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四川省达州市普通高中2015届第一次诊断性测试数学理试题(扫描版)

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达州市普通高中 2015 届第一次诊断性测试数学(理)试题
参考答案 一、 二、 三、 选择题: BDDAC ADCAB 12.14; 13.
3 ; 8

填空题:11. 180; 解答题

14.

2? ; 3

15. ①②④

16. (Ⅰ)?m ? ?b, c?, n ? ?cosC, cos B?, m ? n ? ?2a cos A;

? m ? n ? b cosC ? c cosB ? ?2a cos A;

? sin B cos C ? sin C cos B ? ?2 sin A cos A



2? 1 ………………6 分 ?sin?B ? C ? ? sin A ? ?2 sin A cos A ? cos A ? ? ,? A ? (0, ? ) ? A ? 2 3

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1 ( Ⅱ ) 由a ? 2 3得a2 ? 12 ? b2 ? c2 ? 2bccos A , ?b2 ? c 2 ? bc ? 12 , 又S ? ? bc sin A ? 3 , 2
? bc ? 4 ,? b ? c ? 2

………………12 分

17. (Ⅰ)由

a ? 0.15 ,得 a ? 15 ,因为 35 ? 25 ? a ? 10 ? b ? 100 ,所以 b ? 15 , “购买该手机 100

2 的 3 位顾客中至多有 1 位采用 4 期付款” 的概率 P( A) ? 0.93 ? C1 (6 分) 3 ? 0.1? (1 ? 0.1) ? 0.972.

(Ⅱ)记分期付款的期数为 ? , 依题意得 P(? ? 1) ? 0.35 , P(? ? 2) ? 0.25 , P(? ? 3) ? 0.15 ,
P(? ? 4) ? 0.1 , P(? ? 5) ? 0.15 ,

…………………………(8 分)

因为 X 的可能取值为 1,1.5, 2 ,并且 P( X ? 1) ? P(? ? 1) ? 0.35 ,
P( X ? 1.5) ? P(? ? 2) ? P(? ? 3) ? 0.4 ,

P( X ? 2) ? P(? ? 4) ? P(? ? 5) ? 0.1 ? 0.15 ? 0.25 .

……………………(10 分) 2 0.25 …………(12 分)

所以 X 的分布列为 所以 X 的数学期望为

X P

1 0.35

1.5 0.4

E ( X ) ? 1? 0.35 ? 1.5 ? 0.4 ? 2 ? 0.25 ? 1.45 (千元).

18.(Ⅰ) (Ⅰ)由 ?POC ? ? , ABCD 为距形,OC ? 2 得, AD ? BC ? 2 sin ? , OB ? 2 cos?

?? ? ?OA ? AD ? 2 sin ? ,? AB ? OB ? OA ? 2 cos? ? 2 sin ? ,? ? ? 又 ?POQ ? 45 , ? 0, ? …5 分 ? 4?
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 S ABCD ? f ?? ? ? AB ? BC ? 2 sin ? ? cos? ? 2 sin 2 ? ? sin 2? ? 1 ? cos 2?

?? ? ? 2 sin ? 2? ? ? ? 1 4? ?
? 2? ?

? ?? , ? ? ? 0, ? ? 4?

………………8 分

?

? ?? ? ? ? ?? ? ? 3? ? ? ? , ? ?当2? ? ? ? , ?即? ? ? 0, ?时,y ? f ?? ? 为增函数; 4 ?4 4 ? 4 ?4 2? ? ,8 ?
?
? ? 3? ? ?? ? ? ? ? , ?即? ? ? , ?时,y ? f ?? ? 为减函数; 4 ?2 4 ? ?8 4?

?当2? ?

?? ? y ? f ?? ? 的增区间为 ? ? 0, ? ,减区间为 ? 8?

………………10 分

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?? ? ? f ?? ?max ? f ? ? ? 2 ? 1 ?8?

………………12 分
1 1 的 图象上,? an ?1 ? ? x?2 a n ?2

19. (Ⅰ)因为 ?an,an?1 ? 在函数 f ? x ? ? ?

又 bn ?

1 1 1 ? ? , bn ?1 ? bn ? an ?1 ? 1 an ? 1 ? an ? 1

1 1 a ?2 1 ? ? n ? ?1 1 ? 1 an ? 1 an ? 1 an ? 1 an ? 2

1 1 又 a1 ? f ?0? ? ? ? b1 ? ? 2, ??bn ? 是以 2 为首项,1 为公差的等差数列; 2 a1 ? 1

?bn ? n ? 1 (n ? N * )
(Ⅱ)由(1)知, cn ?? n ? 2n

…………………………………6 分 ……………………7 分

Tn ? 1 ? 21 ? 2 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? n ? 2n , 2Tn ? 1 ? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n ?1

? ?Tn ? 2 + 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ,

Tn ? (n ? 1) ? 2n?1 ? 2

…………12 分

20.解: (Ⅰ)依题意,

1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 a(2 x ? 1)( x ? a ) 2?a 1 f ?( x) ? ? 2 ? 2a ? ? ? x ? 0? x x x2 x2 1 1 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时,? ? , 令 f ?( x) ? 0 , 得0 ? x ? 或 x ? ? , 令 f ?( x) ? 0 , 得 ?x?? ; a a 2 2 2 a
当 a ? ?2 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?2 时, ? 综上所述:
(2 x ? 1)2 ?0. x2
1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2 a 2

1 1 ? , a 2

? 1? ? 1 ? ?1 1? +? ? ,单调递增区间是 ? , ? ?; 当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ? , ? 2? ? a ? ?2 a?

1? ?1 ? ? ? 1 1? ? ?,? , +? ? ,单调递增区间是 ? ? , ? 当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, a? ?2 ? ? ? a 2?
当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ……………………7 分

( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 可 知 , 当 a ? ?1 时 , f ( x) 在 ?1,3? 单 调 递 减 . f ( x)max ? f (1) ? ?1 ;

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f ( x) min ? f (3) ? ?

17 ? 3 ln 3 , 3 14 ? 3 ln 3 3

……………………9 分 所以
14 m ? 3 ln 3 ? m 2 ? ? 3 ln 3 , 3 3

| f (?1 ) ? f (?2 ) |max ? f (1) ? f (3) ?

得? 2 ? m ?

7 . 3

……………………12 分
m m m n ? n ln x 可得 f ' ( x) ? ? ? ,由条件可得 f ' (1) ? ? ? n ? ?1 , 2 4 x ?1 ( x ? 1) x m 1 ? 1 ,? m ? 2 , n ? ? , 2 2

21. (Ⅰ)由 f ( x) ?

把 x ? ?1 代入 x ? y ? 2 可得, y ? 1 ,? f (1) ?
? f ( x) ?

2 1 ? ln x , (0,??) ……………………4 分 x ?1 2 1 1 ( Ⅱ ) 由(Ⅰ)知 f ( x) 在 [ ,1] 上单调递减, ? f ( x) 在 [ ,1] 上的最小值为 f (1) ? 1 ,故只需 e e 1 1 1 t 3 ? t 2 ? 2at ? 2 ? 1 ,即 2a ? t 2 ? t ? 对任意的 t ? [ ,2] 上恒成立,令 m(t ) ? t 2 ? t ? ,易求得 t 2 t 1 7 5 ) ? , m(2) ? ,? 2a ? m(t )max ? g (2) m(t ) 在 [ ,1] 单调递减, [1,2] 上单调递增,而 m( 1 2 2 4 2 5 5 ? a ? ,即 a 的取值范围为 [ ,?? ) ……………………9 分 4 4 1 1 ( Ⅲ ) ? g ( x) ? ? ln x ? bx , 不 妨 设 x1 ? x2 ? 0 , ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , ? ? ln x1 ? bx1 , 2 2 1 1 1 ? ln x2 ? bx 2 ,相加可得 ? (ln x1 ? ln x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ,相减可得 ? (ln x1 ? ln x2 ) ? b( x1 ? x2 ) , 2 2 2

由两式易得: ln x1 ? ln x2 ?

x1 ? x2 x1 ln ; x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 x (x ? x ) 需证明 ln 1 ? 2 1 2 成立, ln ? 2 , x1 ? x2 x2 x2 x1 ? x2

要证 x1 x2 ? e 2 , 即证明 ln x1 ? ln x2 ? 2 , 即证:



2(t ? 1) 2(t ? 1) x1 , 构 造 函 数 ? (t ) ? ln t ? , ? t , 则 t ? 1 , 于 是 要 证 明 ln t ? t ?1 t ?1 x2

? ' (t ) ? ?
? ln t ?

1 4 (t ? 1)2 ? ? 0 , 故 ? (t ) 在 (1,??) 上 是 增 函 数 , ?? (t ) ? ? (1) ? 0 , t (t ? 1)2 t (t ? 1)2
2(t ? 1) ,故原不等式成 ……………………14 分 t ?1