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第三章 圆锥曲线与方程 章末归纳总结1 课件(高中数学北师大版选修2-1)_图文

第三章 圆锥曲线与方程 第三章 章末归纳总结 1 知 识 梳 理 2 知 识 结 构 3 专 题 探 究 4 即 时 训 练 知识梳理 ? 坐标法是研究圆锥曲线问题的基本方法,它 是用代数的方法研究几何问题. ? 本章介绍了研究圆锥曲线问题的基本思路, 建立直角坐标系,设出点的坐标,根据条件 列出等式,求出圆锥曲线方程,再通过曲线 方程,研究曲线的几何性质. ? 本章内容主要有两部分:一部分是求椭圆、 抛物线、双曲线的标准方程,基本方法是利 用定义或待定系数法来求;另一部分是研究 椭圆、抛物线、双曲线的几何性质,并利用 它们的几何性质解决有关几何问题. ? 学习本章应深刻体会数形结合的思想,转化 的思想,函数的思想及待定系数法等重要的 数学思想和方法. 知识结构 专题探究 ? 定义、最值问题 设 P 是抛物线 y2=4x 上的一个动点. (1)求点 P 到点 A(-1,1)的距离与点 P 到直线 x=-1 的距 离之和的最小值; (2)若 B(3,2),求|PB|+|PF|的最小值. ? [解析] (1)如图,抛物线焦点为F(1,0),准线 方程为x=-1. ? ∵点P到直线x=-1的距离等于点P到F(1,0) 的距离, ? ∴点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=- 1的距离之和转化为在曲线上求一点 P ,使点 显然 P 是 A、F 的连线与抛物线的交点,所求距离之和的 P到点A(-1,1)的距离与点P到点F的距离之 最小值为|FA|= 5. 和最小. (2)同理|PF|与 P 点到准线的距离相等, 过 B 作 BH⊥准线 l 于 H 点,交抛物线于 P1 点. ∵|P1H|=|P1F|, ∴|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1H|=|BH|=4. ∴|PB|+|PF|的最小值为 4. x2 y 2 设 F1、F2 分别为双曲线a2-b2=1 的左、右焦点,A1、A2 分别为这个双曲线的左、右顶点,P 为双曲线右支上的任一点, 求证:以 A1A2 为直径的圆既与以 PF2 为直径的圆外切,又与以 PF1 为直径的圆内切. [分析] 设 N、M 分别是 PF1、PF2 的中点,只要证明|OM| 1 1 =a+2|PF2|, 并且|ON|=2|PF1|-a.因为点 P 在双曲线的右支上, F1、F2 是双曲线的两个焦点,具备了运用定义解题的条件,故 应从双曲线的定义入手去探索证明的途径. [解析] 如图易知以 A1A2 为直径的圆的圆心为 O,半径为 a,令 M、N 分别是 PF2、PF1 的中点,由三角形中位线的性质 1 得,|OM|=2|PF1|,又根据双曲线的定义得,|PF1|=2a+|PF2|, 1 1 从而有|OM|=2(2a+|PF2|)=a+2|PF2|. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之和, 故以 A1A2 为直径的圆 与以 PF2 为直径的圆外切. 同理,运用双曲线的定义得, 1 1 1 |ON|=2|PF2|=2(|PF1|-2a)=2|PF1|-a. ∴两圆的圆心距等于两圆半径之差, 故以 A1A2 为直径的圆 与以 PF1 为直径的圆内切. ? 离心率 x2 y2 b 设 P 为直线 y=3ax 与双曲线a2-b2=1(a>0,b >0)左支的交点,F1 是左焦点,PF1 垂直于 x 轴,则双曲线的 离心率 e=________. [答案] 3 2 4 [解析] 本题考查双曲线的离心率. bc 由 PF1⊥x 轴知 P(-c,-3a),把 P 代入双曲线得: bc 2 ?-3a? 2 c 8 2 a2- b2 =1,整理得9e =1, 9 3 2 所以 e =8,e= 4 . 2 x2 y2 设 a>1, 则双曲线a2- 2=1 的离心率 e 的取值范围是 ?a+1? ( ) A.( 2,2) C.(2,5) B.( 2, 5) D.(2, 5) ? [答案] B [解析] 2a2+2a+1 = a 依题意可知离心率 e= 2 1 2+a+a2= 1 ?a+1?2+1. a2+?a+1?2 = a 1 1 ∵a>1,∴0<a<1.∴(a+1)2∈(1,4). ∴e∈( 2, 5). ? 有关轨迹问题 如图,已知圆 A:(x+2)2+y2=1 与点 A(-2,0), B(2,0),分别求出满足下列条件的动点 P 的轨迹方程. ? (1)△PAB的周长为10; ? (2)圆P过点B(2,0)且与圆A外切(P为动圆圆心); ? (3)圆P与圆A外切且与直线x=1相切(P为动圆 圆心 ). [解析 ] (1)根据题意, 知|PA|+|PB|+|AB|=10, 即|PA|+|PB| =6>4=|AB|,故 P 点的轨迹是椭圆,且 2a=6,2c=4,即 a=3, x2 y 2 c=2,b= 5,因此其方程为 9 + 5 =1(y≠0). (2)设圆 P 的半径为 r, 则|PA|=r+1, |PB|=r, 因此|PA|-|PB| =1. 由双曲线的定义知,P 点的轨迹为双曲线的右支,且 2a= 1 15 1,2c=4,即 a=2,c=2,b= 2 , 4 2 1 因此其方程为 4x -15y =1(x≥2). 2 (3)依题意,知动点 P 到定点 A 的距离等于到定直线 x=2 的距离,故其轨迹为抛物线,且开口向左,p=4.因此其方程为 y2=-8x. → → 已知点 B(-1,0), C(1,0), P 是平面上一动点, 且满足|PC||BC → → |=PB· CB,求点 P 的轨迹的方程. → → → → [解析] 设 P(x,y),代入|PC||BC|=PB· CB, 得 ?x-1?2+y2=1+x,化简得 y2=4x. 因此点 P 的轨迹的方程为:y2=4x. ? 向量在解析几何中的应用 [例 4] 在△ABC 中,已知 B(-3,0),C(3,0),D 为直