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高中数学必修四(期末试卷)典型题目


2011~2012 学年度下学期期末考试
高一数学试卷(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共 12 题,共 60 分)
注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、姓名代码、考号、考试科目用 2B 铅笔涂写在答 题卡上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其他答案。不能答在试题卷上。 一、选择题(本大题共 12 道小题,每题 5 分,共 60 分) π? ? 1.函数 y=sin ?+cos ? ? 0 < ? < ? 的值域为( ). 2? ? A.(0,1) B.(-1,1) C.(1, 2 ] D.(-1, 2 ) ).

2.锐角三角形的内角 A,B 满足 tan A- A.sin 2A-cos B=0 C.sin 2A-sin B=0

1 =tan B,则有( sin 2 A

B.sin 2A+cos B=0 D.sin 2A+sin B=0 ). B.周期为??的奇函数 D.周期为 2?的奇函数 ) )

3.函数 f(x)=sin2 ? x+ π ? -sin2 ? x- π ? 是( ? ? ? ? 4? 4? ? ? A.周期为 ??的偶函数 C.周期为 2??的偶函数 4.下列命题正确的是( A.单位向量都相等

? ? C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0 ? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ? ? ? ? 0 5.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (
A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(



6.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为 A.

?

?

?

?

? ?

?

?

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
)

7.在?ABC 中,2sinA+cosB=2,sinB+2cosA= 3 ,则?C 的大小应为( A. ?
3

B.

? 6

C.

? 5 或 ? 6 6

D.

? 2? 或 3 3

高一数学试卷

第 1 页 (共 6 页)

8. 若 sin? ? cos? ? 1 ,则对任意实数 n,sin n ? ? cosn ? 的取值为( A. 区间(0,1) B. 1 C.



1 2 n?1

D. 不能确定 )

9. 在 ?ABC 中, 3sin A ? 4 cos B ? 6,3cos A ? 4 sin B ? 1 ,则 ?C 的大小为(

5 ? 2 或 ? 或 ? D. 6 6 3 3 2? 2? , cos 10. 已知角 ? 的终边上一点的坐标为( sin ) ,则角 ? 的最小值为( 3 3 5? 2? 5? 11? A、 B、 C、 D、 6 3 3 6
A.

? 6

B.

5 ? 6

C.

?

) 。

11. A,B,C 是 ? ABC 的三个内角,且 tan A, tan B 是方程 3x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实数根,
2

则 ? ABC 是( ) A、等边三角形 12. 已知 sin x cos y ? A、 [?1,1]

B、锐角三角形

C、等腰三角形

D、钝角三角形

1 , 则 cos x sin y 的取值范围是( ) 2 3 1 1 3 B、 [? , ] C、 [? , ] 2 2 2 2

D、 [?

1 1 , ] 2 2

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知方程 x ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 (a 为大于 1 的常数)的两根为 tan ? , t an ? ,
2

且? 、 ? ? ? ?

? ?? ? ? ?? 的值是_________________. , ? ,则 tan 2 ? 2 2?
? ? ? ? ? ?


14. 若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

i o 15.给出四个命题: ①存在实数 ? , s ? cs ? ? 1 ; 使n ②存在实数 ? , sin ? ? cos ? ? 使
③ y ? sin(

5? ? 5? ? 2 x) 是偶函数;④ x ? 是函数 y ? sin( 2 x ? ) 的一条对称轴方程;⑤ 2 4 8

3 ; 2

若 ? , ? 是第一象限角,且 ? ? ? ,则 sin ? ? sin ? 。其中所有的正确命题的序号是_____。
?π ? ?π ? 1 ?π ? 16.sin ? + ? ? sin ? - ? ? = ,?∈ ? , π ? ,则 sin 4??的值为 4 4 2 6 ? ? ? ? ? ? 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)



17.(10 分)已知 ?? ? ? ? ? ,求 y ? cos? ? 6sin? 的最小值及最大值。

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sin 2 x+2 sin 2 x 7? 7? ?π ? 3 18.(12 分)已知 cos ? + x ? = , <x< ,求 的值. 1- tan x 12 4 ?4 ? 5

19.(12 分)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ?)(? ? 0,0 ≤ ? ≤ ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关 于点 M ( ? ,0) 对称,且在区间[0,

3 4

? ]上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 2
3 ? ? ? x x? ? ?? x ?, b ? ? cos ,? sin ? ,且 x ? ?0, ?, 求 2 ? 2 2? ? ? 2?

20.(12 分)已知向量 a ? ? cos x, sin (1) a ? b 及 a ? b ;

?

? ?

3 2

? ?

?

?

(2)若 f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b 的最小值是 ?

? ?

?

?

3 ,求实数 ? 的值. 2

21. (12 分)已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , a ? b ? (1)求 cos(? ? ? ) 的值; (2)若 0 ? ? ?

?

?

? ?

2 5 . 5

?
2

,?

?
2

? ? ? 0 ,且 sin ? ? ?

5 ,求 sin ? 的值. 13

22.(12 分)已知向量 a ? (cos

3x 3x x x ,sin ) , b ? (cos ,? sin ) , c ? ( 3,? 1) ,其中 2 2 2 2

x?R . (1)当 a ? b 时,求 x 值的集合;
(2)求 | a ? c | 的最大值.

高一数学试卷

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2011~2012 学年度下学期期末考试
高一数学答案(理科) 第Ⅰ卷(选择题,共 12 题,共 60 分)
1-5 CABCC 6-10 CBBAD 11-12 DD 1.C 解析:∵ sin ?+cos ?= 2 sin(?+ 2.A 解析:由 tan A-

π ? ),又 ?∈(0, ),∴ 值域为(1, 2 ]. 4 2

sin A-B) ( 1 1 1 =tan B,得 =tan A-tan B ? = 2 sin Acos A sin 2 A sin 2 A cos A cos B

? cos B=2sin Asin(A-B) ? cos[(A-B)-A]=2sin Asin(A-B) ? cos(A-B)cos A-sin Asin(A-B)=0,即 cos(2A-B)=0.
∵ △ABC 是锐角三角形, ∴ -

π <2A-B<π, 2

? ? sin 2A=cos B,即 sin 2A-cos B=0. 2 π? ? ?π ? ?π ? 3.B 解析:由 sin2 ? x- ? =sin2 ? - x ? =cos2 ? + x ? , 4? ? ?4 ? ?4 ?
∴ 2A-B=
π? π? ? ?π ? ? 得 f(x)=sin2 ? x+ ? -cos2 ? + x ? =-cos ? 2x+ ? =sin 2x. 4? 4 2? ? ? ? ?

4.C

单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b ? 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

?

?

| a ? b | ?| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
? ? ? ? ? ? a ? 3b ? a 2 ? 6a ? ? 9b 2 ? 1 ? 6cos 600 ? 9 ? 13 b ? ? a? b 2 1 ? 6. C cos ? ? ? ? ? ? , ? ? 3 a b 4 2
5. C 7. 正确答案:B 错因:学生求?C 有两解后不代入检验。 8.解一:设点 (sin?, cos? ) ,则此点满足

?x ? y ? 1 ? 2 2 ?x ? y ? 1

解得 ?

?x ? 0 ?x ? 1 或? ?y ? 1 ?y ? 0

即?

?sin? ? 0 ?sin? ? 1 或? ?cos? ? 1 ?cos? ? 0

n ?s i n ? ? cosn ? ? 1 ?选 B

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第 4 页 (共 6 页)

解二:用赋值法, 令 sin? ? 0, cos? ? 1

同样有 sin ? ? cos ? ? 1? 选 B
n n

说明:此题极易认为答案 B 最不可能,怎么能会与 n 无关呢?其实这是我们忽略了一 个隐含条件 sin ? ? cos ? ? 1,导致了错选为 C 或 D。
2 2

9. 解:由 ?

?3sin A ? 4 cos B ? 6 平方相加得 ?3cos A ? 4 sin B ? 1
1 2
若C ? ?

sin( A ? B) ? ? sin C ? ?C ? 1 2

5 6

则 A? B ?

?
6

?

5 或 ? 6 6 ?A?

?
?选 A

?1 ? 3cos A ? 4 sin B ? 0 1 1 又 ? 1 ? cos A ? 3 2 3

3 5 ?C ? ? 6 ?C ?

?

6

说明:此题极易错选为 C ,条件 cos A ? 对题目条件的挖掘。 10. 正解:D

1 比较隐蔽,不易发现。这里提示我们要注意 3

2? 2? 2 3 5 11 ? 0 cos ?0 tan? ? cos ? ? ? ,?? ? ?或? ? ? ,而 sin 3 3 3 3 6 6
所以,角 ? 的终边在第四象限,所以选 D, ? ? 误解: tan ? ? tan 11. 正解:D

11 ? 6

2 2 ? , ? ? ? ,选 B 3 3

3 ? ?tan A ? tan B ? 5 ? 由韦达定理得: ? ?tan A tan B ? 1 ? 3 ?

5 tan A ? tan B 5 ? tan(A ? B) ? ? 3 ? 1 ? tan A tan B 2 2 3

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在 ?ABC 中, tan C ? tan[ ? ? ( A ? B)] ? ? tan( A ? B) ? ?

5 ?0 2

? ?C 是钝角,? ?ABC 是钝角三角形。
12. 答案:D 设 cos x sin y ? t , 则(sin x cos y )(cos x sin y ) ?

1 t ,可得 sin2x sin2y=2t,由 2

sin 2 x sin 2 y ? 1即 2t ? 1? ?
错解:B、C

1 1 ?t ? 。 2 2

1 1 与 cos x sin y ? t相加得 sin( x ? y ) ? ? t 由 2 2 1 3 1 ? 1 ? sin( x ? y ) ? 1得 ? 1 ? ? t ? 1得 ? ? t ? 选 B,相减时选 C,没有考虑上述两种 2 2 2
错因:将 sin x cos y ? 情况均须满足。

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
一、 填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.-2 14.

6

15. ③④

16. -

4 2 9

13. 正确解法:? a ? 1

? ? ? t a n ? t a n ? ?4a ? 0 , tan? ? tan? ? 3a ? 1 ? o

? tan? , tan? 是方程 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两个负根
又? , ? ? ? ?

? ? ?? , ? ? 2 2?

? ?? ? ? ? ? ? ? ?? , ? ? ? ? ,0 ? 即 ? ? ? ,0 ? 2 ? 2 ? ? 2 ?

由 tan 答案: -2 . 14.

?? ? ? ? =

4 ? ?? tan? ? tan ? ? 4a ? ?2. = = 可得 tan 2 1 ? tan? ? tan ? 1 ? ?3a ? 1? 3

6

由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

?2 ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ?2 ? ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 a ? 2 b ? a ? b ? 2 ? 2? 4 ? 4 ? 6
15.正解:③④

1 1 1 sin 2? ? [? , ],? sin ? cos ? ? 1 不成立。 2 2 2 ? 3 ② sin ? ? cos ? ? 2 sin(? ? ) ? [? 2 , 2 ], ? [? 2 , 2 ],?不成立。 4 2 5? ? ? 2 x) ? sin( ? 2 x) ? cos 2 x 是偶函数,成立。 ③ y ? sin( 2 2 ? 5? 3? ? ④ 将 x ? 代入 2 x ? 得 ,? x ? 是对称轴,成立。 4 2 8 8
① sin ? cos ? ?
? ⑤ 若 ? ? 390 , ? ? 60 , ? ? ? , 但 sin ? ? sin ? ,不成立。
?

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误解:①②没有对题目所给形式进行化简,直接计算,不易找出错误。 ⑤没有注意到第一象限角的特点, 可能会认为是 (0 ? ,90? ) 的角, 从而根据 y ? sin x 做出了错误的判断。 16.-
4 2 . 9

?π ? π ?π ? ?π ? ?? 解析:∵ sin ? - ? ? =sin ? - ? +? ?? =cos ? + ? ? , 4 4 2 ?4 ? ? ? ? ?? ?

1 ?π ? ?π ? ∴ sin ? + ? ? sin ? - ? ? = 6 ?4 ? ?4 ? ?π ? ?π ? 1 ? sin ? + ? ? cos ? + ? ? = ?4 ? ?4 ? 6 ?π ? 1 ? sin ? + 2? ? = . ?2 ? 3

1 ? ∴ cos 2?= ,又 ?∈( ,π),∴ 2?∈(π,2π). 3 2
∵ sin 2?=- 1 cos2 2? =- - ∴ sin 4?=2sin 2?cos 2?=-
2 2 , 3

4 2 . 9 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分)

17. 解:?2? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 2? 3 11 ? y ? 2 sin 2 ? ? 6sin? ? 1 ? 2(sin? ? ) 2 ? 2 2
令 t ? sin? 则 |t |? 1 ? y ? 2(t ? ) ?
2

3 2

11 2

3 ?当 t ? ?1时, y max ? 7 ;当 t ?1 时, y min ? ?5 2 3 ?11 说 明 : 此 题 易 认 为 sin ? ? 时 , y m i n ? ,最大值不存在,这是忽略了条件 2 2 3 |sin? |? 1, 不在正弦函数的值域之内。 2
而对称轴为 t ?

7? 7? 5? ? ?π ? 3 <x< ,∴ < +x<2?.又 cos ? + x ? = >0, 4 4 12 6 4 ? ? 5 4 4 3? ? ?π ? ?π ? ∴ < +x<2?,∴ sin ? + x ? =- ,tan ? + x ? =- . 4 4 2 4 5 3 ? ? ? ?
18. 解:∵ 又 sin 2x=-cos ?

?π ? 7 ?π ? ?π ? + 2 x ? =-cos 2 ? + x ? =-2cos2 ? + x ? +1= , 25 ?4 ? ?4 ? ?2 ?

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∴ 原式=

sin 2 x cos x+2 sin2 x cos x sin 2 x+2 sin2 x sin 2 x(cos x+sin x) = = sin x cos x-sin x cos x-sin x 1- cos x



sin 2 x(1+tan x) 28 ? =sin 2x·tan( +x)=- . 4 1-tan x 75

19. 正解:由 f (x) 是偶函数,得 f (? x) ? f ( x) 故 sin(??x ? ?) ? sin(?x ? ?) ,? ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x 对任意 x 都成立,且 ? ? 0,? cos? ? 0 依题设 0≤ ? ≤ ? ,? ? ?

?
2 3 4 3 4

由 f (x) 的图像关于点 M 对称,得 f ( ? ? x) ? ? f ( ? ? x)

3 4 3 3?x ? 3?x 3?x ? ) ? cos( ),? cos( )?0 ? f ( ? ) ? sin( 4 4 2 4 4 3?x ? ? ? k? , k ? 0,1,2...... 又 ? ? 0 ,得 4 2 2 ? ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2... 3 2 2 ? ? 当 k ? 0 时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 在 [0, ] 上是减函数。 3 3 2 2
取 x ? 0得f ( ? ) ? ? f ( ? ),? f ( ? ) ? 0 当 k ? 1 时, ? ? 2, f ( x) ? sin( 2 x ? 当 k ≥2 时, ? ?

3 4

3 4

?

10 ? ? , f ( x) ? sin(?x ? ) 在 [0, ] 上不是单调函数。 3 2 2 2 所以,综合得 ? ? 或 ? ? 2 。 3
误解:①常见错误是未对 K 进行讨论,最后 ? 只得一解。 ②对题目条件在区间 [0,

) 在 [0, ] 上是减函数。 2 2

?

?

2 ? ? 20. 错误分析:(1)求出 a ? b = 2 ? 2 cos2 x 后,而不知进一步化为 2 cos x ,人为增加难度;

] 上是单调函数,不进行讨论,故对 ? ≥

10 不能排除。 3

(2)化为关于 cos x 的二次函数在 ?0,1? 的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求 a ? b ? cos2 x , (2)

? ?

? ? a ? b = 2 cos x ;

? ? ? ? f ?x ? ? a ? b ? 2? a ? b = cos 2 x ? 2? ? 2 cos x = 2 cos2 x ? 4? cos x ? 1
= 2?cos x ? ? ? ? 2?2 ? 1
2

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? ?? ? x ? ?0, ? ? 2?

? c o s ? ?0,1? x

从而:当 ? ? 0 时, f ?x ?min ? ?1 与题意矛盾, ? ? 0 不合题意;
2 当 0 ? ? ? 1 时, f ? x ?min ? ?2? ? 1 ? ? ,? ? ?

3 2

1 ; 2

当 ? ? 1 时, f ? x ?min ? 1 ? 4? ? ? , 解得 ? ?

3 2

5 ,不满足 ? ? 1 ; 8

综合可得: 实数 ? 的值为

21. 解(Ⅰ)? a ? ? cos ?, ? ?,? ? cos ?, ? ? , sin b sin

?

1 . 2

?

? ? ? a ? b ? ? cos ? ? cos ?, ? ? sin ? ? . sin
? ? 2 5 , ? a ?b ? 5


?

? cos ? ? cos ? ? ? ? sin ? ? sin ? ?
2

2

?

2 5 , 5

2 ? 2 c o?? ? ? ? ? s

(Ⅱ)? 0 ? ? ?

?
2

,?

?
2

4 . 5

3 ? cos ?? ? ? ? ? . 5

? ? ? 0,? 0 ? ? ? ? ? ? .

3 4 ? c o s? ? ? ? ? ,? sin ?? ? ? ? ? . ? 5 5 5 12 ? sin ? ? ? ,? cos ? ? . 13 13

? s i n ? s i?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? ? s i n? ? ?? c o ?? c o? s s ? ? ?

??

s ?n i

4 12 3 ? 5 ? 33 ? ? ? ?? ? ? ? . 5 13 5 ? 13 ? 65
22. 解: (Ⅰ)由 a ? b ,得 a ? b ? 0 ,即 cos 则 cos 2 x ? 0 ,得 x ?

3x x 3x x cos ? sin sin ? 0 .…………4 分 2 2 2 2

kπ π ? (k ? Z) .…………………………………5 分 2 4



kπ π ? ? ? ,k ? Z? 为所求.…………………………………6 分 ?x | x ? 2 4 ? ?
2

(Ⅱ)| a ? c | ? (cos

3x 3x 3x π ? 3 ) 2 ? (sin ? 1) 2 ? 5 ? 4 sin( ? ) ,……………10 分 2 2 2 3

所以 | a ? c | 有最大值为 3.……………………………………………………12 分

高一数学试卷

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