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2013年绵阳二诊数学(理)参考答案


绵阳市高中 2010 级第二次诊断性考试

数学(理)参考解答及安晓庆评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCAA BBDAD

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.30 12.30 13.-9 14. [

4 4 5 21 , ]∪[ , ] 21 5 4 4

15.①④

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 16.解:(Ⅰ (x)=1+sin2x - 1+cos2x= 2 sin(2x+ )f ∴ 当 2k? ? 解得 k? ?

?
4

),

?
2

≤2x+

?
4

≤ 2 k? ?

3? 时,f (x)单调递减, 2

?
8

≤x≤ k? ?

5? , 8

即 f (x)的单调递减区间为[ k? ? (Ⅱ)f ( ∴

?
8

, k? ?

5? ](k∈Z). ……………………6 分 8

6 3 A ? A ? A )= 2 sin( + )= ,即 sin( + )= , 2 2 4 4 4 4 8

2? ? 5? A ? ? + = 或 , 即 A= 或 (舍). 3 3 3 4 4 3

??? ???? ? 1 由 AB ? AC =c·b·cosA=12,cosA= ,得 bc=24.①

2

又 cosA=

b2 ? c2 ? a 2 1 2 2 ? ,a ? 2 7 ,得 b +c =52. 2bc 2
z P F D G B E C y

∵ b 2 +c 2 +2bc=(b+c) 2 =100,b>0,c>0, ∴ b+c=10,② 联立①②,且 b<c , 解得 b=4 , c=6. ………12 分 17.解:如图所示建立空间直角坐标系,设 DC=1. (Ⅰ)连结 AC,交 BD 于 G,连结 EG.依题意得 A 数学(理科)答案第1页(共 6 页) x

A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,

1 1 , ). 2 2

∵ 底面 ABCD 是正方形,所以 G 是此正方形的中心, 故点 G 的坐标为(

1 1 , ,0), 2 2

??? ? ??? ? 1 1 且 PA ? (1 0, 1), ? ( , , ) . , ? EG 0 ? 2 2
∴ PA ? 2EG ,这表明 PA//EG.而 EG ? 平面 EDB 且 PA ? 平面 EDB, ∴ PA//平面 EDB. ……………………………………………………………4 分 (Ⅱ)依题意得 B(1,1,0), PB =(1,1,-1).

??? ?

??? ??? ? ? ??? ? 1 1 1 1 又 DE ? (0, , ) , 故 PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 . 2 2 2 2
∴ PB ? DE . 由已知 EF ? PB ,且 EF ? DE ? E , ∴ PB ? 平面 EFD.…………………………………………………………8 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知 EF ? PB , PB ? DF ,故 ?EFD 是所求二面角的平面角. 设点 F 的坐标为(x 0 ,y 0 ,z 0 ), PF ? k PB , 则(x 0 ,y 0 ,z 0 -1)=k(1,1,-1),从而 x 0 =k,y 0 =k,z 0 =1-k,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 1 ∵ PB ? FD =0,所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=0,解得 k ? ,

3

??? ? ??? ? 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ∴ 点 F 的坐标为 ( , , ) ,且 FE ? (? , ,? ) , FD ? (? , ,? ) ? 3 3 3 3 3 3 3 6 6 ??? ??? ? ? FE ? FD 1 ? ? ? ∴ cos ?EFD ? ??? ??? ? ,得 ?EFD ? . 3 | FE || FD | 2
∴ 二面角 C-PB-D 的大小为

?
3

.…………………………………………12 分

18.解:(Ⅰ)甲投篮三次恰好得三分即 1 次投中 2 次不中, ∵ 甲投篮三次中的次数 x~B(3,
1 ∴ P(x=1)= C3 ? ? (1 ? )2 ?

1 ), 3

1 3

1 3

4 , 9

数学(理科)答案第2页(共 6 页)

甲投篮三次恰好得三分的概率为

4 . …………………………………………4 分 9

(Ⅱ)设甲投中的次数为 m,乙投中的次数为 n, ①当 m=0,n=2 时,X=-6, ∴ P(X=-6)=

2 2 1 2 1 ? C2 ? ( ) ? . 3 4 24

②当 m=1,n=2 或 m=0,n=1 时,X=-3, ∴ P(X=-3)= ? ( )2 ?

1 1 3 4

2 1 1 3 13 ? C2 ? ? ? . 3 4 4 48

③当 m=1,n=1 或 m=0,n=0 时,X=0,
1 0 ∴ P(X=0)= ? C2 ? ? ? ? C2 ? ( )2 ?

1 3

1 3 4 4

2 3

3 4

1 . 2

④当 m=1,n=0 时,X=3,
0 ∴ P(X=3)= ? C2 ? ( )2 ?

1 3

3 4

9 . 48

∴X 的分布列为 X P -6 -3 0 3

1 24

13 48

1 2

9 48

…………………………………12 分 19.解:(Ⅰ)由 2a n + 1 a n =ka n -a n + 1 ,可得

ka ? 1 1 = n , an ?1 2 an



1 2 4 2 2 2 ka ? 1 1 1 1 2 ? ? = n = ( ? . ? ? ) ,首项为 ? a1 k ? 1 3 k ? 1 k ? 1 k an k ? 1 an ?1 k ? 1 2 an
1 2 4 2 5 } 为零数列,不成等比数列. ? ? 0 ,即 k= 时,数列 { ? an k ? 1 3 k ?1 2





4 2 5 ? ? 0 ,即 k>0,k ? 1 且 k ? 时, 3 k ?1 2
1 2 4 2 1 ? } 是以 ? 为首项, 为公比的等比数列. an k ? 1 3 k ?1 k

数列 {

数学(理科)答案第3页(共 6 页)

∴ 综上所述,当 k= k?

1 2 5 } 不成等比数列;当 k>0,k ? 1 且 时,数列 { ? an k ? 1 2

1 2 5 } 是等比数列.……………………………………6 分 时,数列 { ? an k ? 1 2
1 1 1 ? 1}是以 为首项, 为公比的等比数列. an 3 3
n

(Ⅱ)当 k=3 时,数列 {



1 3 1 1 ? 1 ? ( ) n ,即 a n = n =1 - n , an 3 3 ?1 3 ?1 1 1 3n ? 3n ? 4 1 1 3n ? 4 =1 - n -(1)= - n = , 3 ?1 3n ? 5 3n ? 5 3 ? 1 (3n ? 5)(3n ? 1) 3n ? 5

∴ an-

令 F(x) =3 x -3x-4(x≥1),则 F ?( x ) =3 x ln3-3≥ F ?(1) >0,

? ∴ F(x)在 [1, ?) 上是增函数.
而 F(1)=-4<0,F(2)=-1<0,F(3)=14>0, ∴ ①当 n=1 和 n=2 时, a n <

3n ? 4 ; 3n ? 5

②当 n≥3 时,3 n +1>3n+5,即

1 1 3n ? 4 > n ,此时 a n > . 3n ? 5 3 ? 1 3n ? 5
3n ? 4 3n ? 4 ;当 n≥3 时,a n > .…12 分 3n ? 5 3n ? 5

∴ 综上所述,当 n=1 和 n=2 时,a n <

20.解:(Ⅰ)由题意得,

( x ? 1)2 ? y 2 1 ? , x?4 2
………………5 分

化简得:

x2 y2 ? ? 1 ,即轨迹 E 为焦点在 x 轴上的椭圆. 4 3

(Ⅱ)设 A(x 1 ,x 2 ),B(x 2 ,y 2 ). ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∵ OA ? OB =( OP ? PA)?( OP ? PB )= OP + OP ? PB + PA ? OP + PA ? PB , ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 由题知 OP⊥AB,故 OP ? PB=0, PA ? OP =0. ??? ??? ??? 2 ??? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? OB = OP + PA ? PB = OP - AP ? PB =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ? 2 , 代入椭圆

x2 y2 6 . ? ? 1 ,得 y= ? 4 3 2
数学(理科)答案第4页(共 6 页)

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 6 ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 =-2- ? 0,这与 OA? OB =0 矛盾,故此时 m 不存在.

4

②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴ |OP|=

b 1? k
2

? 2 ,即 b 2 =2k 2 +2.

联立

x2 y2 2 2 2 ? ? 1 与 y=kx+b 得,(3+4k )x +8kbx+4b -12=0, 4 3 4b 2 ? 12 ?8kb ,x 1 x 2 = , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3b 2 ? 12k 2 , 3 ? 4k 2

∴ x 1 +x 2 =

y 1 y 2 =(kx 1 +b)(kx 2 +b)=k 2 x 1 x 2 +kb(x 1 +x 2 )+b 2 = ∴ OA ? OB =x 1 x 2 +y 1 y 2 = ∴ 7b 2 -12k 2 -12=0, 又∵ b 2 =2k 2 +2,

??? ??? ? ?

4b 2 ? 12 3b 2 ? 12k 2 + =0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴ 2k 2 +2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件.………………………………………13 分 21.解: (Ⅰ) 由已知有 g ( x) ? 于是 g ?( x ) ?

f ( x +1) ? x = ln( x +1) ? x , x+1

1 x . ? 1=? x+1 x?1

故当 x∈(-1,0)时, g ?( x) >0;当 x∈(0,+∞)时, g ?( x) <0. 所以 g(x)的单调递增区间是(-1,0),单调递减区间是(0,+∞),g(x)的极大值 是 g(0)=0. ……………………………………………………………………4 分
f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,于是 x2 ? x1

(Ⅱ)因为 f ?( x) ? ln x +1 ,所以 ln x0 +1=

ln x0 ? ln x2 =

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x ln x2 ? x1 ln x1 ? ln x2 ? 1 = 2 ? ln x2 ? 1 x2 ? x1 x2 ? x1

= x1 ln x2 ? x1 ln x1 ? 1 = ?1, x2 x2 ? x1 ?1 x1

ln

x2 x1

数学(理科)答案第5页(共 6 页)



x2 ln t ln t ? t ? 1 =t (t>1), h(t )= , ?1 ? x1 t ?1 t ?1

因为 t ? 1 ? 0 ,只需证明 ln t ? t +1? 0.

1 令 ? t )? ln t ? t +1,则 ? ? t )? ? 1 ? 0 , ( ( t
∴ ?(t )在 t ? (1,?) 递减,所以 ?(t )? ?(1)=0 , + 于是 h(t)<0,即 ln x0 ? ln x2 ,故 x0 ? x2 . 仿此可证 x1 ? x0 ,故 x1 ? x0 ? x2 .……………………………………………10 分
(Ⅲ) 因为 a1 ? 1 , an?1 ? (1 ?

1 1 )an ? 2 ? an ,所以 {an } 单调递增, an ≥1. n 2 n

于是 an?1 ? (1 ?

1 1 1 1 1 1 )an ? 2 ? (1 ? n )an ? 2 an =(1? n ? 2 ) n, a n 2 n 2 n 2 n 1 1 ? ) . (*) 2n n2

所以 ln an?1 ? ln an ? ln(1 ?

x 由( Ⅰ )知当 x>0 时, ln(1+ ) <x.
所以(*)式变为 ln an?1 ? ln an ? 即 ln ak ? ln ak ?1 ?

1 1 ? . 2n n2

1 1 ? (k∈N,k≥2), k ?1 2 (k ? 1)2

令 k=2,3,…,n,这 n-1 个式子相加得

ln an ? ln a1 ? (

1 1 1 1 1 1 + 2 +? + n ?1 ) ? [ 2 ? 2 ? ? ? ] 1 2 2 2 1 2 (n ? 1) 2
1 1 1 1 1 1 ) ?[ 2 ? 2 ? ? ??? ] n ?1 2 1 2 2 ? 3 3? 4 ( n ? 2)(n ? 1)

?(1= (1= (1-

1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? [1 ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] n ?1 2 4 2 3 3 4 n ? 2 n ?1

1 1 1 1 ) ?(1 ? ? ? ) n ?1 2 4 2 n ?1

=

11 1 1 11 - n?1 ? ? , 4 2 n ?1 4
11 11 11 ? ,所以 an ? e 4 .……………………………………14 分 4 4

即 ln an ? ln a1 ?

数学(理科)答案第6页(共 6 页)


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