当前位置:首页 >> 数学 >>

用向量方法证明空间中的平行与垂直


用向量方法证明空间中的平行与垂直
1.已知直线 a 的方向向量为 a, 平面 α 的法向量为 n, 下列结论成立的是( C ) A.若 a∥n,则 a∥α B.若 a· n=0,则 a⊥α C.若 a∥n,则 a⊥α D.若 a· n=0,则 a∥α 解析:由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项 D,直线 a?平 面 α 也满足 a· n=0. 2.已知 α,β 是两个不重合的平面,其法向量分别为 n1,n2,给出下列结 论: ①若 n1∥n2,则 α∥β; ②若 n1∥n2,则 α⊥β; ③若 n1· n2=0,则 α⊥β; ④若 n1· n2=0,则 α∥β. 其中正确的是( A ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ → 平行的一个向量的坐 3.(原创)已知 A(3,-2,1),B(4,-5,3),则与向量AB 标是( C ) 1 A.(3,1,1) B. (-1,-3,2) 1 3 C.(-2,2,-1) D.( 2,-3,- 2 2) → =(1,-3,2)=-2(-1,3,-1), 解析:AB 2 2 → 平行的一个向量的坐标是(-1,3,-1),故选 C. 所以与向量AB 2 2 4.设 l1 的方向向量为 a=(1,2,-2),l2 的方向向量为 b=(-2,3,m),若 l1⊥l2,则 m 等于 2 . 5.设平面 α 的法向量为(1,2,-2),平面 β 的法向量为(-2,-4,k),若 α ∥β,则 k= 4 . 解析:因为 α∥β,所以(-2,-4,k)=λ(1,2,- 2), 所以-2=λ,k=-2λ,所以 k=4. → =(1,5,-2),BC → =(3,1,z).若AB → ⊥BC → ,BP → =(x-1,y,-3), 6.已知AB 且 BP⊥平面 ABC,则实数 x= → → 40 7 ,y= 15 -7 , z= 4 .

BC=3+5-2z=0 ?AB· →· → =x-1+5y+6=0 解析:由已知?BP AB →· → =3?x-1?+y-3z=0 ?BP BC 40 15 解得 x= 7 ,y=- 7 ,z=4.



7.(原创)若 a=(2,1,- 3),b=(-1,5, 3),则以 a,b 为邻边的平行四 边形的面积为 2 58 . 解析:因为 a· b=(2,1,- 3)· (-1,5, 3)=0, 所以 a⊥b,又|a|=2 2,|b|= 29,
1

所以以 a,b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|· |b|=2 2× 29=2 58. 8.如图, 平面 PAC⊥平面 ABC, △ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E,F,O 分别为 PA,PB,AC 的中点,AC=16,PA=PC=10.设 G 是 OC 的中 点,证明:FG∥平面 BOE.

证明:如图,连接 OP,因为 PA=PC,AB=BC,所以 PO⊥AC,BO⊥AC, 又平面 PAC⊥平面 ABC,所以可以以点 O 为坐标原点,分别以 OB,OC,OP 所 在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系 Oxyz.

则 O(0,0,0) , A(0 ,- 8,0) , B(8,0,0) , C(0,8,0) , P(0,0,6) , E(0 , - 4,3) , F(4, 0,3).由题意,得 G(0,4,0). → =(8,0,0),OE → =(0,-4,3), 因为OB 设平面 BOE 的一个法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n· OB=0 ?x=0 则? ,即? , → - 4 y + 3 z = 0 ? ? OE=0 ?n· 取 y=3,则 z=4,所以 n=(0,3,4). → =(-4,4,-3),得 n· → =0. 由FG FG 又直线 FG 不在平面 BOE 内,所以 FG∥平面 BOE.

9.如图,四棱锥 PABCD 的底面为正方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,且 PA =AD=2,E,F,H 分别是线段 PA,PD,AB 的中点. (1)求证:PB∥平面 EFH; (2)求证:PD⊥平面 AHF.

证明:建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz,
2

所以 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1), H(1,0,0). → =(2,0,-2),EH → =(1,0,-1), (1)因为PB → =2EH →, 所以PB 因为 PB?平面 EFH,且 EH?平面 EFH, 所以 PB∥平面 EFH. → =(0,2,-2),AH → =(1,0,0),AF → =(0,1,1), (2)因为PD →· → =0×0+2×1+(-2)×1=0, 所以PD AF →· → =0×1+2×0+(-2)×0=0, PD AH 所以 PD⊥AF,PD⊥AH, 又因为 AF∩AH=A,所以 PD⊥平面 AHF.

3


赞助商链接
相关文章:
空间向量证明平行和垂直位置关系教案
空间向量证明平行和垂直位置关系教案_数学_高中教育_教育专区。北京市第九十四中学...通过例题的研究,会利用方向向量和法向量证明具体问题中的线面位置关系。 过程与...
9空间向量证明平行和垂直_图文
立体几何§5.4 空间向量证明平行垂直【学习目标】 1.理解数列的概念几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式) . 2.了解数列通项公式的意义(数列是自变量为...
立体几何中的向量方法:平行与垂直
利用方向向量与法向量表示空间利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点...平行的向量表示★★★ 考点:利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 ...
...8.6 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
如果直线 l 垂直于平面 α,那么把直线 l 的方向向量叫作平面 α 的法向量. 2. 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量分别为 v1 ...
用向量的方法证明平行与垂直关系
用向量的方法证明平行与垂直关系 - 用向量的方法证明平行与垂直关系 知识点一:求平面的法向量 例 1.已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,...
...8.6立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直教师用...
2016高考数学大一轮复习 8.6立体几何中的向量方法(一)-证明平行与垂直教师用书 ...u1 ∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量...
8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直_数学_自然科学_专业资料。...u1∥u2. 3.用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线 l1 和 l2 的方向向量...
8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直_数学_自然科学_专业资料。...AM 的位置关系是___. 题型一 利用空间向量证明平行问题 例1 (2016· 重庆模拟...
向量法证明线面平行及垂直问题教案_图文
授课目的与考点分析:向量法证明线面平行垂直掌握空间向量的坐标表示和坐标运算,会找直线的方向向量和平面的法向量,并通过它们研究线面关系,会用向量 法空间距离...
48.用向量方法证明平行与垂直(理)
48.用向量方法证明平行与垂直(理)_数学_高中教育_教育专区。延津县第一高级...了解向量方法在研 究立体几何问题中的应用. 【预习案】 一、如何用空间向量...
更多相关标签: