tan β=lg? ,且 α + β = ,则实数 a 的值为( ?a? 4 A.1 1 C.1 或 10 解析:选 C 1 B. 10 D.1 或 10

)

tan(α+β)=1?

tan α+tan β = =1?lg2a+lg a=0, 1 1-tan αtan β ? 1-lg?10a?· lg? ?a?

1? lg?10a?+lg? ?a?

1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 π? π? 2? 2 2.化简 sin2? ?α-6?+sin ?α+6?-sin α 的结果是________. π π 2α- ? 1-cos?2α+ ? 1-cos? 3? 3? ? ? 解析:原式= + -sin2α 2 2 1 ?2α-π?+cos?2α+π??-sin2α =1- ? cos 3? 3?? ? 2? ? π cos 2α 1-cos 2α 1 =1-cos 2α· cos -sin2α=1- - = . 3 2 2 2 1 答案: 2 π? 3 5 ? π? 3 ?π π? 3.已知 sin α+cos α= ,α∈? ?0,4?,sin?β-4?=5,β∈?4,2?. 5 (1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= , 5 9 4 即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 π? 又 2α∈? ?0,2?,∴cos 2α= sin 2α 4 ∴tan 2α= = . cos 2α 3 π π? π π 3 π , ,β- ∈?0, ?,sin?β- ?= , (2)∵β∈? 4 2 4 ? ? ? ? 4? 5 4 ? π? 4 ∴cos? ?β-4?=5, 3 1-sin22α= , 5

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π? ? π? ? π? 24 于是 sin 2? ?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25. π β- ?=-cos 2β, 又 sin 2? ? 4? 24 ∴cos 2β=- , 25 π ? 7 又∵2β∈? ?2,π?,∴sin 2β=25, 1+cos 2α 4 π 又∵cos2α= = ? α∈?0, ??, 2 5? ? 4?? 2 5 5 ∴cos α= ,sin α= . 5 5 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 24? 2 5 5 7 11 5 ×? ?-25?- 5 ×25=- 25 . 5

π ? 1.(2012· 北京西城区期末)已知函数 f(x)= 3sin2x+sin xcos x,x∈? ?2,π?. (1)求 f(x)的零点; (2)求 f(x)的最大值和最小值. 解:(1)令 f(x)=0,得 sin x· ( 3sin x+cos x)=0, 所以 sin x=0 或 tan x=- 3 . 3

π ? 由 sin x=0,x∈? ?2,π?,得 x=π; 由 tan x=- π ? 3 5π ,x∈? ?2,π?,得 x= 6 . 3

5π 综上,函数 f(x)的零点为 ,π. 6 (2)f(x)= π? 3 1 3 (1-cos 2x)+ sin 2x=sin? ?2x-3?+ 2 . 2 2

π ? π ?2π 5π? 因为 x∈? ?2,π?,所以 2x-3∈? 3 , 3 ?. π 2π π 所以当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最大值为 3; 3 3 2 π 3π 11π 3 当 2x- = ,即 x= 时,f(x)的最小值为-1+ . 3 2 12 2

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β? π 1 ?α ? 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值; 2 π 解:∵0<β< <α<π, 2 π α π π β ∴- < -β< , <α- <π. 4 2 2 4 2 α ? ∴cos? ?2-β?= = α ? 1-sin2? ?2-β?

2?2 5 1-? ?3? = 3 , β? 1-cos2? ?α-2?

β? sin? ?α-2?= =

1?2 4 5 1-? ?-9? = 9 .

α+β ? β? ?α ?? ∴cos =cos? ??α-2?-?2-β?? 2 β? ?α ? ? β? ?α ? =cos? ?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β? 1 5 4 5 2 7 5 =- × + × = . 9 3 9 3 27 α+β 49×5 239 ∴cos(α+β)=2cos2 -1=2× -1=- . 2 729 729


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两角和与差的正弦余弦正切公式习题课
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