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2013高考数学(理)一轮复习课件:7-1


第1讲 不等关系与不等式

【2013年高考会这样考】 结合命题真假判断、充要条件、大小比较等知识考查不等式性质的基本 应用. 【复习指导】 不等式的性质是解(证)不等式的基础,关键是正确理解和运用,要弄清 条件和结论,近几年高考中多以小题出现,题目难度不大,复习时,应 抓好基本概念,少做偏难题.

基础梳理 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符号

>、<、≥、≤、≠ 连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系,
含有这些不等号的式子,叫做不等式. 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0? b=0?

a>b

;a-

a=b

;a-b<0?

a<b .另外,若b>0,则有a>1?a>b;a= b b

a 1?a=b; <1?a<b. b

3.不等式的性质 (1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c? a>c ; (3)可加性:a>b?a+c > b+c,a>b,c>d?a+c>b+d; (4)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b>0,c>d>0?ac>bd; (5)可乘方:a>b>0?an>bn(n∈N,n≥2); n n (6)可开方:a>b>0? a> b(n∈N,n≥2).

一个技巧 作差法变形的技巧:作差法中变形是关键,常进行因式分解或配方. 一种方法 待定系数法:求代数式的范围时,先用已知的代数式表示目标式,再 利用多项式相等的法则求出参数,最后利用不等式的性质求出目标式 的范围.

两条常用性质 (1)倒数性质: 1 1 ①a>b,ab>0? < ; a b 1 1 ②a<0<b? < ; a b a b ③a>b>0,0<c<d? > ; c d 1 1 1 ④0<a<x<b或a<x<b<0? < < . b x a (2)若a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b+m b b-m < ; > (b-m>0); a a+m a a-m ②假分数的性质: a a+m a a-m > ; < (b-m>0). b b+m b b-m

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b| ?a2>b2;③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中正确的命题是( A.①② C.③④ 解析 B.②③ D.①④ ).

当 c=0 时,ac2=bc2,∴①不正确;a>|b|≥0,a2>|b|2=b2,∴
3 3 2 2

②正确; -b =(a-b)(a +ab+b a

?? 1 ?2 3 2? ?? a+ b? + b ? >0, )=(a-b)· ∴③正 2 ? 4 ? ??

确;取 a=2,b=-3,则|a|>b,但 a2=4<b2=9,∴④不正确. 答案 B

2.限速 40 km/h 的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h,写成不等式就是( A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 答案 D ).

3. (2012· 银川质检)已知 a, c∈R, b, 则“a>b”是“ac2>bc2”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 解析 >b. 答案 B B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

).

a>b /?ac2>bc2,∵当 c2=0 时,ac2=bc2;反之,ac2>bc2?a

4.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为 0,那么下列不等式成立的是( A.ad>bc B.ac>bd D.a+c>b+d

).

C.a-c>b-d 解析 答案

由不等式性质知:a>b,c>d?a+c>b+d. D

1 5. 与 3+1 的大小关系为________. 2-1 解析 1 -( 3+1)=( 2+1)-( 3+1)= 2- 3<0, 2-1

1 ∴ < 3+1. 2-1 答案 1 < 3+1 2-1

考向一

比较大小

【例 1】?已知 a,b,c 是实数,试比较 a2+b2+c2 与 ab+bc+ca 的大小. [审题视点] 采用作差法比较,作差后构造完全平方式即可. 解 1 ∵a +b +c -(ab+bc+ca)= [(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]≥0, 2
2 2 2

当且仅当 a=b=c 时取等号. ∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 比较大小的方法常采用作差法与作商法, 但题型为选择题时可以用 特殊值法来比较大小.

【训练 1】 已知 a, b∈R 且 a>b, 则下列不等式中一定成立的是( a A. >1 b C.lg(a-b)>0 解析 B.a2>b2
?1? ?1? a D.?2? <?2?b ? ? ? ?

).

a a 令 a=2,b=-1,则 a>b, =-2,故 >1 不成立,排除 A; b b

令 a=1,b=-2,则 a2=1,b2=4,故 a2>b2 不成立,排除 B;当 a-b 在区间(0,1)内时,lg(a-b)<0,排除 >b,∴f(a)<f(b). 答案 D
?1? C;f(x)=?2?x 在 ? ?

R 上是减函数,∵a

考向二 不等式的性质 【例 2】 ?(2012· 包头模拟)若 a>0>b>-a, c<d<0, 则下列命题: (1)ad a b >bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d;(4)a· (d-c)>b(d-c)中能成立的个数 d c 是( A.1 ). B.2 C.3 D.4

[审题视点] 利用不等式的性质说明正误或举反例说明真假.

解析

∵a>0>b,c<d<0,∴ad<0,bc>0,∴ad<bc,

∴(1)错误. ∵a>0>b>-a,∴a>-b>0, ∵c<d<0,∴-c>-d>0, ∴a(-c)>(-b)(-d), a b ac+bd ∴ac+bd<0,∴ + = <0,∴(2)正确. d c cd ∵c<d,∴-c>-d,∵a>b,∴a+(-c)>b+(-d), a-c>b-d,∴(3)正确. ∵a>b,d-c>0,∴a(d-c)>b(d-c),∴(4)正确,故选 C. 答案 C

在判断一个关于不等式的命题真假时, 先把要判断的命题和不 等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题 真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数,指数函数的 性质等.

c d 【训练 2】 已知三个不等式:①ab>0;②bc>ad;③ > .以其中两个 a b 作为条件,余下一个作为结论,则可以组成正确命题的个数是( A.0 解析 B.1 C.2 D.3 ).

c d 命题 1:若 ab>0, > ,则 bc>ad; a b

c d 命题 2:若 ab>0,bc>ad,则 > ; a b c d 命题 3:若 > ,bc>ad,则 ab>0. a b 答案 D

考向三

不等式性质的应用

【例 3】?已知函数 f(x)=ax2+bx,且 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4.求 f(-2) 的取值范围. [审题视点] 可利用待定系数法寻找目标式 f(-2)与已知式 f(-1),f(1)之 间的关系, 即用 f(-1), f(1)整体表示 f(-2), 再利用不等式的性质求 f(- 2)的范围.

解 f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-2)=4a-2b. 设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b.
?m+n=4, ? ∴? ?m-n=-2, ? ?m=1, ? ∴? ?n=3. ?

∴f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤f(-2)≤10. 由a<f(x,y)<b,c<g(x,y)<d,求F(x,y)的取值范围,可 利用待定系数法解决,即设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形 求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.

【训练3】 解

?-1≤α+β≤1, ? 若α,β满足? ? 1≤α+2β≤3, ?

试求α+3β的取值范围.

设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)=(x+y)α+(x+2y)β.
?x=-1, ? 解得? ?y=2. ?

?x+y=1, ? 由? ?x+2y=3, ?

∵-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6, ∴两式相加,得1≤α+3β≤7.

考向四

利用不等式的性质证明简单不等式 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

【例4】?设a>b>c,求证:

[审题视点] 充分运用已知条件及不等式性质进行求证. 证明 ∵a>b>c,∴-c>-b.

1 1 ∴a-c>a-b>0,∴ > >0. a-b a-c 1 1 1 ∴ + >0.又b-c>0,∴ >0. a-b c-a b-c 1 1 1 + + >0. a-b b-c c-a

(1)运用不等式性质解决问题时,必须注意性质成立的条件. (2)同向不等式的可加性与可乘性可推广到两个以上的不等式.

【训练4】 若a>b>0,c<d<0,e<0, 求证: e e > . ?a-c?2 ?b-d?2

证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0,∴a-c>b-d>0. 1 1 ∴(a-c) >(b-d) >0.∴0< < . ?a-c?2 ?b-d?2
2 2

e e 又∵e<0,∴ > 2 2. ?a-c? ?b-d?

难点突破15——数式大小比较问题 数式大小的比较是高考中最常见的一种命题方式,涉及的知识点和 问题求解的方法不仅局限于不等式知识,而且更多的关联到函数、 数列、三角函数、向量、解析几何、导数等知识,内容丰富多 彩.命题的方式主要是选择题、填空题,考查不等式性质、函数性 质的应用.

一、作差法 【示例】? (2011· 陕西)设0<a<b,则下列不等式中正确的是( a+b A.a<b< ab< 2 a+b C.a< ab<b< 2 a+b B.a< ab< <b 2 a+b D. ab<a< 2 <b ).

二、作商法 【示例】? 若0<x<1,a>0且a≠1,则|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小 关系是( ).

A.|loga(1-x)|>|loga(1+x)| B.|loga(1-x)|<|loga(1+x)| C.不确定,由a的值决定 D.不确定,由x的值决定

三、中间量法 2π 【示例】? 若 a=20.6,b=logπ3,c=log2sin 5 ,则( A.a>b>c C.c>a>b B.b>a>c D.b>c>a ).

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