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一模材料+前黄高级中学+高三数学试卷中函数专题复习策略


高三数学试卷中函数专题复习策略
一、 《考试说明》对函数部分的要求 1.函数.理解函数的概念、定义域、值域、奇偶性,了解函数的单调性、周期性、最大值、 最小值; 2.基本初等函数.了解幂函数的概念及图象,理解指数函数、对数函数的概念及图象和性质, 理解指数及对数的运算. 3.函数与方程.了解函数的零点与方程根的联系,能够用二分法求相应方程的近似解. 4.函数模型及应用.理解常见的函数模型在实际问题中的应用. 5.理解导数的几何意义,会根据公式、四则运算法则、复合函数求导法则求函数的导数,能 利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间,函数的极大值、极小值,闭区间上函 数的最大值、最小值. 二、函数部分命题特点 近 3 年高考函数题考查情况 年份 题型题号 考点 函数的奇偶性;分段函数的 单调性;函数的最值;函数 的切线方程; 函数的导数及 其应用 函数的单调性;函数的概念 和性质;导数及其应用 函数的定义域,值域;函数 的周期性;函数的概念和性 质;导数及其应用;函数的 零点

2010 年

填空题 5,8,11,14;解答题 20

2011 年

填空题 2,8,11,12;解答题 17,19

2012 年

填空题 5, 10,13,14; 解答题 17,18

函数是高中数学的核心内容,是学习高等数学的基础,作为高中数学中最重要的知识 模块,贯穿着中学数学的始终.综观近几年的高考情况,函数命题呈现如下特点: 1.知识点覆盖面全.近几年高考题中,函数的所有知识点基本都考过,特别是函数的图象性 质、导数的几何意义与应用以及函数与不等式的综合基本上年年必考. 2.题型难度涉及面广.在每年高考题中,低档、中档、高档难度的函数题都有,且填空、解 答题型都有. 3.综合性强.为了突出函数在中学数学中的主体地位,近几年来高考强化了函数对其他知识 的渗透,例如,解析几何中经常涉及函数的值域的求法,三角、数列本质上也是函数问题. 三、函数复习中关注方面 (一)关注函数的定义域 定义域的求法实际上就是解不等式,考生必须能够做到以下两点:一是熟知定义域常 见要求,如分式的分母不为零;偶次根号下非负;对数的真数大于零,底数大于零且不等 于1;零次幂的底数不为零;三角函数中的正切、余切的定义域等等;二是熟练掌握常见不 等式的解法,如二次不等式、分式不等式、根式不等式、三角不等式以及简单的指对数不 等式. 例 1.(2012 年江苏卷)函数 f ( x) ? 1 ? 2 log6 x 的定义域为 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件,得 .

?x > 0 ?x > 0 ?x > 0 ? ? ?? ? 0< x ? 6 。 1 ? 1?? 2= 6 ?1 ? 2log 6 x ? 0 ?log 6 x ? ? x ? 6 2 ? ?
有关定义域问题最重要的是定义域优先原则,即研究函数的任何问题都要首先考虑其定义 域. 例如研究函数的单调性和奇偶性,函数的最值等都需要首先确定定义域.另外,在进行 换元时,应先确定“新元”的范围,然后再在其范围内讨论各种问题,这也是定义域优先 的具体体现. (二)拓展求函数值域最值的方法 求函数值域一直是函数的重要考查方向,它的丰富多样的求解方法和数学思想,将函 数所有的性质融为一体,具有很强的综合性.常见两种题型,一种题型是具体函数求值域问 题,另一种是将其他问题转化为求函数值域(或最值)问题,例如不等式恒成立求参数范 围的问题,最后都是转化为函数的最值的问题.因此,考生一定要在复习当中重视不同结构 的求值域问题.

4 ,x ? [2, 4] 的最大值是 log 2 x 4 【解析】 x ?[2, 4], ?log2 x ?[1, 2] ,设 t ? log2 x ,则 y ? t ? , t 求导可得函数在 t ?[1, 2] 时单调递减,故 t ? 1 时, y 取得最大值5.
例2. ( 2012年上海春季高考) 函数 y ? log 2 x ? 例3.关于 x 的方程 2
2x

.

? m 2 x ? 4 ? 0 在 [0,1] 内有解,求实数 m 的取值范围.
2

【解析】令 2x ? t , t ?[1, 2] ,原问题转化为 t ? mt ? 4 ? 0 在 [1, 2] 上有解,这属于二次方程 根的分布问题,需要结合二次函数图象,利用分类讨论进行求解,但是计算繁琐.事实上,

4 =g (t ) ,所谓方程有解, t 即 m 在函数 g (t ) 的值域内,注意到函数 g (t ) 在 [1, 2] 上递减,? g (t ) ? [4,5], 即 m ?[4,5] .
求参变量范围的问题.我们还可以考虑“分离参变量”,即 m ? t ? (三)灵活应用函数的性质 函数性质是函数的重点内容,包括函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性。对于函 数的各种性质的定义,考生必须完全知晓并深刻理解。除了能够判断函数的各种性质以外, 还要能够灵活应用函数的性质,灵活应用的前提是能够识别函数的四大性质,并能自如应 用,要有应用函数性质的意识。 1] 上, 例 4.(2012 年江苏卷)设 f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,在区间 [?1,

? 1≤ x ? 0 , ? ax ? 1, ? f ( x ) ? ? bx ? 2 b ? R .若 其中 a , , 0 ≤ x ≤ 1, ? ? x ?1
则 a ? 3b 的值为 .

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

【解析】∵ f ( x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数,∴ f ? ?1? ? f ?1? ,即 ?a ? 1=

b?2 ①. 2

1 ?3? ? 1? 又∵ f ? ? ? f ? ? ? = ? a ? 1 , 2 ?2? ? 2?
∴ ? a ? 1=

?1? ?3? f ? ? ? f ? ?, ?2? ?2?

1 2

b?4 ②。 3

4 a ? 3b =? 1 0 联立①②,解得, a = 2 . b ? = 。∴ .
x ?x 例 5.(2010 年江苏卷)设函数 f ( x) ? x(e ? ae ) ( x ? R) 是偶函数,则实数 a=________

【解析】考查函数的奇偶性的知识. g ( x) ? e x ? ae? x 为奇函数,由 g (0) ? 0 ,得 a ? ?1 . 例6.(2012年新课标卷)设函数 f ( x) ?

M ?m?

( x ? 1)2 ? sin x 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 x2 ? 1

2 x ? sin x ( x ? 1)2 ? sin x 2 x ? sin x ? 1? 【解析】 f ( x) ? , 令 g ( x) ? , 则 g ( x) 为奇函数, 2 2 x2 ? 1 x ?1 x ?1 对于奇函数来说其最大值与最小值之和为0,即 g ( x)max ? g ( x)min ? 0, 所以

f ( x)max +f ( x)min ? 2
(四)强化识图、画图能力以及用图意识 函数的图象是最直观反映函数性质的方式,要能够通过函数的性质以及图象变换画出 函数的草图。此外,还要有应用图象的意识,养成函数问题画图的习惯。 例7.(2012年高考辽宁理)设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x) f ( x) ? f (2 ? x) ,且当

1 3 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x3 .又函数 g ( x) ?| x cos(? x) | ,则函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) [? , ] 上 2 2
的零点个数为 【解析】 .

x ? [0,1] 时, f ( x) ? x3 ,

(2 ? x) ?[0,1], f ( x) ? f (2 ? x) ? (2 ? x)3 ? 当 x ? [1, 2] , 1 1 2 当 x ? [0, ] 时, g ( x) ? x cos(? x), 当 x ? [ , ] 时,注意到函数 f ( x), g ( x) 都是偶函数, 2 2 3 1 3 且 f (0) ? g (0), f (1) ? g (1), g ( ) ? g ( ) ? 0 , 作出函数 f ( x), g ( x) 的大致图象, 函数 h( x) 2 2 1 1 1 3 除了0、1这两个零点之外,分别在区间 [? , 0]、[0, ]、[ ,1]、[1, ]上各有一个零 2 2 2 2
点,共有6个零点. (五)熟练掌握二次、指数、对数、幂函数等基本函数的知识 在高中阶段,考生主要学习的具体函数有一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、 幂函数、三角函数以及它们之间进行的四则运算和复合,我们必须熟练掌握这些基本函数 的各种性质、图象以及相互之间的关系。 例8.(2012年新课标卷)设点 P 在曲线 y ? 小值为

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 | PQ | 最 2

1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于直线 y ? x 对称,所以只需 2 1 x 求点 P 到直线 y ? x 的最小距离即可,即 y ? e 的平行于直线 y ? x 的切线与直线 y ? x 2 1 x 的距离,令 y?= e ? 1 ,得 x p ? ln 2,? P(ln 2,1), 可求得点 P 到直线 y ? x 的距离为 2 2 (1 ? ln 2) ,所以 PQ 的最小值为 ( 2 1 ? ln 2) . 2
【解析】函数 y ? 例9.已知图1是函数y=f(x)的图象,则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号).

图1

图2

①y=f(|x|);②y=|f(x)|;③y=f(-|x|);④y=-f(-|x|). 【解析】由图象的变化知,原图保留了 y 轴左边的部分,并把 y 轴左边的部分关于 y 轴对称 到 y 轴右边.①中,当 x>0 时,y=f(|x|)=f(x),当 x<0 时,y=f(-x),所以应是把 y 轴右边 部分对称到 y 轴左边,故①错. ②中是把 x 轴下边部分对称到 x 轴上边,故②错. ③项中当 x>0 时,y=f(-|x|)=f(-x),当 x<0 时, y=f(-|x|)=f(x),因此保留了 y 轴左边部分,并作 y 轴左边部分关于 y 轴对称的图象,故③ 对. 8 例10.(2012年湖南改编)已知两条直线l1: y ? m 和l2:y= (m>0),l1与函数y=|log2x|的 2m+1 图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC b 和BD在x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时, 的最小值为________. a
8 1 m ? 1 ? 2 m ?1 m , xD ? 2 2 m ?1. 【解析】由题意得 x A ? ( ) , xB ? 2 , xC ? ? ? 2 ?2?
8 ? 1 ? ? 1 ? 2 m?1 ? a ? xA ? xC ? ? ? ? ? ? , b ? x B ? xD ? 2m ? 2 2 m?1 . ?2? ?2? m 8

8

8 b 2m ? 2 2 m?1 2 m ?1 ? ? ? 2 8 ? a 2? m ? 2 2 m?1

8

m

?

8 ?m 2 m ?1



8 1 8 1 +m= (2m+1)+ - ≥2 2 2m+1 2m+1 2

1 8 1 7 (2m+1)× - = , 2 2m+1 2 2

2m+1 8 3 当 = ,即 m= 时取等号. 2 2 2m+1
7 b 的最小值为 2 2 ? 8 2 a

(六)稳健用好导数工具 导数最重要的价值,在于导数是一种方便研究函数性质的工具,比如求曲线的切线, 求函数的单调区间,求函数的极值和最值,不等式恒成立问题等等。作为一个重要的工具, 导数运算一定要准确,要对已知函数进行正确求导。同时,准确掌握导数与单数单调性以 及极值之间的关系. 例11(2012年福建卷文) f ( x) ? ax sin x ? (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)判断函数 f ( x ) 在 (0, ? ) 内零点的个数,并加以证明. 【分析】当函数取最大(或最小)值时不等式都成立,可得该等式恒成立,从而把函数最 值问题转化为恒成立问题,而利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法.零 点个数的判定主要是依据零点存在定理. 【评析】给定含有参数的函数以及相关的函数性质,求解参数的值或范围,需要我们灵活 运用导数这一工具,对问题实施正确的等价转化,列出关于参数的方程或不等式. 在此类 含参问题的求解过程中,逆向思维的作用尤为重要.

3 ? ? ?3 (a ? R) 且在 [1, ] 上的最大值为 . 2 2 2

an 例 12(2012 年四川理)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x ? 与x轴 2 正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距.
2

(Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比 较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由. 4 f (0) ? f (1)

【分析】本题第(Ⅰ)问较基础常规,而第(Ⅲ)问貌似不等式问题,但其实质还是函数 问题,我们可以借助函数的图象和性质,比较直观地从几何的角度来判断两者的大小问题. 【评析】本题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能 力.主要考查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分 析问题与解决问题的能力和创新意识能力;且又深层次地考查了函数、转换与化归、特殊 与一般等数学思维方法.


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