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上海市黄浦区2014年中考二模数学试题(WORD版)

黄浦区 2014 年九年级学业考试模拟考 数学试卷
(时间 100 分钟,满分 150 分) 2014.4.10 考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题; 2.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效; 3.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主 要步骤. 一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应 位置上.】 1. 下列二次根式中, 2 的同类根式是 (A) 4 ; 2. 化简 (3a3 )2 的结果是 (A) 6 a ; (B) 6 a ; 2 3. 方程 x ? 6 x ? 9 ? 0 的根的情况是 (A)没有实数根; (C)有两个相等的实数根;
6 9

(B) 6 ;

(C) 8 ;

(D)

10 .

(C) 9 a ;

6

(D) 9 a .

9

(B)有且仅有一个实数根; (D)有两个不相等的实数根.

4. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (A)正三角形; (B)正方形; (C)等腰直角三角形; (D)等腰梯形. 5. 在平行四边形 ABCD 中,下列条件中不能 判定四边形 ABCD 是菱形的是 .. (A)AB=BC; (B)AC=BD; (C)∠ABD=∠CBD; (D)AC⊥BD.

6. 某赛季甲、乙两名篮球运动员各参加 10 场比赛,各场得分情况如图 1 所示,下列四个结论中, 正确的是 (A)甲运动员得分的平均数小于乙运动员得分的平均数; (B)甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数; (C)甲运动员得分的最小值大于乙运动员得分的最小值; (D)甲运动员得分的方差大于乙运动员得分的方差. 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】

1 7. 的相反数是 2
8. 因式分解: x y ? 4 y ?
2

图1

. .

9. 不等式组 ?

? ?3x ? ?6 的解集是 ?2 x ? 1 ? 0

.

10. 方程 x ? 2 ? x 的根是 11. 若反比例函数 y ?

. .

1 ? 3k 的图像经过第一、三象限,则 k 的取值范围是 x

12. 某校对部分学生家庭进行图书量调查,调查情况如图 2 所示,若本次调查中,有 50 本以下图书的 学生家庭有 24 户,则参加本次调查的学生家庭数有 户. 13. 布袋中有 1 个黑球和 1 个白球,这两个球除颜色外其他都相同,如果从布袋中先摸出一个球, 放回摇匀后,再摸出一个球,那么两次都摸到白球的概率是 . 14. 将抛物线 y ? x2 ? x 向右平移 1 个单位后,所得新抛物线的表达式是 .

15. 如图 3, AB∥CD, 直线 MN 分别与 AB、 CD 交于点 E、 F, FG 是∠NFD 的平分线, 若∠MEB=80°, 则∠GFD 的度数为 . 16. 如图 4,△ABC 中,D 为边 AC 的中点,设 BD= a ,BC= b ,那么 CA 用 a 、b 可表示为 .

17. 当两个圆有两个公共点,且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时,我们称此两圆的位置关系为 “内相交”.如果⊙ O1 、⊙ O2 半径分别 3 和 1,且两圆“内相交”,那么两圆的圆心距 d 的取 值范围是
100~149 本 150 本及以上 35% 30%

.

A

M A C
20%

A

E F N
图3

B
D

D

D G
B
图4

50~99 本 图2

50 本以下

C

B
图5

C

18. 如图 5,在△ABC 中,AB=AC=5,BC=4,D 为边 AC 上一点,且 AD=3,如果△ABD 绕点 A 逆 时针旋转,使点 B 与点 C 重合,点 D 旋转至 D',那么线段 D D'的长为 . 三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分) 计算: cot 30? ? 2 ? 3 ? 2 ? 3
1 2

?

?

?1

? ( 3 ? 1) 2 .

20. (本题满分 10 分) 解方程:

3 1 ? ? 1. x ? 3 1? x

21. (本题满分 10 分,第(1)、(2)小题满分各 5 分) 如图 6,D 是⊙O 弦 BC 的中点,A 是 BC 上一点,OA 与 BC 交于点 E,已知 AO=8,BC=12. (1)求线段 OD 的长; (2)当 EO= 2 BE 时,求∠DEO 的余弦值.
B E A D C O

图6

22. (本题满分 10 分,第(1)、(2)小题满分各 5 分) 已知弹簧在其弹性限度内, 它的长度 ( y 厘米) 与所挂重物质量 ( x 千克) 的关系可表示为 y ? kx ? b 的形式,其中 k 称为弹力系数,测得弹簧 A 的长度与所挂重物(不超过弹性限度)的关系如图 7-1 所示. (1)求弹簧 A 的弹力系数; (2)假设在其它条件不变的情况下,弹簧的弹力系数 k 与弹簧的直径 d (如图 7-2 所示)成正比 例.已知弹簧 B 的直径是弹簧 A 的 1.5 倍,且其它条件均与弹簧 A 相同(包括不挂重物时的长度). 当弹簧 B 挂一重物后,测得此时弹簧长度为 9 厘米,求该重物的质量. y(厘米) 10 8

d O 4 8
图 7-1

x(千克)
图 7-2

23. (本题满分 12 分,第(1)、(2)小题满分各 6 分) 如图 8,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,D 是边 BC 上一点,点 E、F 分别是线段 AB、AD 中点, 联结 CE、CF、EF. (1)求证:△CEF≌△AEF; (2)联结 DE,当 BD=2CD 时,求证:DE=AF.

C D F A
图8

E

B

24. (本题满分 12 分,第(1)小题满分 3 分,第(2)小题满分 4 分,第(3)小题满分 5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知顶点为 P(0, 2)的二次函数图像与 x 轴交于 A、B 两点, A 点 坐标为(2, 0). (1)求该二次函数的解析式,并写出点 B 坐标; (2)点 C 在该二次函数的图像上,且在第四象限,当△ABC 的面积为 12 时,求点 C 坐标; (3)在(2)的条件下,点 D 在 y 轴上,且△APD 与△ABC 相似,求点 D 坐标.

25. (本题满分 14 分,第(1)小题满分 4 分,第(2)、(3)小题满分各 5 分) 如图 9,在平行四边形 ABCD 中,AB=4,BC=2,∠A=60°. (1)求证:BD⊥BC; (2)延长 CB 至 G,使 BG=BC,E 是边 AB 上一点,F 是线段 CG 上一点,且∠EDF=60°,设 AE=x,CF=y. ①当点 F 在线段 BC 上时(点 F 不与点 B、C 重合),求 y 关于 x 的函数解析式,并写出定义域; ②当以 AE 为半径的⊙E 与以 CF 为半径的⊙F 相切时,求 x 的值.
D

C

A
图9

B

黄浦区 2014 年九年级学业考试模拟考 数学参考答案与评分标准
一、选择题:(本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1. C; 2. C; 3. C; 4. B; 5. B; 二、填空题:(本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7. ? ; 12. 160; 6. D.

1 2

8. y( x ? 2)( x ? 2) ; 13.

9. ?

1 ?x?2 ; 2
15. 50°;

10. x ? 2 ;

11. k ?

1 ; 3

1 ; 4

14. y ? x2 ? x ;

16. 2a ? 2b ;

17. 2 ? d ? 3 ;

18.

12 . 5

三、解答题:(本大题共 7 题,满分 78 分) 19. 解:原式= 3 ? 2 3 ? (2 ? 3) ? (4 ? 2 3) = 3 ?2 3 ?2? 3 ?4?2 3 =2 ????????????????(8 分) ??????????????????(1 分)

???????????????????????????(1 分)

20. 解:去分母得 3(1 ? x) ? ( x ? 3) ? (1 ? x)( x ? 3) . ???????????????(3 分) 整理得

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 . ?????????????????????(3 分) ( x ? 1)( x ? 3) ? 0 . ?????????????????????(1 分)

解得

x1 ? ?1 , x1 ? 3 . ??????????????????????(2 分)经检

验 x1 ? ?1 , x1 ? 3 都是原方程的根. ??????????????????(1 分) 21. 解:(1)联结 OB. ????????????????????????????(1 分) ∵OD 过圆心,且 D 是弦 BC 中点,

1 BC . ????????????????????????(2 分) 2 在 Rt△BOD 中, OD 2 ? BD 2 ? BO 2 . ????????????????????(1 分)
∴OD⊥BC, BD ? ∵BO=AO=8, BD ? 6 . ∴ OD ? 2 7 . ?????????????????????????????(1 分) (2)在 Rt△EOD 中, OD 2 ? ED 2 ? EO 2 . 设 BE ? x ,则 EO ? 2 x , ED ? 6 ? x .

( 2 72 )?
解得

( ?6 x 2 ?)

2 (2 分) x ( . 2??????????????????????? )

x1 ? ?16 (舍),

x2 ? 4 .?????????????????????(1 分)

∴ED=2,EO= 4 2 . 在 Rt△EOD 中, cos ?DEO ?

2 .?????????????????????(2 分) 4

22. 解:(1)把(4,8),(8,10)代入 y ? kx ? b 得

? 8 ? 4k ? b ? ?10 ? 8k ? b

?????????????????????(2 分)

1 ? ?k ? 解得 ? 2 ? ?b ? 6
∴ 弹簧 A 的弹力系数为

?????????????????????(2 分)

1 . 2

?????????????????????(1 分)

(2)设弹簧 B 弹力系数为 kb ,弹簧 A 的直径为 d A ,则弹簧 B 的直径为 由题意得

3 dA . 2

kb k . ? 3 dA dA 2 3 3 ∴ kb ? k ? . 2 4

?????????????????????(2 分)

又∵弹簧 B 与弹簧 A 不挂重物时的长度相同, ∴弹簧 B 长度与所挂重物质量的关系可表示为 y ? 把 y ? 9 代入 y ?

3 x ? 6 . ???????????(1 分) 4

3 x?6 得 4

x ? 4 . ???????????????????(2 分)

∴此时所挂重物质量为 4 千克. 23. 证明:(1)∵∠ACB=90°,且 E 线段 AB 中点, 1 ∴CE= AB =AE. ???????????????????????????(2 分) 2 同理 CF=AF. ?????????????????????????????(1 分) 又∵EF=EF,?????????????????????????????(1 分) ∴△CEF≌△AEF. ??????????????????????????(2 分) (2) ∵点 E、F 分别是线段 AB、AD 中点, 1 ∴ EF ? BD , EF ∥BC. ????????????????????????(2 分) 2 ∵BD=2CD, ∴ EF ? CD . 又∵ EF ∥BC ,∴四边形 CEFD 是平行四边形. ??????????????(2 分) ∴DE=CF. ???????????????????????????????(1 分) ∵CF=AF,∴DE=AF. ??????????????????????????(1 分) 24. 解:(1)设抛物线表达式为 y ? ax 2 ? 2 . 把(2, 0)代入解析式,解得 a ? ? .???????(1 分) ∴抛物线表达式为 y ? ? x 2 ? 2 ?????????(1 分) ∴B(-2, 0). ?????????????????(1 分) (2)过点 C 作 CH⊥x 轴,垂足为 H. 设点 C 横坐标为 m ,则

1 2

y
P B A H

1 2

O
C

x

1 CH ? m2 ? 2 .????????????????(1 分) 2

由题意得 ? [2 ? (?2)] ? ( m2 ? 2) ? 12 ???????(1 分) 解得 m ? ?4 . ????????????????(1 分) ∵点 C 在第四象限,∴ m ? 4 . ∴C(4, -6). ??(1 分) (3)∵PO=AO=2,∠POA=90°,∴∠APO=45°. ???????????????(1 分) ∵BH=CH=6,∠CHB=90°,∴∠CBA=45°. ∵∠BAC ? 135°,∴点 D 应在点 P 下方, ∴在△APD 与△ABC 中,∠APD=∠CBA. ??????????????????(1 分) 由勾股定理得 PA= 2 2 ,BC= 6 2 . 1°当

1 2

1 2

2 PD 2 2 PD PA 4 ? 时, .解得 PD ? .∴ D1 (0, ) ???????????(1 分) ? 4 3 AB BC 3 6 2
PD 2 2 PD PA ? 时, .解得 PD ? 6 .∴ D2 (0, ?4) ??????????(1 分) ? 4 BC AB 6 2

2°当

综上所述,点 D 坐标为 (0, ) 或 (0, ?4) ????????????????????(1 分)

2 3

25. 解:(1)过点 D 作 DH⊥AB,垂足为 H. ???????????????????(1 分) 在 Rt△AHD 中, AH ? AD ? cos ?A ? BC ? cos ?A ? 1 . ∵

AH 1 AH AD BC 1 AH BC ,即 . ? , ? ,∴ ? ? AD 2 CD 2 BC CD AD CD

又∵∠C=∠A=60°,∴△AHD∽△CBD. ???????????????????(2 分) ∴∠CBD=∠AHD=90°. ∴BD⊥BC. ????????????????????(1 分) (2)①∵AD∥BC,∴∠ADB=90°, ∵∠BDH+∠HDA=90°,∠A+∠HDA=90°. ∴∠BDH=∠A=60°. ∵∠EDF=60°,∴∠BDH=∠EDF, 即∠EDH+∠BDE=∠FDB+∠BDE. ∴∠EDH=∠FDB. ???????????????????????????(2 分) 又∵∠EHD =∠CBD =90°,∴△EHD∽△FBD. ???????????????(1 分) ∴

3 x ?1 DH EH ,∴ . ? ? BD BF 2 3 2? y

∴ y ? 4 ? 2 x (1 ? x ? 2) .???????????(2 分)

②联结 EF. 1°当点 F 在线段 BC(点 F 不与点 B、C 重合)上时, ∵△EHD∽△FBD,∴

DH DE DH BD . 即 . ? ? BD DF DE DF

又∵∠BDH=∠EDF,∴△BDH∽△FDE. ∴∠DEF=90°. 在 Rt△EDH 中, DE ? EH 2 ? DH 2 ? x2 ? 2x ? 4 . ∴ EF ? DE ? tan60? ? 3 ? DE ? 3x2 ? 6x ? 12 .????????????????(1 分)

i) 当⊙E 与⊙F 内切时, x ? (4 ? 2 x) ? 3x2 ? 6 x ? 12 . 解得, x1 ?

9 ? 57 9 ? 57 (舍), x2 ? (舍). ???????????????(1 分) 6 6

ii)当⊙E 与⊙F 外切时, x ? (4 ? 2x) ? 3x2 ? 6x ? 12 . 解得 x1 ? 1 (舍), x2 ? ?2 (舍). ??????????????????????(1 分) 2°点 F 与点 B 重合时,即 x=1 时,两圆外切. 3°当点 F 在线段 BG(点 F 不与点 B 重合)上时, 易得 CF ? 4 ? 2 x ,且△BDH∽△FDE 仍然成立. ∴ EF ? 3x2 ? 6x ? 12 . 由 1°计算可知 x ?

9 ? 57 时两圆内切. 6

??????????????????(1 分)

综上所述,当 x=1 时,两圆外切,当 x ?

9 ? 57 时,两圆内切.????????(1 分) 6


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