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1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)


信达雅教育内部教案(教师版)
一、集合
1.2 集合的基本关系与基本运算
学习目标: 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念.

1.2.1 集合的基本关系
观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} PS:A 是 b 的子集,但 4 属于 B,不属于 A,满足定义 (2)设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集合 (3) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} . PS:首先来学习子集 (1)子集 一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就说 这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: A ? B

(或B ? A)

读作:A 含于 B(或 B 包含 A)

PS:看实例(1)和实例(2),谁是谁的子集? PS:注意符号的方向不要搞错,开口处为大。 (2)集合相等与真子集

PS:看实例(3)

PS:看实例(1) (2)空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记作 ?,并规定:空集是任何集合的子集。 (3)用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系, 我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合, 这种图称为 Venn 图。 如图 l 和图 2 分别是表示问题 2 中实例 1 和实例 3 的 Venn 图. B A 图 l A? B

A(B)

(或B ? A)

图2 A?B

(4)集合的一些基本结论: 1)任何一个集合是它本身的子集。即

A ? A ;(根据定义说明) 2)对于集合 A,B,C,如果 A ? B,且B ? C,那么A ? C。
PS:板书说明 例: A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} , C ? {1 , 2, 3, 4, 5, 6} 接下来看例题: 例:写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为 ?,{a},{b},{a,b}。真子集为 ?,{a},{b}。 PS:不要漏掉,空集是任何集合的子集 练习: 1.写出集合 {a, b, c} 的所有子集. 解:按子集元素个数来分类, 不取任何元素,得 ? ; 取一个元素,得 {a},{b},{c} ;

取两个元素,得 {a, b},{a, c},{b, c} ;取三个元素,得 {a, b, c} , 即集合 {a, b, c} 的所有子集为 ?,{a},{b},{c},{a, b},{a, c},{b, c},{a, b, c} . 拓展:子集个数的计算 有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集,2n-1 个真子集,含有 2n-1 个非空子集,含有 2 - 2 个 非空真子集 2.用适当的符号填空: (1) a ______ {a, b, c} ; (3) ? ______ {x ? R | x ? 1 ? 0} ;
2
n

(2) 0 ______ {x | x ? 0} ;
2

(4) {0,1} ______ N ; (6) {2,1} ______ {x | x ? 3x ? 2 ? 0} .
2

(5) {0} ______ {x | x ? x} ;
2

(1) a ? {a, b, c}
2

a 是集合 {a, b, c} 中的一个元素;
{x |x2 ? 0 ? } {; 0}
2 方程 x ? 1 ? 0 无实数根, {x ? R | x ? 1 ? 0} ? ? ;
2

(2) 0 ?{x | x ? 0}
2

(3) ? ? {x ? R | x ? 1 ? 0} (4) {0,1} (5) {0}

N

(或 {0,1} ? N )

{ 0 , 1} 是自然数集合 N 的子集,也是真子集;

{x | x 2 ? x} (或 {0} ? {x | x2 ? x} )
2
2

{x | x2 ? x} ? { 0 ,; 1}

(6) {2,1} ? {x | x ? 3x ? 2 ? 0}

方程 x ? 3x ? 2 ? 0 两根为 x1 ? 1, x2 ? 2 .

3.判断下列两个集合之间的关系: (1) A ? {1, 2, 4} , B ? {x | x是 8 的约数} ; (2) A ? {x | x ? 3k , k ? N } , B ? {x | x ? 6 z, z ? N } ; (3) A ? {x | x是 4 与10 的公倍数,x ? N? } , B ? {x | x ? 20m, m ? N? }. 3.解:(1)因为 B ? {x | x是 8 的约数} ? {1, 2, 4,8} ,所以 A

B;

(2)当 k ? 2 z 时, 3k ? 6 z ;当 k ? 2 z ? 1 时, 3k ? 6 z ? 3 , 即 B 是 A 的真子集, B

A;

(3)因为 4 与 10 的最小公倍数是 20 ,所以 A ? B .

1.2.2 集合的基本运算
请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A.B 之间的关系吗? (1) A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}, C ? {1, 2,3, 4,5,6}; (2) A ? {x | x是理数}, B ? {x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} PS:什么是并集 (1)并集 —般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集.

记作:A∪B.读作“A 并 B”.
其含义用符号表示为: A 用 Venn 图表示如下: B A

B ? {x | x ? A, 或x ? B}

PS:交集是或的关系

这样,在问题(1)(2)中,集合 A 与 B 的并集是 C,即 A? B ? C : 例题:PS:板书答案

(2)交集 (1) A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; (2)A={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月在校的女同学}, B={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级同学}, C={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级女同学}. 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集.

记作: A ? B .
其含义用符号表示为: A 用 Venn 图表示如下: A

读作:A 交 B
PS:并集是且的关系

B ? {x | x ? A, 且x ? B}.

B

阴影部分即为 A ? B 例题:PS:板书答案,例 7 不讲。

(3)全集与补集

PS: 用 韦 恩 图 板 书 说 明

(4)集合的简单性质:(PS:用韦恩图解释说明) (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B ; PS:记忆方法 去括号,再分离或一起,并变交,交变并。

(5)德.摩根定律

CU (A ? B)=( CU A) ? ( CU B), CU (A ? B)=( CU A) ? ( CU B)
练习: 1.设 A ? {3,5,6,8}, B ? {4,5,7,8} ,求 A 1.解: A

B, A B .

B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {5,8} ,

A B ? {3,5,6,8} {4,5,7,8} ? {3, 4,5,6,7,8} .
2.设 A ? {x | x2 ? 4x ? 5 ? 0}, B ? {x | x2 ? 1} ,求 A 2.解:方程 x ? 4 x ? 5 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 5 ,
2

B, A B .

方程 x ? 1 ? 0 的两根为 x1 ? ?1, x2 ? 1 ,
2

得 A ? {?1,5}, B ? {?1,1}, 即A

B ? {?1}, A B ? {?1,1,5}
B, A B .

3.已知 A ? {x | x是等腰三角形} , B ? {x | x是直角三角形} ,求 A 3.解: A

B ? {x | x是等腰直角三角形} ,

A B ? {x | x是等腰三角形或直角三角形} .
4.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6, 7} , A ? {2, 4,5}, B ? {1,3,5,7} , 求 A ? ?CU B?, ?CU A? ? ?CU B? 4.解:显然 ? U B ? {2, 4,6} , ? U A ? {1,3,6,7} , 则A

(? ( U B) ? {6} . U B) ? {2, 4} , (痧 U A)


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