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高中数学立体几何经典大题训练

高中数学立体几何大题训练 1.如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1 2.如图, 在矩形 ABCD 中,点 E, F 分别在线段 AB, AD 上,AE ? EB ? AF ? 2 FD ? 4 . 3 沿直线 EF 将 VAEF 翻折成VA'EF ,使平面 A'EF ? 平面BEF . (Ⅰ)求二面角 A' ? FD ? C 的余弦值; (Ⅱ)点 M , N 分别在线段 FD, BC 上,若沿直线 MN 将四边形 MNCD 向上翻折,使 C 与 A' 重合,求线段 FM 的长。 3.如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,AC ? BC , AA1 ? AB ,D 为 BB1 的中点,E 为 AB1 上的一点, AE ? 3EB1 . (Ⅰ)证明: DE 为异面直线 AB1 与 CD 的公垂线; (Ⅱ)设异面直线 AB1 与 CD 的夹角为 45°,求二面角 A1 ? AC1 ? B1 的大小. 4.如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD,AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD; (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 5.如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B // 平面 B1CD ,求 A1D : DC1 的值. 6.已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=?AB, N 为 AB 上一点,AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 7.如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD, AB ? 2 3 。 (1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。 8.如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°, E F BF=FC,H 为 BC 的中点, (Ⅰ)求证:FH∥平面 EDB; D C H (Ⅱ)求证:AC⊥平面 EDB; A B (Ⅲ)求四面体 B—DEF 的体积; 9.如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB= 2 ,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面 BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面 BDE; (Ⅲ)求二面角 A-BE-D 的大小。 10.已知正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,点 M 是棱 AA'的中点,点 O 是对角线 BD' 的中点. (Ⅰ)求证:OM 为异面直线 AA'和 BD'的公垂线; (Ⅱ)求二面角 M-BC'-B'的大小; (Ⅲ)求三棱锥 M-OBC 的体积. w_w w. k#s5_ u.c o* m D? C? A? M? D B? ?O C A B 参考答案 1. 2.(Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H,连结 A'H ,因为 A'E = A'F 及 H 是 EF 的中 点,所以 A'H ? EF , 又因为平面 A'EF ? 平面 BEF.如图建立空间直角坐标系 A-xyz 则 A' (2,2, 2 2 ),C(10,8,0), F(4,0,0),D(10,0,0). ? ? 故 FA' =(-2,2,2 2 ), FD =(6,0,0). ? 设 n =(x,y,z)为平面 A'FD 的一个法向量, -2x+2y+2 2 z=0 所以 6x=0. 取 z ? 2 ,则 n ? (0, ?2, 2) 。 又平面 BEF 的一个法向量 m ? (0, 0,1) , 故 cos?n, m? ? n m ? 3 。 nm 3 3 所以二面角的余弦值为 3 (Ⅱ)解:设 FM ? x, 则 M (4 ? x, 0, 0) , 因为翻折后, C 与 A 重合,所以 CM ? A' M , 故, (6 ? x)2 ? 82 ? 02 =(? 2 ? x)2 ? 22 ?(2 2)2 ,得 x ? 21 , 4 经检验,此时点 N 在线段 BC 上,所以 FM ? 21 。 4 方法二: (Ⅰ)解:取线段 EF 的中点 H , AF 的中点 G ,连结 A'G, A' H ,GH 。 因为 A' E = A' F 及 H 是 EF 的中点,所以 A' H ? EF 又因为平面 A' EF ? 平面 BEF ,所以 A' H ? 平面 BEF , 又 AF ? 平面 BEF ,故 A' H ? AF , 又因为 G 、 H 是 AF 、 EF 的中点, 易知 GH ∥ AB ,所以 GH ? AF ,于是 AF ? 面 A'GH , 所以 ?A'GH 为二面角 A'? DH ? C 的平面角, 在 Rt A'GH 中, A' H = 2 2 , GH =2, A'G = 2 3 所以 cos ?A'GH ? 3 . 3 故二面角 A'? DF ? C 的余弦值为 3 。 3 (Ⅱ)解:设 FM ? x , 因为翻折后, C 与 A' 重合,所以 CM ? A' M , 而 CM 2 ? DC2 ? DM 2 ? 82 ? (6 ? x)2 , A' M 2 ? A' H 2 ? MH 2 ? A' H 2 ? MG2 ? GH 2 ? (2 2)2 得 x ? 2