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高三新课标理科数学一轮复习课件 2.11 变化率与导数、导数的计算_图文

第十一节 变化率与导数、导数的计算 三年9考 1.了解导数概念的实际背景; 2.理解导数的几何意义; 高考指数:★★★ 3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=x3, y= 1 ,y= x 的导数; x 4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简 单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于f(ax+b)的复合函 数)的导数. 1.导数的几何意义是考查重点; 2.导数的运算是导数的基本内容,在高考中每年必考,一般不 单独命题,常在考查导数应用的同时进行考查. 3.题型以选择题和填空题为主,在解答题中会渗透导数的运算. 1.导数的定义及几何意义 (1)定义:函数在x0处的平均变化率 ?y ,当Δ x→0时的极限 ?x (即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0) f (x 0 ? ?x) ? f (x 0 ) 或 y? |x ?x0 ,即_______________________. ?x ?0 ?x f ?(x 0 ) ? lim (2)几何意义:函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线 切线的斜率 y=f(x)在点P(x0,y0)处的___________. 【即时应用】 (1)思考:f′(x)与f′(x0)有何区别? 提示:f′(x)是x的函数,f′(x0)只是f′(x)的一个函数值. (2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是_____. 【解析】∵y′=2x,∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2. 答案:2 (3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是______. 【解析】f′(e)= 1 1 |x ? e ? , x e ∴所求的切线方程为y-f(e)=f′(e)(x-e), 即y-lne= 1 (x ? e),化简得x-ey=0. e 答案:x-ey=0 2.基本初等函数的导数公式 0 (c为常数) (1)(c)′=__; α xα -1 (α ∈Q*) (2)(xα )′=______; cosx (3)(sinx)′=_____; (4)(cosx)′=______; -sinx (5)(ex)′=__; ex axlna (6)(ax)′=______(a>0); 1 (7)(lnx)′=__; x 1 (8)(logax)′=_____(a>0且a≠1). xlna 【即时应用】 (1)y=x-5,则y′=______. (2)y=4x,则y′=______. (3)y=log3x,则y′=______. (4)y= sin ,则y′=______. 答案:(1)-5x-6 (2)4xln4 (3) 1 xln3 ? 3 (4)0 3.导数的运算法则 若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则 f′(x)±g′(x) (1)[f(x)±g(x)]′=______________; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=_____________________; f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) (3)[ f ? x ? ]′=________________(g(x)≠0). [g(x)]2 g(x) 【即时应用】 (1)y=x3+sinx,则y′=_______. (2)y=x4-x2-x+3,则y′=_______. (3)y=(2x2+3)·(3x-2),则y′=_______. ex (4)f(x)= ,则f′(x)=_______. x 【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx. (2)y′=4x3-2x-1. (3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9. 或:y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9. e x x ? e x e x (x ? 1) (4)f′(x)= ? . x2 x2 答案:(1)3x2+cosx (3)18x2-8x+9 (2)4x3-2x-1 e x (x ? 1) (4) x2 4.复合函数的导数 yu′·ux′ 若y=f(u),u=ax+b,则yx′=_________, yu′·a 即yx′=________. 【即时应用】 (1)y= cos( 3x ? ?)(0<φ<π ),则y′=_______. (2)y=ex ,则y′=_______. (3)y= 2x ? 1 ,则y′=_______. 【解析】(1)设u= ? 3sin( 3x ? ?) 3x ? ? ,则y′x=y′u·u′x= ?sinu 3= 2 (2)设u=x2,则y′x=y′u·u′x=(eu)·2x =2xex 2 (3)设u=2x-1,则y′x=y′u·u′x= 1 2 u 2= (3) 1 2x ? 1 1 2x ? 1 答案: (1) ? 3sin( 3x ? ?) (2)2xe x2 导数的运算 【方法点睛】 求函数的导数的方法 (1)总原则:先化简解析式,再求导. (2)具体方法 ①连乘积的形式:先展开化为多项式形式,再求导. ②根式形式:先化为分数指数幂,再求导. ③复杂分式:通过分子上凑分母,化为简单分式的和、差,再 求导. ④复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导. 【例1】(1)(2011·湖北高考)放射性元素由于不断有原子放射 出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰 变,假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位: 太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系: M(t) ? M 0 2 ? t 30 ,其中 M0为t=0时铯137的含量,已知t=30时,铯137的含量的变化率 是-10ln2(太贝克/年),则M(6

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