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二次函数专题复习


二次函数专题复习
考点一 二次函数的概念 一般地,如果 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0),那么 y 叫做 x 的二次函数. 注意:(1)二次项系数 a≠0;(2)ax2+bx+c 必须是整式;(3)一次项可以为零,常数项也可以 为零,一次项和常数项可以同时为零;(4)自变量 x 的取值范围是全体实数.

考点二

二次函数的图象及性质 二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)

图象

开口方向 对称轴 顶点坐标 当 x<- 增减性

(a>0) 开口向上 b 2a 2 ?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a 直线 x=- b 时,y 随 x 的增大而减小; 2a b 当 x>- 时,y 随 x 的增大而增大 2a 4ac-b2 b 当 x=- 时,y 有最小值 2a 4a 当 x<-

(a<0) 开口向下 b 2a 2 ?- b ,4ac-b ? 4a ? ? 2a 直线 x=- b 时,y 随 x 的增大而增大; 2a b 当 x>- 时,y 随 x 的增大而减小 2a 4ac-b2 b 当 x=- 时,y 有最大值 2a 4a

最值

考点三

二次函数图象的特征与 a,b,c 及 b2-4ac 的符号之间的关系

1

考点四 二次函数图象的平移 抛物线 y=ax2 与 y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k 中|a|相同,则图象的形状和大小都 相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下表:

考点五
(1)一般式:

二次函数关系式的确定

y ? ax2 ? bx ? c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常选择一般式.

(2)顶点式:

y ? a?x ? h? ? k .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
2

(3)交点式:已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ,通常选用交点式:

y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ?
[来源:学&科&网]

考点六 二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0),当 y=0 时,就变成了 ax2+bx+c=0(a≠0). 2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与 x 轴交点的横坐标.

3.当 Δ=b2-4ac>0 时,抛物线与 x 轴有两个不同的交点;当 Δ=b2-4ac=0 时,抛 物线与 x 轴有一个交点;当 Δ=b2-4ac<0 时,抛物线与 x 轴没有交点. 1.抛物线 y ? 3( x ? 1) ? 2 的对称轴是( A. x ? 1 B. x ? ?1
2

) C.

x?2

D. x ? ?2 D. (-2,-3)
2

2.抛物线 y ? ( x ? 2) ? 3 的顶点坐标是( ) A. (2,3) B. (-2,3) C. (2,-3)
2

3. (2009 年泸州) 在平面直角坐标系中, 将二次函数 y ? 2 x 的图象向上平移 2 个单位, 所得图象的解析式为 A. y ? 2 x 2 ? 2 C. y ? 2( x ? 2) 2 类型一:二次函数的图象
2 1. (2012?泰安) 二次函数 y=a (x+m) +n 的图象如图, 则一次函数 y=mx+n

B. y ? 2 x 2 ? 2 D. y ? 2( x ? 2) 2

的图象经过(

) B.第一、二、四象限 D.第一、三、四象限 )

A.第一、二、三象限 B. C.第二、三、四象限

2. (2011?湘潭) 在同一坐标系中, 一次函数 y=ax+1 与二次函数 y=x2+a 的图象可能是 (

2

3.(2010?达州)抛物线图象如图所示,根据图象,抛物线的解析式可能是( A.y=x -2x+3
2



B.y=-x -2x+3

2

C.y=-x +2x+3

2

D.y=-x +2x-3

2

4.(2011?威海)二次函数 y=x2-2x-3 的图象如图所示.当 y<0 时,自变量 x 的取值范围是 ( ) A.-1<x<3 B.x<-1 C.x>3 D.x<-3 或 x>3

5.已知函数 y1=x2 与函数 y2=( ) A.-

1 x+3 的图象大致如图.若 y1<y2,则自变量 x 的取值范围是 2

3 <x<2 2

B.x>2 或 x<-

3 2

C.-2<x<

3 2

D.x<-2 或 x>

3 2

类型二:二次函数的性质 (2010?兰州)二次函数 y=-3x2-6x+5 的图象的顶点坐标是( A. (-1,8) B. (1,8) C. (-1,2) (2010?毕节地区)已知抛物线 y=-2(x-3)2+5,则此抛物线( A.开口向下,对称轴为直线 x=-3 C.最小值为 5
2

) )

D. (1,-4)

B.顶点坐标为(-3,5) D .当 x>3 时 y 随 x 的增大而减小

(2012?德阳)设二次函数 y=x +bx+c,当 x≤1 时,总有 y≥0,当 1≤x≤3 时,总有 y≤0, 那么 c 的取值范围是( A.c=3 B.c≥3 ) C.1≤c≤3 D.c≤3

类型三:二次函数的增减性 1.已知函数 y ? ?

1 2 5 x ? 3x ? ,设自变量的值分别为x1,x2,x3,且-3< x1< x2<x3,则 2 2


对应的函数值的大小关系是(

A.y3>y2>y1

B.y1>y3>y2

C.y2<y3<y1

D.y3<y2<y1
y

2.小明从右边的二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 图象中,观察得 出了下面的五条信息: ① a ? 0 ,② c ? 0 ,③函数的最小值为 ?3 ,④当 x ? 0 时,
y ? 0 ,⑤当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时, y1 ? y2 .你认为其中正确

0
3

2

x

?3

的个数为( A.2 3. 若 A(?

) B.3 C.4 D.5

13 5 , y1 ), B(?1, y2 ), C ( , y3 ) 的为二次函数 y ? ? x2 ? 4 x ? 5 的图像上的三点,则 4 3


y1,y2,y3 的大小关系是(

A. y1<y2<y3
2

B. y3<y2<y1

C. y3<y1<y2

D. y2<y1<y3

4.从 y=x 的图象可看出,当-3≤x≤-1 时,y的取值范围是 A、y≤0 或

y?9

B、0≤y≤9

C、0≤y≤1

D、1≤y≤9

5.小颖在二次函数 y=2x2+4x+5 的图象上,依横坐标找到三点(-1,y1),( (-3

1 ,y2), 2

1 ,y3),则你认为 y1,y2,y3 的大小关系应为( 2



A.y1>y2>y3

B.y2>y3>y1

C.y3>y1>y2

D.y3>y2>y1

二、利用二次函数图象判断 a,b,c 的符号 【例 2】 如图所示,二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上,图象经过点(-1,2)和(1,0), 且与 y 轴交于负半轴. (1)给出四个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b +c=0,其中正 确结论的序号是__________; (2) 给出四个结论:①abc<0 ;②2a +b >0 ;③a +c=1;④a >1.其中 正确结论的序号是__________.

已知二次函数 y = ax2 + bx + c(a≠0) 的图象如图所示,有下列结 论: ①b2-4ac>0;②abc>0;③8a+c>0;④9a+3b+c<0. 其中,正确结论的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4

(2012?玉林)二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,其对称轴为直线 x=1,有如 下结论: ①c<1;②2a+b=0;③b2<4ac;④若方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1,x2,则 x1+x2=2, 则正确的结论是( A.①② B.①③ ) C.②④ D.③④

4

(2012?威海) 已知二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图所示, 下列结论错误的是 ( A.abc>0 B.3a>2b C.m(am+b)≤a-b(m 为任意实数) D.4a-2b+c<0



(2011?兰州)如图所示的二次函数 y=ax2+bx+c 的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信 息: (1)b2-4ac>0; (2)c>1; (3)2a-b<0; (4)a+b+c<0.你认为其中错误的有( A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.1 个 )

四、确定二次函数的解析式 【例】 已知一 抛物线与 x 轴的交点是 A(-2,0),B(1,0),且经过点 C(2,8). (1)求该抛物线的表达式; (2)求该抛物线的顶点坐标.

1.在直角坐标系中,△AOB 的顶点坐标分别为 A(0,2) ,O(0,0) ,B(4,0) , 把△AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 900 到△COD。 (1)求 C,D 两点的坐标; (2)求经过 C,D,B 三点的抛物线解析式。

3、如图,抛物线 y=

1 2 x +bx-2 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,且 A(一 1,0) . 2

⑴求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标; ⑵判断△ABC的形状,证明你的结论;

5

2.如图, 抛物线的对称轴是直线 x=1, 它与 x 轴交于 A,B 两点, 与 y 轴交于 C 点。 点 A,C 的坐标分别是(-1,0),(0,
3 )。 2

(1)求此抛物线对应的函数解析式; (2) 若点 P 是抛物线上位于 x 轴上方的一个动点,求△ABP 的面积的最大值。

3.已知直线 y=-2x+b(b≠0)与 x 轴交于点 A, 与 y 轴交于点 B;一抛物线的解析式为 y=x2 -(b+10)x+c. ⑴若该抛物线过点 B,且它的顶点 P 在直线 y=-2x+b 上,试确定这条抛物线的解析 式; ⑵过点 B 作直线 BC⊥AB 交 x 轴于点 C,若抛物线的对称轴恰好过 C 点,试确定直线 y =-2x+b 的解析式.

4.已知抛物线 y=(1-m)x2+4x-3 开口向下,与 x 轴交于 A(x1,0)和 B(x2,0)两点,其中 xl<x2. (1)求 m 的取值范围; (2)若 x12+ x22=10,求抛物线的解析式,并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线;

6

5.如图,等腰梯形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上,点 A 在 y 轴的正方向上,A( 0, 6 ),D ( 4, 6),且 AB=2 10 . (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、B、D 三点的抛物线的解析式; 1 (3)在(2)中所求的抛物线上是否存在一点 P,使得 S△PBD= S 2 该点坐标,若不存在,请说明理由.
A
梯形 ABCD

。若存在,请求出
y D

B O

C x

中考压轴题分析:
1.如图,直线 y ? ?

3 x ? 3 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B,⊙E 经过原点 O 及 A、B 两点. 3

(1)C 是⊙E 上一点,连结 BC 交 OA 于点 D,若∠COD=∠CBO,求点 A、B、C 的坐标; (2)求经过 O、C、A 三点的抛物线的解析式: (3)若延长 BC 到 P,使 DP=2,连结 AP,试判断直线 PA 与⊙E 的位置关系,并说明理由.

7

2.如图,抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0),交 y 轴于点 B (1)求抛物线和直线 AB 的解析式; (2)点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连 PA,PB,当 P 点运动到顶点 C 时,求△ CAB 的铅垂高 CD 及 ; ,若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说

(3)在(2)中是否存在一点 P,使 明理由.

3.如图,在直角坐标系中,点 A 的坐标为(-2,0),连结 OA,将线段 OA 绕原点 O 顺时 针旋转 120°,得到线段 OB. (1)求点 B 的坐标; (2)求经过 A、O、B 三点的抛物线的解析式; (3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点 C,使△BOC 的周长最小?若存在,求 出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点 P 是(2)中的抛物线上的动点,且在 x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大 面积?若有,求出此时 P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由. y

B

A

O

x

8


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